Đại số 10/Chương IV/§3. Dấu của nhị thức bậc nhất

Từ VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm
Chia sẻ lên facebook Chia sẻ lên twitter In trang này

Lí thuyết[sửa]

Nhị thức bậc nhất và dấu của nó[sửa]

Nhiều bài toán dẫn đến việc xét xem một biểu thức f(x) đã cho nhận giá trị âm (hoặc dương) với những giá trị nào của x. Ta gọi việc làm đó là xét dấu của biểu thức f(x). Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu về nhị thức bậc nhất và dấu của nó.


Nhị thức bậc nhất[sửa]

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng ax + b, trong đó a b là hai số cho trước, với a ≠ 0 và a được gọi là hệ số của x hay hệ số của nhị thức.
 


Ta đã biết, phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm duy nhất x_{0}=-{\frac  ba} . Nghiệm đó cũng được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b. Nó có vai trò rất quan trọng trong việc xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x).


Hoạt động 1
Cho bất phương trình: -2x + 3 > 0.

a) Giải bất phương trình và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó.

b) Từ đó hãy điền các cụm từ "cùng dấu" hoặc "trái dấu" vào các chỗ trống:

  • Nếu x lấy các giá trị lớn hơn nghiệm của nhị thức f(x) = -2x + 3 thì nhị thức ... với hệ số của x.
  • Nếu x lấy các giá trị nhỏ hơn nghiệm của nhị thức f(x) = -2x + 3 thì nhị thức ... với hệ số của x.

c) Việc điền vào chỗ trống trong câu b) sẽ thay đổi như thế nào nếu f(x) = 2x - 3?

 


Từ kết quả của câu b) và c) ta có định lí sau đây.


Dấu của nhị thức bậc nhất[sửa]

ĐỊNH LÍ

Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
 


CHỨNG MINH

Đặt x_{0}={\frac  ba} , ta viết nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b như sau:

f(x)=ax+b=a\left(x+{\frac  ba}\right)=a(x-x_{0}).


Khi x > x0 thì x - x0 > 0 nên dấu của a(x - x0) trùng với dấu của a.

Khi x < x0 thì x - x0 > 0 nên dấu của a(x - x0) trái với dấu của a.


Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:

Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f(x) = ax + b.


VÍ DỤ 1
Xét dấu nhị thức:

a) f(x) = 2x - 3;        b) f(x) = 2 - 3x.

 
Lời giải
a) Nhị thức 2x - 3 có hệ số a = 2 và có nghiệm x_{0}={\frac  32} . Do đó, dấu của nó được cho trong bảng sau:

Nhị thức đã cho dương khi x_{0}>{\frac  32} và âm khi x_{0}<{\frac  32}.


b) Nhị thức 2 - 3x có hệ số a = -3 và có nghiệm x_{0}={\frac  23} . Suy ra bảng dấu:

Nhị thức đã cho dương khi x_{0}<{\frac  23} và âm khi x_{0}>{\frac  23}.

 


Hoạt động 2
Xét dấu các nhị thức f(x) = 3x + 2; g(x) = -2x + 5.
 

Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất[sửa]

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Từ đó lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương của những nhị thức bậc nhất cũng được xét tương tự.


VÍ DỤ 2
Xét dấu biểu thức: f(x)={\frac  {(4x-1)(x+2)}{-3x+5}}.
 
Lời giải
Giải các phương trình:
4x - 1 = 0 \Rightarrow x={\frac  14}; x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2; -3x + 5 = 0 \Rightarrow x={\frac  53}.
f(x) không xác định khi x={\frac  53}.

Lập bảng xét dấu chung:

(Dấu sổ || chỉ rằng f(x) không xác định khi x={\frac  53}. )

Từ bảng xét dấu ta thấy:

  • f(x) > 0 khi x\in (-\infty ;-2) hoặc x\in \left({\frac  14};{\frac  53}\right);
  • f(x) < 0 khi x\in \left(-2;{\frac  14}\right) hoặc x\in \left({\frac  53};+\infty \right);
  • f(x) = 0 khi x = -2 hoặc x={\frac  14}.
 


Hoạt động 3
Xét dấu biểu thức f(x) = (2x - 1).(-x + 3).
 

Áp dụng[sửa]

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

Giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức[sửa]

VÍ DỤ 3
Giải bất phương trình:
{\frac  {4}{x-1}}>{\frac  {7}{2x+1}}.
 


Lời giải
Vì không biết dấu của các biểu thức x - 1 và 2x + 1, nên ta không được phép nhân cả hai vế của bất phương trình với biểu thức (x - 1).(2x + 1) để khử mẫu số.

Ta cần tiến hành như sau: chuyển vế phải sang vế trái, bất phương trình đã cho tương đương với:


{\frac  {4}{x-1}}>{\frac  {7}{2x+1}}\Leftrightarrow {\frac  {4}{x-1}}-{\frac  {7}{2x+1}}>0


\Leftrightarrow {\frac  {4(2x+1)-7(x-1)}{(x-1)(2x+1)}}>0\Leftrightarrow {\frac  {x+11}{(x-1)(2x+1)}}>0.    (*)


Lập bảng xét dấu cho vế trái của (*):

Từ bảng xét dấu trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là:

\left(-11;-{\frac  12}\right)\cup (1;+\infty )
 


Hoạt động 4
Giải bất phương trình x3 - 4x < 0.
 

Giải phương trình/bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối[sửa]

Ta đã biết, hai phương pháp để khử dấu giá trị tuyệt đối cho các phương trình dạng |ax+b|=cx+d|ax+b|=|cx+d| . Ngoài ra, để giải các phương trình (bất phương trình) chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu nhị thức ax + b. Cụ thể là, chia tập xác định của phương trình (bất phương trình) thành nhiều khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên các khoảng (nửa khoảng, đoạn) đó ta giải các phương trình không chứa giá trị tuyệt đối.


VÍ DỤ 4
Giải phương trình:
|x-1|+|2x-4|=3.    (1)
 
Lời giải
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
|x-1|={\begin{cases}x-1&{\mbox{n}}{\acute  {{\hat  {{\mbox{e}}}}}}{\mbox{u}}\ x\geq 1\\-(x-1)&{\mbox{n}}{\acute  {{\hat  {{\mbox{e}}}}}}{\mbox{u}}\ x<1.\end{cases}}
|2x-4|={\begin{cases}2x-4&{\mbox{n}}{\acute  {{\hat  {{\mbox{e}}}}}}{\mbox{u}}\ x\geq 2\\-(2x-4)&{\mbox{n}}{\acute  {{\hat  {{\mbox{e}}}}}}{\mbox{u}}\ x<2.\end{cases}}

Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối chung cho: |x-1|,|2x-4| và phương trình (1):

Trên khoảng (-∞; 1), ta có: (1) \Leftrightarrow -3x + 5 = 3 \Leftrightarrow x={\frac  23} (tmđk: x < 1).

Trên nửa khoảng [1;2), ta có: (1) \Leftrightarrow -x + 3 = 3 \Leftrightarrow x = 0 (loại).

Trên nửa khoảng [2; +∞), ta có: (1) \Leftrightarrow 3x - 5 = 3 \Leftrightarrow x={\frac  83} (tmđk: x ≥ 2).

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là: x={\frac  23}x={\frac  83}.

 

CHÚ Ý: Khi giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp lập bảng như trên, ta cần lưu ý rằng: Tập nghiệm của phương trình ban đầu là hợp của các tập nghiệm trên từng khoảng. Đây cũng là điều cần chú ý khi giải một bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.


VÍ DỤ 5
Giải bất phương trình |-2x+1|+x-3<5.
 
Lời giải
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
|-2x+1|={\begin{cases}-2x+1&{\mbox{n}}{\acute  {{\hat  {{\mbox{e}}}}}}{\mbox{u}}\ x\leq {\cfrac  12}\\-(-2x+1)&{\mbox{n}}{\acute  {{\hat  {{\mbox{e}}}}}}{\mbox{u}}\ x>{\cfrac  12}.\end{cases}}

Từ đó ta có bảng khử dấu giá trị tuyệt đối sau:

Giải các hệ bất phương trình:

  • {\begin{cases}x\leq {\cfrac  12}\\(-2x+1)+x-3<5\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x\leq {\cfrac  12}\\x>-7\end{cases}}\quad \Leftrightarrow -7<x\leq {\frac  12}.
  • {\begin{cases}x>{\cfrac  12}\\(2x-1)+x-3<5\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x>{\cfrac  12}\\x<3\end{cases}}\quad \Leftrightarrow {\frac  12}<x<3.

Nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng:

\left(-7;{\frac  12}\right]\cup \left({\frac  12};3\right)=(-7;3)
 


CHÚ Ý:

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng |f(x)| ≤ a và |f(x)| ≥ a với a > 0 đã cho.
Với a > 0 ta có:
|f(x)|\leq a\ \Leftrightarrow \ -a\leq f(x)\leq a

|f(x)|\geq a\ \Leftrightarrow \ f(x)\leq -a\ {\mbox{or}}\ f(x)\geq a.

BÀI TẬP[sửa]

1. Xét dấu các biểu thức:

a) f(x) = (2x - 1)(x + 3); b) f(x) = (-3x - 3)(x + 2)(x + 3);
c) f(x)={\frac  {-4}{3x+1}}-{\frac  {3}{x-2}}; d) f(x) = 4x2 - 1.
Hướng dẫn Bài 1d): Phân tích đa thức thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu.


2. Giải các bất phương trình

a) {\frac  {2}{x-1}}\leq {\frac  {5}{2x-1}}; b) {\frac  {1}{x+1}}<{\frac  {1}{(x-1)^{2}}};
c) {\frac  {1}{x}}+{\frac  {2}{x+4}}<{\frac  {3}{x+3}}; d) {\frac  {x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}}<1.


3. Giải các bất phương trình

a) |5x-4|\geq 6; b) |x+1|+|x-1|=4;
c) |2x-3|\leq x+1; d) \left|{\frac  {-5}{x+2}}\right|<\left|{\frac  {10}{x-1}}\right|.
Hướng dẫn Bài 3d): Với x ≠ -2 và x ≠ 1 thì |x+2|\,|x-1|\, đều dương, nên nhân cả hai vế của bất phương trình với tích: |x+2|.|x-1|.\,

____________________________

Làm thêm


4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) m(x - m) ≤ x - 1; b) (m + 1)x + m < 3x + 4;
c) |x-1|=2x-m; d) (2x-{\sqrt  {2}})(x-m)>0.


5. Xét dấu các biểu thức sau:

a) -x2 + x + 6 b) 2x^{2}-(2+{\sqrt  {3}})x+{\sqrt  {3}}.


6. Giải các bất phương trình:

a) |2x-{\sqrt  {2}}|+|{\sqrt  {2}}-x|>3x-2; b) |({\sqrt  {2}}-{\sqrt  {3}})x+1|\leq {\sqrt  {3}}+{\sqrt  {2}}.


7. Giải các hệ bất phương trình:

a) {\begin{cases}(x-3)({\sqrt  {2}}-x)>0\\{\cfrac  {4x-3}{2}}<x+3;\end{cases}} b) {\begin{cases}{\cfrac  {2}{2x-1}}\leq {\cfrac  {1}{3-x}}\\|x|<1.\end{cases}}


Tài liệu tham khảo[sửa]

  • Sách in:
    • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 87.
    • Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 122.
    • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001, trang 81.
    • Tài liệu giáo khoa thí điểm, Đại số 10, Ban khoa học tự nhiên, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 130.

Xem thêm[sửa]

Liên kết ngoài[sửa]


<<<Đại số 10

Liên kết đến đây

Chia sẻ lên facebook Chia sẻ lên twitter In trang này