Thư ngỏ từ Thư viện Khoa học gửi tới quý bạn đọc.

Đại số 10/Chương II/§3. Hàm số bậc hai

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS.

Mục lục

1 Lí thuyết
- 1.1 Đồ thị của hàm số bậc hai
- 1.2 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai
2 BÀI TẬP

Lí thuyết

	Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: $y = a x 2 + b x + c$ (1) trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.

Tập xác định của hàm số này là $D = \mathbb{R}$ .

Khi b = c = 0 ta được $y = a x 2$ - hàm số đã được học ở lớp 9.

Đồ thị của hàm số bậc hai

Hoạt động 1	`Nhắc lại các kết quả đã biết về đồ thị của hàm số $y = a x 2$ ?`

Nhận xét

Đồ thị của hàm số $y = a x 2$ có đỉnh là điểm O(0;0), là điểm thấp nhất của đồ thị trong trường hợp a > 0 (y ≥ 0 với mọi x), và là điểm cao nhất của đồ thị trong trường hợp a < 0 (y ≤ 0 với mọi x) (hình 20).

Hình 20

Đồ thị của hàm số $y = a x 2 + b x + c$ có điểm thấp nhất hoặc điểm cao nhất không?

Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có viết:

$y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-\Delta}{4a}$ với

Δ = b 2 - 4 a c

Nhận xét rằng:

Nếu $x = -\frac{b}{2a}$ thì $y = \frac{-\Delta}{4a}$ . Vậy điểm $I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right)$ thuộc đồ thị của hàm số (1).
Nếu a > 0 thì $y \ge \frac{-\Delta}{4a}$ với mọi x, do đó I là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì $y \le \frac{-\Delta}{4a}$ với mọi x, do đó I là điểm cao nhất của đồ thị.

Như vậy, đồ thị của hàm số $y = a x 2 + b x + c$ có điểm $I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right)$ đóng vai trò như điểm O(0;0) của đồ thị hàm số $y = a x 2$ .

Đồ thị

Dưới đây^(*) ta sẽ thấy đồ thị của hàm số $y = a x 2 + b x + c$ chính là đồ thị của hàm số $y = a x 2$ sau một số phép "dịch chuyển" trên mặt phẳng tọa độ.

	Đồ thị của hàm số $y = a x 2 + b x + c$ (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm $I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right)$ , có trục đối xứng là đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$ . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0 và xuống dưới nếu a < 0 (Hình 21).

Hình 21

Cách vẽ

Để vẽ đường parabol $y = a x 2 + b x + c$ (a ≠ 0), ta thực hiện các bước:

1.Xác định tọa độ của đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right)$ .

2. Vẽ trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$ .

3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c)) và trục hoành (nếu có).

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

4. Vẽ parabol

Khi vẽ parabol chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

VÍ DỤ	Vẽ parabol $y = x 2 - 2 x - 3$ .

Lời giải	Hình 22 Đỉnh I(1;-4) Trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Giao điểm với Oy là A(0;-3) Điểm đối xứng với A(0;-3) qua đường thẳng x = 1 là A'(2;-3) Giao với trục Ox tại B(-1;0) và C(3;0). Đồ thị như hình 22.

Hoạt động 2	`Vẽ parabol $y = - 2 x 2 + x + 3$ .`

Chiều biến thiên của hàm số bậc hai

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = a x 2 + b x + c$ (a ≠ 0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau:

Từ đó ta có định lí dưới đây

ĐỊNH LÍ

	Nếu a > 0 thì hàm số $y = a x 2 + b x + c$ Nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;\frac{-b}{2a}\right)$ Đồng biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty\right)$ Nếu a < 0 thì hàm số $y = a x 2 + b x + c$ Đồng biến trên khoảng $\left(-\infty;\frac{-b}{2a}\right)$ Nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty\right)$ .

BÀI TẬP

1. Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol:
a) $y = x 2 - 3 x + 2$	b) $y = - 2 x 2 + 4 x - 3$
c) $y = x 2 - 2 x$	d) $y = - x 2 + 4$

2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) $y = 3 x 2 - 4 x + 1$	b) $y = - 3 x 2 + 2 x - 1$
c) $y = 4 x 2 - 4 x + 1$	d) $y = - x 2 + 4 x - 4$
e) $y = 2 x 2 + x + 1$	f) $y = - x 2 + x - 1.$

3. Xác định parabol $y = a x 2 + b x + c$ , biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8)	b) Đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng là $x = -\frac{3}{2}$
c) Có đỉnh là I(2;-2)	d) Đi qua điểm B(-1;6) và tung độ của đỉnh là $-\frac{1}{4}$ .