Thư ngỏ từ Thư viện Khoa học gửi tới quý bạn đọc.

Đại số 10/Chương IV/§3. Dấu của nhị thức bậc nhất

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS.

Mục lục

1 Lí thuyết
2 BÀI TẬP
3 Tài liệu tham khảo
4 Xem thêm
5 Liên kết ngoài

Lí thuyết

Nhị thức bậc nhất và dấu của nó

Nhiều bài toán dẫn đến việc xét xem một biểu thức f(x) đã cho nhận giá trị âm (hoặc dương) với những giá trị nào của x. Ta gọi việc làm đó là xét dấu của biểu thức f(x). Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu về nhị thức bậc nhất và dấu của nó.

Nhị thức bậc nhất

	Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng ax + b, trong đó a và b là hai số cho trước, với a ≠ 0 và a được gọi là hệ số của x hay hệ số của nhị thức.

Ta đã biết, phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm duy nhất $x_0=-\frac b a$ . Nghiệm đó cũng được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b. Nó có vai trò rất quan trọng trong việc xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x).

Hoạt động 1

Cho bất phương trình: -2x + 3 > 0. a) Giải bất phương trình và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó. b) Từ đó hãy điền các cụm từ "cùng dấu" hoặc "trái dấu" vào các chỗ trống: Nếu x lấy các giá trị lớn hơn nghiệm của nhị thức f(x) = -2x + 3 thì nhị thức ... với hệ số của x. Nếu x lấy các giá trị nhỏ hơn nghiệm của nhị thức f(x) = -2x + 3 thì nhị thức ... với hệ số của x.

c) Việc điền vào chỗ trống trong câu b) sẽ thay đổi như thế nào nếu f(x) = 2x - 3?

Từ kết quả của câu b) và c) ta có định lí sau đây.

Dấu của nhị thức bậc nhất

ĐỊNH LÍ

	Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.

CHỨNG MINH

Đặt $x_0 = \frac b a$ , ta viết nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b như sau:

$f(x) = ax + b = a\left(x+\frac b a\right) = a(x - x_0).$

Khi x > x₀ thì x - x₀ > 0 nên dấu của a(x - x₀) trùng với dấu của a.

Khi x < x₀ thì x - x₀ > 0 nên dấu của a(x - x₀) trái với dấu của a.

Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:

Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f(x) = ax + b.

VÍ DỤ 1	Xét dấu nhị thức: a) f(x) = 2x - 3; b) f(x) = 2 - 3x.

Lời giải

a) Nhị thức 2x - 3 có hệ số a = 2 và có nghiệm $x_0 = \frac 3 2$ . Do đó, dấu của nó được cho trong bảng sau:

Nhị thức đã cho dương khi $x_0 > \frac 3 2$ và âm khi $x_0 < \frac 3 2.$

b) Nhị thức 2 - 3x có hệ số a = -3 và có nghiệm $x_0 = \frac 2 3$ . Suy ra bảng dấu:

Nhị thức đã cho dương khi $x_0 < \frac 2 3$ và âm khi $x_0 > \frac 2 3.$

Hoạt động 2	`Xét dấu các nhị thức f(x) = 3x + 2; g(x) = -2x + 5.`

Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Từ đó lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương của những nhị thức bậc nhất cũng được xét tương tự.

VÍ DỤ 2	Xét dấu biểu thức: $f(x) = \frac{(4x -1)(x+2)}{-3x+5}.$

Lời giải

Giải các phương trình:

4x - 1 = 0 $\Rightarrow x = \frac 1 4;$ x + 2 = 0 $\Rightarrow$ x = -2; -3x + 5 = 0 $\Rightarrow x = \frac 5 3.$

f(x) không xác định khi $x = \frac 5 3.$

Lập bảng xét dấu chung:

(Dấu sổ || chỉ rằng f(x) không xác định khi $x = \frac 5 3.$ )

Từ bảng xét dấu ta thấy:

f(x) > 0 khi $x \in (-\infty;-2)$ hoặc $x \in \left(\frac 1 4;\frac 5 3\right);$
f(x) < 0 khi $x \in \left(-2;\frac 1 4\right)$ hoặc $x \in \left(\frac 5 3;+\infty\right);$
f(x) = 0 khi x = -2 hoặc $x = \frac 1 4.$

Hoạt động 3	`Xét dấu biểu thức f(x) = (2x - 1).(-x + 3).`

Áp dụng

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

Giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

VÍ DỤ 3	Giải bất phương trình: $\frac{4}{x -1} > \frac{7}{2x+1}.$

Lời giải

Vì không biết dấu của các biểu thức x - 1 và 2x + 1, nên ta không được phép nhân cả hai vế của bất phương trình với biểu thức (x - 1).(2x + 1) để khử mẫu số.

Ta cần tiến hành như sau: chuyển vế phải sang vế trái, bất phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{4}{x -1} > \frac{7}{2x+1} \Leftrightarrow \frac{4}{x -1} - \frac{7}{2x+1} > 0$

$\Leftrightarrow \frac{4(2x+1)-7(x -1)}{(x-1)(2x+1)}> 0 \Leftrightarrow \frac{x+11}{(x-1)(2x+1)} > 0.$ ^(*)

Lập bảng xét dấu cho vế trái của (*):

Từ bảng xét dấu trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là:

$\left(-11;-\frac 1 2\right) \cup (1;+\infty)$

Hoạt động 4	`Giải bất phương trình x³ - 4x < 0.`

Giải phương trình/bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ta đã biết, hai phương pháp để khử dấu giá trị tuyệt đối cho các phương trình dạng $| a x + b | = c x + d$ và $| a x + b | = | c x + d |$ . Ngoài ra, để giải các phương trình (bất phương trình) chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu nhị thức ax + b. Cụ thể là, chia tập xác định của phương trình (bất phương trình) thành nhiều khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên các khoảng (nửa khoảng, đoạn) đó ta giải các phương trình không chứa giá trị tuyệt đối.

VÍ DỤ 4	Giải phương trình: $\| x - 1 \| + \| 2 x - 4 \| = 3.$ (1)

Lời giải

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

$|x - 1| = \begin{cases}x - 1 &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x \ge 1\\ -(x - 1) &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x < 1.\end{cases}$

$|2x - 4| = \begin{cases}2x - 4 &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x \ge 2\\ -(2x - 4) &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x < 2.\end{cases}$

Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối chung cho: $| x - 1 | , | 2 x - 4 |$ và phương trình (1):

Trên khoảng (-∞; 1), ta có: (1) $\Leftrightarrow$ -3x + 5 = 3 $\Leftrightarrow x = \frac 2 3$ (tmđk: x < 1).

Trên nửa khoảng [1;2), ta có: (1) $\Leftrightarrow$ -x + 3 = 3 $\Leftrightarrow$ x = 0 (loại).

Trên nửa khoảng [2; +∞), ta có: (1) $\Leftrightarrow$ 3x - 5 = 3 $\Leftrightarrow x = \frac 8 3$ (tmđk: x ≥ 2).

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là: $x = \frac 2 3$ và $x = \frac 8 3.$

CHÚ Ý: Khi giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp lập bảng như trên, ta cần lưu ý rằng: Tập nghiệm của phương trình ban đầu là hợp của các tập nghiệm trên từng khoảng. Đây cũng là điều cần chú ý khi giải một bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

VÍ DỤ 5	Giải bất phương trình $\| - 2 x + 1 \| + x - 3 < 5.$

Lời giải

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

$|-2x + 1| = \begin{cases}-2x + 1 &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x \le \cfrac 1 2\\ -(-2x + 1) &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x > \cfrac 1 2.\end{cases}$

Từ đó ta có bảng khử dấu giá trị tuyệt đối sau:

Giải các hệ bất phương trình:

$\begin{cases}x \le \cfrac 1 2 \\ (-2x + 1) + x - 3 < 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \le \cfrac 1 2 \\ x > -7 \end{cases}\quad \Leftrightarrow -7< x \le \frac 1 2.$

$\begin{cases}x > \cfrac 1 2 \\ (2x - 1) + x - 3 < 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x > \cfrac 1 2 \\ x < 3 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \frac 1 2 < x < 3.$

Nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng:

$\left(-7;\frac 1 2\right] \cup \left(\frac 1 2;3\right) = (-7;3)$

CHÚ Ý:

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng |f(x)| ≤ a và |f(x)| ≥ a với a > 0 đã cho.

Với **a > 0** ta có:
$\|f(x)\| \le a\ \Leftrightarrow\ -a \le f(x) \le a$ $\|f(x)\| \ge a\ \Leftrightarrow\ f(x)\le -a\ \mbox{or}\ f(x) \ge a.$

BÀI TẬP

1. Xét dấu các biểu thức:

a) f(x) = (2x - 1)(x + 3);	b) f(x) = (-3x - 3)(x + 2)(x + 3);
c) $f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{x-2};$	d) f(x) = 4x² - 1.

Hướng dẫn Bài 1d): Phân tích đa thức thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu.

2. Giải các bất phương trình

a) $\frac{2}{x-1} \le \frac{5}{2x-1};$	b) $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{(x-1)^2};$
c) $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+4} < \frac{3}{x+3};$	d) $\frac{x^2-3x+1}{x^2-1} < 1.$

3. Giải các bất phương trình

a) $\|5x - 4\| \ge 6;$	b) $\| x + 1 \| + \| x - 1 \| = 4;$
c) $\|2x - 3\| \le x + 1;$	d) $\left\|\frac{-5}{x+2}\right\|< \left\|\frac{10}{x-1}\right\|.$

Hướng dẫn Bài 3d): Với x ≠ -2 và x ≠ 1 thì $|x + 2|\,$ và $|x - 1|\,$ đều dương, nên nhân cả hai vế của bất phương trình với tích: $|x + 2|.|x - 1|.\,$

____________________________

Làm thêm

4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) m(x - m) ≤ x - 1;	b) (m + 1)x + m < 3x + 4;
c) $\| x - 1 \| = 2 x - m;$	d) $(2x - \sqrt{2})(x - m) > 0.$

5. Xét dấu các biểu thức sau:

a) -x² + x + 6

b) $2x^2 - (2 + \sqrt{3})x + \sqrt{3}.$

6. Giải các bất phương trình:

a) $|2x - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - x| > 3x - 2;$

b) $|(\sqrt{2} - \sqrt{3})x + 1| \le \sqrt{3} + \sqrt{2}.$

7. Giải các hệ bất phương trình:

a) $\begin{cases}(x-3)(\sqrt{2} - x)>0 \\ \cfrac{4x - 3}{2} < x + 3;\end{cases}$

b) $\begin{cases}\cfrac{2}{2x - 1} \le \cfrac{1}{3 - x} \\ |x| < 1.\end{cases}$

Tài liệu tham khảo

Sách in:
- Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 87.
- Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 122.
- Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001, trang 81.
- Tài liệu giáo khoa thí điểm, Đại số 10, Ban khoa học tự nhiên, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 130.