Thư ngỏ từ Thư viện Khoa học gửi tới quý bạn đọc.

Đại số 10/Chương II/§1. Hàm số

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS.

< Đại số 10 | Chương II

Jump to: navigation, search

Mục lục

1 Lí thuyết
2 Ôn tập về hàm số
3 BÀI TẬP
4 Tài liệu tham khảo
5 Xem thêm

Lí thuyết

Ôn tập về hàm số

Hàm số. Tập xác định của hàm số

Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.

	Nếu với mỗi giá trị của x thuộc D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Xét bảng sau:

Năm	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2004
TNBQĐN (tính theo USD)	200	282	295	311	339	363	375	394	564

VÍ DỤ 1

Bảng trên đây trích từ trang Web của Hiệp hội liên doanh Việt Nam - Thái Lan ngày 26 - 10 - 2005 về thu nhập bình quân đầu người (TNBQĐN) của nước ta từ năm 1995 đến năm 2004.

Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là y) và thời gian x (tính bằng năm).

Với mỗi giá trị $x \in D = \{1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2004\}$ có một giá trị duy nhất y.

Vậy ta có một hàm số. Tập hợp D là tập xác định của hàm số này.

Các giá trị y = 200, 282, 295,... được gọi là các giá trị của hàm số tương ứng, tại x = 1995, 1996, 1997,...

Hoạt động 1	`Hãy nêu một ví dụ thực tế về hàm số.`

Cách cho hàm số

Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau:

Bằng bảng

Hàm số trong ví dụ 1 trên, là hàm số được cho bằng bảng.

Hoạt động 2	`Hãy chỉ ra các giá trị của hàm số trên tại x = 2001, 2004, 1999.`

Bằng biểu đồ

VÍ DỤ 2

Biểu đồ dưới (h13) (trích từ báo Khoa học và Đời sống số 47 ngày 8 - 11 - 2002) mô tả số công trình khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng sáng tạo Khoa học Công nghệ Việt Nam và số công trình đoạt giải hàng năng từ 1995 đến 2001.

Biểu đồ này xác định hai hàm số trên cùng tập xác định

D = {1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001}.

Hình 13

Hoạt động 3	`Hãy chỉ ra các giá trị của mỗi hàm số trên tại các giá trị .`

Bằng công thức

Hoạt động 4	`Hãy kể các hàm số đã học ở Trung học cơ sở.`

Các hàm số $y =ax + b, y = \frac{a}{x}, y =ax^2\$ là những hàm số được cho bởi công thức.

Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy ước như sau:

	Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

VÍ DỤ 3	Tìm tập xác định của hàm số $f(x) = \sqrt{x-3}$ .

Lời giải	Biểu thức $\sqrt{x-3}$ có nghĩa khi x - 3 ≥ 0, tức là khi x ≥ 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [3;+∞).

Hoạt động 5	`Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)` `b)`

CHÚ Ý

Một hàm số có thể được xác định bởi hai, ba,... công thức. Chẳng hạn, cho hàm số:

$y=\begin{cases}2x+1 &n\acute{\hat{e}}u\ x \ge 0 \\ -x^2 &n\acute{\hat{e}}u\ x < 0.\end{cases}$

nghĩa là với x ≥ 0 hàm số được xác định bởi biểu thức f(x) = 2x + 1, với x < 0 hàm số được xác định bởi biểu thức g(x) = -x².

Hoạt động 6	`Tính giá trị của hàm số ở chú ý trên tại x = -2 và x = 5.`

Đồ thị của hàm số

	Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D.

VÍ DỤ 4	Trong Sách giáo khoa Toán 9, ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng, đồ thị của hàm số bậc hai y = ax² là một đường parabol.


Đồ thị hàm số f(x) = x + 1	Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{1}{2}x^2$

Hình 14

Hoạt động 7	`Dựa vào đồ thị của hai hàm số đã cho trong hình 14 y = f(x) = x + 1 và y = a) Tính f(-2), f(-1), f(0), f(2), g(-1), g(-2), g(0). b) Tìm x, sao cho f(x) = 2.` `c) Tìm x, sao cho g(x) = 2.`

Ta thường gặp trường hợp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường (đường thẳng, đường cong,...). Khi đó, ta nói y = f(x) là phương trình của đường đó. Chẳng hạn:

y = ax + b là phương trình của một đường thẳng.

y = ax² (a ≠ 0) là phương trình của một đường parabol.

Sự biến thiên của hàm số

Ôn tập

Hình 15a

Hình 15b

Hình 15c

Xét đồ thị hàm số y = f(x) = x² (h.15a).

Ta thấy trên khoảng (-∞;0) đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải (h.15b) và với

$x_1, x_2 \in (-\infty;0):x_1<x_2\ th\grave{i}\ f(x_1)>f(x_2).\$

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm.

Ta nói, hàm số y = x² nghịch biến trên khoảng (-∞;0).

Trên khoảng (0;+∞) đồ thị "đi lên" từ trái sang phải (h.15c) và với

$x_1, x_2 \in (0;+\infty):x_1<x_2\ th\grave{i}\ f(x_1)<f(x_2).\$

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số cũng tăng.

Ta nói, hàm số y = x² đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Tổng quát

	Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu $\forall x_1, x_2 \in (0;+\infty):x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2).\$ Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu $\forall x_1, x_2 \in (-\infty;0):x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2).\$

Bảng biến thiên

Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.

VÍ DỤ 5

Hàm số y = x² có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = x² xác định trên/trong khoảng (-∞;+∞) và khi x dần tới +∞ hoặc -∞ thì y đều dần tới +∞.

Tại x = 0 thì y = 0.

Nhìn vào bảng biến thiên ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).
Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến 0).
Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞).

Tính chẵn lẻ của hàm số

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Xét đồ thị của hai hàm số y = f(x) = x² và y = g(x) = x (h.16).

Đồ thị của hàm số f(x) = x²	Đồ thị của hàm số g(x) = x
Hình 16

Đường parabol y = x² có trục đối xứng là Oy. Tại hai giá trị đối nhau của biến số x, hàm số nhận cùng một giá trị.

f(-1) = f(1) = 1, f(-2) = f(2) = 4,...

Đường thẳng y = x có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Tại hai giá trị đối nhau của biến số x, hàm số nhận hai giá trị đối nhau.

g(-1) = -g(1), g(-2) = -g(2),...

Hàm số y = x² là một ví dụ về hàm số chẵn.

Hàm số y = x là một ví dụ về hàm số lẻ.

Tổng quát

	Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D\ th\grave{i}\ -x \in D\ v\grave{a}\ f(-x) = f(x).$ Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D\ th\grave{i}\ -x \in D\ v\grave{a}\ f(-x) = -f(x).$

Hoạt động 8	`Xét tính chẵn lẻ của các hàm số a) y = 3x² - 2; b)` `c)`

CHÚ Ý

Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Chẳng hạn, hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì giá trị của nó tại x = 1 và x = -1 tương ứng là 3 và -1. Hai giá trị này không bằng nhau và cũng không đối nhau.

Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Nhận xét về đồ thị của hàm số y = x² và y = x trong mục 1 cũng đúng cho trường hợp tổng quát. Ta có kết luận sau:

	Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.