Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 2. Từ Co đến Eq (11 – 21)

11. Conchoid (đường vỏ sò Conchoid)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $(x-b)^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})=a^{2}\cdot x^{2}$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r=a+b\cdot \sec(\theta )$

Tên gọi này có nghĩa là dạng vỏ sò do Nicomedes và các nhà toán học Hy Lạp nghiên khoảng 200 trước Công nguyên, liên quan đến bài toán gấp đôi thể tích của khối lập phương. Nicomedes đã xác định được ba dạng khác biệt trong họ đường cong này.

Nicomedes là một nhà hình học trẻ tuổi, khoảng 180 trước Công nguyên. Đường cong vỏ sò do là Pappus đặt tên và xem như là phát minh chính của Nicomedes. Như Nicomedes đã tiên đoán, vào thế kỷ 17 các nhà toán học rất quan tâm đến đường vỏ sò Conchoid và có nhiều ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán về nhân đôi khối lập phương và chia một góc làm 3 phần.

Newton đã từng nói rằng nó phải là một đường cong 'chính tắc'. Conchoid có x = b là một tiệm cận đứng và diện tích giới hạn bởi nhánh và tiệm cận là vô hạn. Diện tích của vòng lặp là:

$s=b.{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}-2ab\log {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}+a^{2}.\arccos {\left({\frac ba}\right)}$

Đường conchoid có nhiều ứng dụng trong việc xây dựng các tòa nhà thời cổ, phần thân của các cột thẳng đứng thường được thực hiện theo hình dạng của các vòng lặp của đường cong này.

12. Conchoid of de Sluze (đường vỏ sò Conchoid Sluze)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $a\cdot (x+a)(x^{2}+y^{2})=k^{2}x^{2}$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $a\cdot (a+r.\cos \theta )=k^{2}.\cos ^{2}\theta$

Đường cong này lần đầu tiên được René de Sluze xây dựng vào năm 1662.

René Francois Walter Baron de Sluze vốn là một nhà toán học nhưng có tầm ảnh hưởng rất quan trọng đối với giáo hội. Ông đã góp phần vào việc xác định tính chất hình học của đường xoắn ốc (spiral) và phát minh ra phương pháp chung để xác định điểm uốn của đường cong.

13. Cycloid (đường bánh xe cycloid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes: $\left\{{\begin{matrix}x=at-hsint\\y=a-hcost\end{matrix}}\right.$

Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục Ox. Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục Ox, điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.

Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường cong gọi tên là curtate cycloid. Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có chu vi là C thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài 4 C.

Cycloid là quỹ tích của một điểm có khoảng cách h từ tâm của một đường tròn bán kính a có thể lăn không trượt dọc theo một đường thẳng.

• Nếu h < a nó là một cycloid curtate.

• Nếu h > a nó là một cycloid prolate.

• Nếu h = a nó là một cycloid được vẽ ở trên.

Cusa lần đầu tiên nghiên cứu cycloid khi ông đã cố gắng để tìm diện tích của một vòng tròn bằng cách tích phân. Mersenne đã đưa ra định nghĩa thích hợp của cycloid và nêu các tính chất rõ ràng , chẳng hạn như độ dài của các bán kính cơ sở tương đương với chu vi của vòng tròn lăn. Mersenne cũng đã cố gắng để tìm diện tích giới hạn bởi đường cong cycloid nhưng không thành công. Ông đặt ra các câu hỏi để các nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu .

Galileo đặt tên cho đường cong này vào năm 1599. Năm 1639, ông đã viết cho Torricelli về cycloid, nói rằng ông đã nghiên cứu các thuộc tính của nó trong suốt 40 năm. Galileo đã cố gắng để tìm diện tích cycloid bằng cách so sánh diện tích của vòng tròn tạo ra nhưng đã không thành công. Mersenne đưa ra bài toán diện tích cycloid cho Roberval năm 1628, và mặc dù ông đã thất bại lúc đầu, bài toán này đã được Roberval giải quyết năm 1634. Nếu h = a diện tích giới hạn bởi một cung cycloid là $3\pi a^{2}$ . Năm 1658 Pascal, sau một thời kỳ dành cho nghiên cứu tôn giáo, ông bắt đầu suy nghĩ về các vấn đề trong lĩnh vực toán học. Ông đã giải quyết bài toán diện tích và trọng tâm của một cung cycloid bất kỳ,các bài toán về diện tích và thể tích vật thể tròn xoay khi quay cycloid quanh trục Ox.

Năm 1696 Johann Bernoulli, trong Acta eruditorum, đã đưa ra bài toán xét xem những đường cong nào đáp ứng các tính chất brachistochrone. Ông tìm được các tính chất brachistochrone của cycloid và công bố lời giải của mình vào năm 1697. Leibniz, Newton, Bernoulli và de L'Hôpital cũng tập trung nghiên cứu về vấn đề này. Đây là một trong những bài toán biến phân đầu tiên và việc khảo sát này là khởi điểm cho sự phát triển phép tính biến phân (the calculus of variations).Cả hai đường pháp bao ngoài (evolute) và trong (involute) của cycloid đều là một cycloid đồng dạng. Trong thực tế bài toán về đường pháp bao ngoài (evolute) được nghiên cứu bởi Huygens, và cũng từ công trình về cycloid Huygens đã phát triển lý thuyết chung của đường pháp bao ngoài (evolute) của các đường cong.

14. Devil's curve (đường cong quỷ)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $b\cdot x^{2}+a\cdot y^{2}=x^{4}-y^{4}$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r={\sqrt {{\frac {25-24\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}}$

Đường cong quỷ đã được Gabriel Cramer nghiên cứu năm 1750 và Lacroix vào năm 1810. Tên gọi này xuất hiện trong Nouvelles Annalesin năm 1858.

Cramer (1704-1752) là một nhà toán học Thụy Sĩ. Ông trở thành giáo sư toán học tại Giơ-ne-vơ và đã có nhiều công trình liên quan đến vật lý, hình học và lịch sử của toán học. Ông được biết đến với nghiên cứu của mình về định thức (determinants) (1750) nhưng cũng có những đóng góp cho công trình về các đường cong đại số (1750).

15. Double Folium (đường cong lá đôi)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $(x^{2}+y^{2})^{2}=4a\cdot xy^{2}$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r=4a\cdot \cos \theta .\sin ^{2}\theta$

Phương trình tổng quát đường hình lá được cho bởi công thức $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+bx+y^{2})=4a\cdot xy^{2}$

hoặc, trong tọa độ cực $r=-b\cos \theta +4a\cdot \cos \theta \sin ^{2}\theta$

Folium có nghĩa là hình lá. Có ba dạng đặc biệt của hình lá, lá đơn, lá đôi và lá ba, tương ứng với các trường hợp: Nhập công thức toán vào đây $b=4\ a,b=0,b=a$ trong phương trình tổng quát đường hình lá.

16. Durer's shell curve (đường vỏ sò Durer)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $(x^{2}+xy+ax-b^{2})^{2}=(b^{2}-x^{2})\cdot (x-y+a)^{2}$

Những đường cong xuất hiện trong công trình của Dürer - Instruction in measurement with compasses and straight edge(1525). (Những kiến thức về đo lường bằng compa và thước kẻ).

Dürer gọi đường cong đó là " ein muschellini "có nghĩa là vỏ sò, nhưng vì nó không giống với đường vỏ sò thực (conchoid) nên ta gọi đó là đường cong vỏ Dürer (muschellini = giống vỏ sò = shell). Có một số trường hợp đặc biệt thú vị: Trong công thức trên, chúng ta có:

b = 0; đường cong trở thành hai đường thẳng trùng nhau $\ x^{2}=0$

a = 0; đường cong trở thành cặp đường thẳng $x=\pm {\frac {b}{{\sqrt {2}}}}$ cùng với đường tròn $x^{2}+y^{2}=\ b^{2}$

a = b / 2; đường cong có đỉnh tại S(–2a, a).

17. Figure Eight Curve (đường cong hình số 8)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $x^{4}=a^{2}\cdot (x^{2}-y^{2})$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r^{2}=a^{2}\cdot \cos {2\theta }.\sec ^{4}\theta$

Đường cong này cũng được biết đến như các đường Lemniscate Gerono. Đây là công trình nghiên cứu của Camille-Christophe Gerono (1799 ~ 1891).

Lemniscate của Gerono còn được gọi là đường cong hình số 8. Nó có thể được xây dựng như sau: cho đường tròn bán kính 1 tâm ở gốc O. P là một điểm trên vòng tròn. M là giao điểm của đường thẳng x = 1 và một đường nằm ngang đi qua P. Gọi Q là giao điểm của OM và đường thẳng đứng qua P. Khi P di chuyển trên đường tròn thì Q vẽ thành đường cong hình số 8.

18. Ellipse (đường Ellipse)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes: $\left\{{\begin{matrix}x=a.cost\\y=b.sint\end{matrix}}\right.$

Ellipse lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Menaechmus. Euclid cũng đã viết về hình elip và Apollonius đặt tên cho đường cong này như hiện tại.

Pappus cũng có những đóng góp về tiêu điểm và đường chuẩn của Ellipse.Năm 1602 Kepler cho biết ông tin rằng quỹ đạo của sao Hỏa là hình bầu dục, sau đó ông mới phát hiện ra rằng đó là một hình elip với mặt trời là một trong những tiêu điểm. Thực ra, chính Kepler đã giới thiệu từ "tiêu điểm" và công bố phát hiện của ông vào năm 1609. Độ lệch tâm (còn gọi là tâm sai) của quỹ đạo hành tinh khá nhỏ (tức là chúng gần với vòng tròn). Tâm sai của sao Hỏa là 1/11 và của Trái đất là 1/60. Năm 1705, Halley đã cho thấy rằng các sao chổi, mà bây giờ được đặt tên của ông, di chuyển trong một quỹ đạo hình elip mặt trời. Tâm saicủa sao chổi Halley là 0,9675 do đó, nó gần giống một parabol (có tâm sai là 1). Diện tích của hình elip là $\pi \cdot ab$ . Không có công thức chính xác cho chu vi của một hình elip biểu diễn theo các hàm số sơ cấp và điều này đã dẫn đến việc nghiên cứu các hàm số eliptic. Ramanujan, trong năm 1914, đưa ra chu vi xấp xỉ là $\pi \left\{3(a+b)-{\sqrt {(a+3b)(3a+b)}}\right\}$

Đường pháp bao ngoài của ellipse với phương trình ở trên là đường cong Lamé.

$(a\cdot x)^{{2/3}}+(b\cdot y)^{{2/3}}=(a-b)^{{2/3}}$

Ellipse là đường cắt giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng

19. Epicycloid (đường Epicycloid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

$x=(a+b).\cos t-b.\cos({\frac ab}+1)t;y=(a+b).\sin t-b.\sin({\frac ab}+1)t$

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ đến Epicycloid gồm có Epicycloid, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid là quỹ tích một điểm P trên đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a cố định. Đối với Epicycloid, một trong số ví dụ được hiển thị ở trên, đường tròn bán kính b lăn bên ngoài của đường tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của đường tròn bán kính b.

Đối với ví dụ ở đây ta có a = 8 và b = 5.

Một số nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu đến epicycloid như Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (năm 1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).

Trường hợp đặc biệt a = b ta có đường cardioid. Nếu a = 2b ta thu được đường cong nephroid.

Nếu a = (m - 1) b với m là một số nguyên, chu vi của epicycloid là 8bm và diện tích của nó là $\pi b^{2}(m^{2}+\ m)$

Đường pháp bao liên tục của epicycloid 6 đỉnh

20. Epitrochoid (đường Epitrochoid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

$x=(a+b).\cos t-c.\cos({\frac ab}+1)t;y=(a+b).\sin t-c.\sin({\frac ab}+1)t$

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với Epitrochoid gồm Epicycloid, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid. Epitrochoid là quỹ tích điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a cố định.

Đối với epitrochoid, một trong số ví dụ nêu trên, đường tròn bán kính b lăn không trượt bên ngoài đường tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách là c tính từ tâm của đường tròn bán kính b. Đối với ví dụ này ta có a = 5, b = 3 và c = 5 (P chuyển động bên trong vòng tròn bán kính a).

Một ví dụ về epitrochoid xuất hiện trong công trình của Dürer - Những kiến thức về đo lường bằng compa và thước kẻ (năm 1525). Ông gọi chúng là đường cong nhện. Những đường cong epitrochoid cũng được nghiên cứu bởi la Hire, Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác.

Epitrochoid là một họ đường cong cycloid, cũng là trường hợp đặc biệt về đường Roullete.

21. Equiangular Spiral (đường xoắn ốc đẳng giác)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r=a\cdot e^{{\theta .\cot b}}$

Đường xoắn ốc đẳng giác được phát minh bởi Descartes năm 1638. Trong công trình nghiên cứu độc lập của Torricelli ông cũng đã tìm thấy chiều dài của đường cong này.

Đường xoắn ốc đẳng giác và cát tuyến của nó

Nếu P là điểm bất kỳ trên đường xoắn ốc thì chiều dài của đường xoắn ốc từ P đến tâm đường cong là hữu hạn, khoảng cách từ P đến cực là d.sec(b) với d là khoảng cách của vector bán kính OP. Jacob Bernoulli vào năm 1692 đã gọi tên đường cong là Spira mirabilis và nó được khắc trên ngôi mộ của ông ở Basel. Hiện tượng tự nhiên này thường xảy ra ở nhiều nơi như vỏ sò, vỏ ốc biển, khi sự phát triển của sinh vật là tỷ lệ thuận với kích thước của sinh vật ấy. Trong cuốn sách " Sự tăng trưởng và hình dạng " của mình, Thompson D'Arcy đã dành cả một chương để đường cong này và mô tả điều xảy ra trong thiên nhiên như là kết quả của cuộn tròn một hình nón trên chính nó, hình ảnh này tương phản với các hình xoắn ốc của Archimedes được hình thành bằng cách cuộn một hình trụ. Đường xoắn ốc tạo ra một góc không đổi b với bất kỳ vector bán kính nào. Trong trường hợp đặc biệt, khi b = π / 2 ta có được một đường tròn. Đối với các đường cong được hiển thị ở trên thì b = 7π/16. Vì vậy chiều dài của đường cong từ một điểm ở khoảng cách d tính từ điểm gốc cùng một vector bán kính là khoảng 5,126 d. Johann Bernoulli cũng đã chứng minh rằng đường pháp bao ngoài (evolute) và trong (involute) của đường xoắn ốc đẳng giác là một đường xoắn ốc đẳng giác đồng dạng.

Đường pháp bao ngoài của đường xoắn ốc đẳng giác

Đường xoắn ốc đẳng giác với góc $80^{{\circ }}$

Tham khảo

1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html

2. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

3. Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions, And a Few Answers. Department of Mathematics, Computer Science, and Statistics,Bloomsburg University Bloomsburg, Pennsylvania 17815.

4. A Handbook on curves and their properties. Robert C. Yates, printed by Edwards Brothers, Inc - Ann Arbor, Michigan U.S.A.

Bản quyền

Trần Hồng Cơ

Biên tập và trích dịch.

Ngày 01/04/2012

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Mục lục

1. Giới thiệu
2. Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)
3. Phần 2. Từ Co đến Eq (11 – 21)
4. Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)
5. Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)
6. Phần 5. Từ Pe đến Rh (43 – 48)
7. Phần 6. Từ Ri đến Sp (49 – 53)
8. Phần 7. Từ Sp đến Tr (54 – 58)
9. Phần 8. Từ Tr đến Wi (59 – 63)

Bài liên quan

• Tỉ lệ logarit
• Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
• Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
• Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit
• Kẻ thất bại và kẻ siêu thất bại

• « Mới nhất
• ‹ Mới hơn
• Cũ hơn ›

Liên kết đến đây

• Danh mục và lịch sử các đường cong
• Bản mẫu:Danh mục và lịch sử các đường cong
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 5. Từ Pe đến Rh (43 – 48)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 6. Từ Ri đến Sp (49 – 53)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 7. Từ Sp đến Tr (54 – 58)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 8. Từ Tr đến Wi (59 – 63)