20140420165912
Ai theo dõi trang này
Mời quảng cáo

Đại số 10/Chương IV/§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, thì ta phải:
  • Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
  • Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.


Thế còn, khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức thì sao?


Mục lục

Lí thuyết

lớp 8, chúng ta đã được làm quen với một số khái niệm liên quan đến bất phương trình: bất phương trình một ẩn, tập nghiệm của bất phương trình, giải bất phương trình, hai bất phương trình tương đương, quy tắc biến đổi bất phương trình... Bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu một cách đầy đủ hơn về các khái niệm đó, ngoài ra chúng ta còn biết thêm: thế nào là hệ bất phương trình một ẩn và cách giải nó.


Khái niệm bất phương trình

Bất phương trình một ẩn

Cũng giống như khái niệm phương trình một ẩn, ta có định nghĩa sau về bất phương trình một ẩn:


Bất phương trình ẩn xmệnh đề chứa biến có dạng:
f(x) < g(x)      (1)

trong đó f(x)g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) vế trái, g(x) là vế phải của bất phương trình (1).

Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).

Giải bất phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó (nghĩa là tìm tất cả các nghiệm).

Nếu bất phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói bất phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
 


CHÚ Ý
  • Các mệnh đề chứa biến dạng: f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x)f(x) ≥ g(x)      (2) cũng được gọi là các bất phương trình một ẩn.
  • Các phát biểu trong định nghĩa trên cho bất phương trình (1), cũng đúng cho các bất phương trình (2).


Hoạt động 1
Cho các bất phương trình sau:

a) 2x < 3;            b) |x| \le 1.

1. Trong các số: -2;\ 2\frac{1}{2};\ \pi;\ \sqrt{10}, số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình (a).

2. Giải các bất phương trình (a) và (b), biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình đó trên các trục số khác nhau và dùng các tập con thường dùng để viết các tập nghiệm đó.

 


Dưới đây, chúng ta chỉ nói tới bất phương trình dạng f(x) < g(x). Đối với các bất phương trình dạng f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x)f(x) ≥ g(x), ta cũng có các kết qủa tương tự.


Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự như điều kiện của phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để các biểu thức f(x)g(x) có nghĩa là điều kiện xác định của bất phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của bất phương trình).

Chẳng hạn, điều kiện của bất phương trình:

\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \le 3

là 3 - x ≥ 0 và x + 1 ≥ 0.


Bất phương trình chứa tham số

Cũng giống như phương trình chứa tham số. Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Tập nghiệm của bất phương trình có thể phụ thuộc vào tham số.

Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

Chẳng hạn:

  • Bất phương trình (2m + 1)x - 3 < 0     có thể được coi là một bất phương trình ẩn x chứa tham số m.
  • Bất phương trình y2 - 2ty + 1 ≥ 0     có thể được coi là một bất phương trình ẩn y chứa tham số t.


Bất phương trình tương đương

Định nghĩa

lớp 8, chúng ta đã được biết thế nào là hai bất phương trình tương đương. Dưới đây, chúng ta có một định nghĩa đầy đủ hơn.

Giống như phương trình tương đương, ta có:


Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu f(x) < g(x) tương đương với f1(x) < g1(x) thì ta viết:

f(x) < g(x) \Leftrightarrow f1(x) < g1(x)
 


Hoạt động 2
Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) x + \sqrt{x - 2} > \sqrt{x - 2} \Leftrightarrow x > 0;

b) (\sqrt{x - 1})^2 \le 1 \Leftrightarrow x - 1 \le 1.

 


CHÚ Ý
Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có cùng điều kiện xác định là D và tương đương với nhau, ta nói:
  • Hai bất phương trình tương đương trên D, hoặc
  • Với điều kiện D, hai bất phương trình là tương đương với nhau.
VÍ DỤ. Với điều kiện x > 2, ta có \frac{1}{x-2} > 1 \Leftrightarrow 1 > x - 2.

Phép biến đổi tương đương

Cũng như với phương trình, để giải một bất phương trình ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình tương đương cho đến khi được bất phương trình đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy, không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình, được gọi là các phép biến đổi tương đương.

Mở rộng từ các quy tắc biến đổi bất phương trình đã biết, ta có một số phép biến đổi tương đương sau, thường được sử dụng khi giải bất phương trình.


Cộng/trừ
Cộng/trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.


P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
 


NHẬN XÉT.

Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức -f(x) ta được bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x). Do đó:


P(x) < Q(x) + f(x) \Leftrightarrow P(x) - f(x) < Q(x)


Như vậy, chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.


VÍ DỤ 1
Xét bất phương trình (x-1)^3 > 2x^2 + 2x - 1\,

Ta có:

(x-1)^3 > 2x^2 + 2x - 1\,

\Leftrightarrow x^3 + 3.x^2.(-1) + 3.x.(-1)^2 + (-1)^3 > 2x^2 + 2x - 1   (Biến đổi đồng nhất)

\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + 3x - 1 > 2x^2 + 2x - 1   (Biến đổi đồng nhất)

\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - ( 2x^2 + 2x - 1) > 0   (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử)

\Leftrightarrow x^3 - 5x^2 + x > 0   (Biến đổi đồng nhất)

 


Nhân/chia
Nhân/chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương.


P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x) < Q(x).f(x)       nếu f(x) > 0,\ \forall x


Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.


P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x) > Q(x).f(x)       nếu f(x) < 0,\ \forall x
 


VÍ DỤ 2
a) Bất phương trình (x^2 + 2)(x + 1) < 2x(x^2 + 2)\,

\Leftrightarrow \frac{(x^2 + 2)(x + 1)}{x^2 + 2} < \frac{2x(x^2 + 2)}{x^2 + 2}     (Chia cả hai vế cho x^2 + 2 > 0,\ \forall x)

\Leftrightarrow x + 1 < 2x.

b) Bất phương trình (-x^2 -1)(x + \frac{1}{x}) \le 3(x^2 + 1)\,

\Leftrightarrow \frac{(-x^2 -1)(x + \frac{1}{x})}{-x^2 -1} \ge \frac{3(x^2 + 1)}{-x^2 -1}\,    (Chia cả hai vế cho -x^2 -1 < 0,\ \forall x, đổi chiều bất phương trình.)

\Leftrightarrow x + \frac{1}{x} \ge -3.

 


Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.


P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P^2(x) < Q^2(x)   nếu P(x) \ge 0,\ Q(x) \ge 0, \forall x
 


VÍ DỤ 3
Giải bất phương trình \sqrt{x^2 + 2x + 2} > \sqrt{x^2 - 2x + 3}
 
Lời giải
Hai vế của bất phương trình đều có nghĩa và dương với mọi x. Bình phương hai vế bất phương trình này ta được:

\sqrt{x^2 + 2x + 2} > \sqrt{x^2 - 2x + 3}

\Leftrightarrow (\sqrt{x^2 + 2x + 2})^2 > (\sqrt{x^2 - 2x + 3})^2

\Leftrightarrow x^2 + 2x + 2 > x^2 - 2x + 3

\Leftrightarrow 4x > 1

\Leftrightarrow x > \frac{1}{4}.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > \frac{1}{4}.

 


Hệ bất phương trình một ẩn

Có những bài toán yêu cầu tìm các giá trị của ẩn số x thỏa mãn đồng thời nhiều bất phương trình. Nói cách khác, khi đó ta cần giải một hệ bất phương trình ẩn x.

Mỗi số thực x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Hiển nhiên, tập nghiệm của một hệ bất phương trình là giao của tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Do đó:

Muốn giải hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.


VÍ DỤ 4
Giải hệ bất phương trình
\begin{cases}3 - x \ge 0 \qquad \qquad \qquad &(1) \\  x + 2 > 0 \qquad \qquad \qquad &(2)  \\ 2x - 1 \ge 0. \qquad \qquad \qquad &(3) \end{cases}
 


Lời giải
Giải lần lượt từng bất phương trình của hệ, ta có:


3 - x \ge 0 \Leftrightarrow 3 \ge x \Leftrightarrow x \le 3
x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2
2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac 1 2


Biểu diễn trên trục số:

Tập nghiệm của (1) là:
Bieu dien tap nghiem cua x nho hon hoac bang 3.png
Tập nghiệm của (2) là:
Bieu dien tap nghiem cua x lon hon -2.png
Tập nghiệm của (3) là:
Bieu dien tap nghiem cua x lon hon hoac bang 1div2.png
Giao của ba tập nghiệm là:
Bieu dien tap nghiem cua he bat phuong trinh.png

Vậy tập nghiệm của hệ là: \left[\frac 1 2 ; 3\right] hay còn có thể viết là \frac 1 2 \le x \le 3.

 


CHÚ Ý
Trong thực hành, để cho gọn ta chỉ cần biểu diễn các tập nghiệm của các bất phương trình của hệ trên một trục số. Khi đó, ta gạch đi các điểm (phần) không thuộc tập nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, phần còn lại sẽ biểu diễn tập nghiệm cần tìm và lời giải trên có thể trình bày lại như sau:
Ta có:
\begin{cases}3 - x \ge 0 \\  x + 2 > 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}3 \ge x \\  x > -2 \\ x \ge  \frac 1 2\end{cases} \qquad \qquad \qquad (I)


Bieu dien tap nghiem cua he bat phuong trinh.png
Suy ra, (I) \Leftrightarrow \frac 1 2 \le x \le 3
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là: \left[\frac 1 2 ; 3\right]

BÀI TẬP

1. Một bạn lập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình \sqrt{x - 1} < |x| luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được bất phương trình tương đương x − 1 < x2. Theo em, lập luận trên có đúng không? Vì sao?


2. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
a) \sqrt{x} > - \sqrt{x}; b) \sqrt{x-3} < 1 + \sqrt{x-3};
c) x + \frac{1}{x-3} \ge 2 + \frac{1}{x-3} d) \frac{x}{\sqrt{x-2}} < \frac{2}{\sqrt{x-2}}.


3. Trong hai bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 2x - 1 ≥ 0:


2x - 1 + \frac{1}{x - 3} \ge \frac{1}{x - 3}2x - 1 - \frac{1}{x + 3} \ge -\frac{1}{x + 3}


4. Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra các cặp bất phương trình tương đương (nếu có):
a) x - 2 > 0 và x2(x − 2) < 0; b) x - 2 < 0 và x2(x − 2) > 0;
c) x - 2 ≤ 0 và x2(x − 2) ≤ 0; d) x - 2 ≥ 0 và x2(x − 2) ≥ 0;


5. Giải các bất phương trình sau:
a) \frac{3x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} < \frac{1 -2x}{4}; b) (2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \le (x-1)(x+3) + x^2 - 5;
c) \frac{x + 2}{3} - x + 1 > x + 3; d) \frac{3x + 5}{2} - 1 \le \frac{x + 2}{3} + x;
e) (1-\sqrt{2})x < 3 - 2\sqrt{2}; f) (x + \sqrt{3})^2 \ge (x - \sqrt{3})^2 + 2;


6. Giải hệ bất phương trình:
a) \begin{cases}5x - 2 > 4x + 5 \\ 5x - 4 < x + 2;\end{cases} b) \begin{cases}2x + 1 > 3x + 4 \\ 5x + 3 \ge 8x - 9;\end{cases}
c) \begin{cases}\cfrac{5x + 2} 3 \ge 4 -x \\ \cfrac{6-5x}{13} < 3x + 1;\end{cases} d) \begin{cases}(1-x)^2 > 5 + 3x + x^2 \\ (x+2)^2 < x^3 + 6x^2 - 7x - 5;\end{cases}
e) \begin{cases}\cfrac{4x-5} 7 < x + 3 \\ \cfrac{3x + 8} 4 > 2x - 5;\end{cases} f) \begin{cases}6x + \cfrac 5 7 < 4x + 7 \\ \cfrac{8x + 3} 2 < 2x + 5;\end{cases}
g) \begin{cases}15x - 2 > 2x + \cfrac 1 3 \\ 2(x -4) < \cfrac{3x - 14} 2;\end{cases} h) \begin{cases}x - 1 \le 2x - 3 \\ 3x < x + 5 \\ \cfrac{5-3x} 2 \le x - 3.\end{cases}

Xem thêm


Tài liệu tham khảo

  • Sách in:
    • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 80.
    • Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 113 và 117.
    • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001, trang 78 và 88.
    • Tài liệu giáo khoa thí điểm, Đại số 10, Ban khoa học tự nhiên, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997, trang 124 và 143.


Liên kết ngoài



<<< Đại số 10

 
Gõ tiếng Việt có dấu:
(Hỗ trợ định dạng wikitext)
Công cụ cá nhân