20140413152326
Ai theo dõi trang này
Mời quảng cáo

Hình học 10/Chương I/§2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS

\vec a + \vec b =?,\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=?,\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=?,\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=?

Mục lục

Lí thuyết

Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ \vec a\vec b. Lấy một điểm O tùy ý, vẽ \overrightarrow{OA}=\vec a\overrightarrow{AB}=\vec b. Vectơ \overrightarrow{OB} được gọi là tổng của hai vectơ \vec a\vec b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ \vec a\vec b\vec a + \vec b. Vậy \overrightarrow{OB}=\vec a + \vec b (hình 1-6).
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
 


Hình 1-6


Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} (hình 1-7).


Hình 1-7


Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ \vec a , \vec b , \vec c\; tùy ý ta có:
\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\;(tính chất giao hoán)
(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b +  \vec c)\;(tính chất kết hợp)
\vec a + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \vec a = \vec a\;(tính chất của vectơ-không).

Hình 1-8 dưới đây, minh họa các tính chất trên.


Hình 1-8


Hoạt động 1
Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1-8.
 

Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Hoạt động 2
Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}
 
Cho vectơ \vec a. vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với \vec a được gọi là vectơ đối của vectơ \vec a, kí hiệu là -\vec a.
 

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của \overrightarrow{AB}\overrightarrow{BA}, nghĩa là -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}.

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ \vec 0 là vectơ \vec 0.


VÍ DỤ 1
Hình 1-9
Nếu D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 1-9), khi đó ta có:
  • Hai vectơ \overrightarrow{DC}\overrightarrow{EF} có cùng độ dài nhưng ngược hướng với nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau. Do đó, ta có thể viết
-\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DC} hoặc -\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF}

Tương tự, ta có:

  • -\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BD} hoặc - \overrightarrow{BD}=  \overrightarrow{EF}
  • -\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{EC} hoặc  -\overrightarrow{EC}  = \overrightarrow{EA}
 


Hoạt động 3
Cho \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec 0. Hãy chứng tỏ là vectơ \overrightarrow{BC} là vectơ đối của \overrightarrow{AB}.
 

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ \vec a\vec b. Ta gọi hiệu của hai vectơ \vec a\vec b là vectơ \vec a + (-\vec b). Kí hiệu \vec a -\vec b.
 
Như vậy:
\vec a -\vec b = \vec a + (-\vec b)
Hình 1-10
CHÚ Ý
1) Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:
  • Quy tắc trừ hai vectơ cùng điểm đầu (suy ra từ định nghĩa hiệu của hai vectơ)
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}   hay \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}
  • Quy tắc ba điểm (Quy tắc cộng hai vectơ liên tiếp)
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}   hay \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}


VÍ DỤ 2
Chứng minh rằng: "Với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có:  \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}".

Ta có:

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DB} - luôn đúng.

Vậy đẳng thức đã cho luôn đúng (đpcm).

 

Áp dụng

Hình 1-11

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0.

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0.


CHỨNG MINH

b)

  • Thuận
  1. Gọi I là trung điểm của BC.
  2. Vẽ D là điểm đối xứng với G qua I.
  3. Từ (1)&(2) suy ra BGCD là hình bình hành.
  4. Từ (3) suy ra \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}
  5. Từ (2) suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
  6. Từ (5) suy ra \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD} = \vec 0.
  7. Từ (4)&(6), ta có: \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD} = \vec 0 (đpcm).
  • Đảo

Ngược lại, giả sử \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0. Vẽ hình bình hành BGCDI là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}, suy ra \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD} = \vec 0 nên G là trung điểm của AD. Do đó ba điểm A, G, D thẳng hàng, GA = 2 GI, điểm G nằm giữa AI. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.


BÀI TẬP

1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}.

2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}.

3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a) \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec 0 b) \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}.

4. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec 0.

5. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.

6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) \overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB} b) \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}
c) \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC} d) \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\vec 0
7. Cho \vec a , \vec b là hai vectơ khác vectơ \vec 0. Khi nào có đẳng thức:
a) |\vec a + \vec b|=|\vec a| + |\vec b| b) |\vec a + \vec b|=|\vec a - \vec b|

8. Cho |\vec a + \vec b|=0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \vec a\vec b.

9. Chứng minh rằng \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

10. Cho ba lực \overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{MB}\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{MC} cùng động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \overrightarrow{F_1} , \overrightarrow{F_2} đều là 100N và \widehat{AMB}=60^\circ. Tìm cường độ và hướng của lực \overrightarrow{F_3}.



<<< Hình học 10

 
Gõ tiếng Việt có dấu:
(Hỗ trợ định dạng wikitext)
Công cụ cá nhân