Hình học 10/Chương I/§2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Từ VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm
{\vec  a}+{\vec  b}=?,\ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=?,\ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}=?,\ \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=?

Lí thuyết

Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ {\vec  a}{\vec  b}. Lấy một điểm O tùy ý, vẽ \overrightarrow {OA}={\vec  a}\overrightarrow {AB}={\vec  b}. Vectơ \overrightarrow {OB} được gọi là tổng của hai vectơ {\vec  a}{\vec  b}. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ {\vec  a}{\vec  b}{\vec  a}+{\vec  b}. Vậy \overrightarrow {OB}={\vec  a}+{\vec  b} (hình 1-6).
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
 


Hình 1-6


Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC} (hình 1-7).


Hình 1-7


Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ {\vec  a},{\vec  b},{\vec  c}\; tùy ý ta có:
{\vec  a}+{\vec  b}={\vec  b}+{\vec  a}\; (tính chất giao hoán)
({\vec  a}+{\vec  b})+{\vec  c}={\vec  a}+({\vec  b}+{\vec  c})\; (tính chất kết hợp)
{\vec  a}+\overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}+{\vec  a}={\vec  a}\; (tính chất của vectơ-không).

Hình 1-8 dưới đây, minh họa các tính chất trên.


Hình 1-8


Hoạt động 1
Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1-8.
 

Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Hoạt động 2
Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ \overrightarrow {AB}\overrightarrow {CD}
 
Cho vectơ {\vec  a}. vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với {\vec  a} được gọi là vectơ đối của vectơ {\vec  a}, kí hiệu là -{\vec  a}.
 

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của \overrightarrow {AB}\overrightarrow {BA}, nghĩa là -\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA}.

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ {\vec  0} là vectơ {\vec  0}.


VÍ DỤ 1
Hình 1-9
Nếu D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 1-9), khi đó ta có:
  • Hai vectơ \overrightarrow {DC}\overrightarrow {EF} có cùng độ dài nhưng ngược hướng với nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau. Do đó, ta có thể viết
-\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {DC} hoặc -\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {EF}

Tương tự, ta có:

  • -\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {BD} hoặc -\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {EF}
  • -\overrightarrow {EA}=\overrightarrow {EC} hoặc -\overrightarrow {EC}=\overrightarrow {EA}
 


Hoạt động 3
Cho \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}={\vec  0}. Hãy chứng tỏ là vectơ \overrightarrow {BC} là vectơ đối của \overrightarrow {AB}.
 

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ {\vec  a}{\vec  b}. Ta gọi hiệu của hai vectơ {\vec  a}{\vec  b} là vectơ {\vec  a}+(-{\vec  b}). Kí hiệu {\vec  a}-{\vec  b}.
 
Như vậy:
{\vec  a}-{\vec  b}={\vec  a}+(-{\vec  b})
Hình 1-10
CHÚ Ý
1) Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:
  • Quy tắc trừ hai vectơ cùng điểm đầu (suy ra từ định nghĩa hiệu của hai vectơ)
\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {CB}   hay \overrightarrow {CB}=\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}
  • Quy tắc ba điểm (Quy tắc cộng hai vectơ liên tiếp)
\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}   hay \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}


VÍ DỤ 2
Chứng minh rằng: "Với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có: \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB}".

Ta có:

\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB}\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CD}\Leftrightarrow \overrightarrow {DB}=\overrightarrow {DB} - luôn đúng.

Vậy đẳng thức đã cho luôn đúng (đpcm).

 

Áp dụng

Hình 1-11

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow {IA}+\overrightarrow {IB}={\vec  0}.

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}={\vec  0}.


CHỨNG MINH

b)

  • Thuận
  1. Gọi I là trung điểm của BC.
  2. Vẽ D là điểm đối xứng với G qua I.
  3. Từ (1)&(2) suy ra BGCD là hình bình hành.
  4. Từ (3) suy ra \overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GD}
  5. Từ (2) suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
  6. Từ (5) suy ra \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec  0}.
  7. Từ (4)&(6), ta có: \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec  0} (đpcm).
  • Đảo

Ngược lại, giả sử \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}={\vec  0}. Vẽ hình bình hành BGCDI là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó \overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GD}, suy ra \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec  0} nên G là trung điểm của AD. Do đó ba điểm A, G, D thẳng hàng, GA = 2 GI, điểm G nằm giữa AI. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.


BÀI TẬP

1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ \overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}\overrightarrow {MA}-\overrightarrow {MB}.

2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MD}.

3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a) \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DA}={\vec  0} b) \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CD}.

4. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \overrightarrow {RJ}+\overrightarrow {IQ}+\overrightarrow {PS}={\vec  0}.

5. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BC}.

6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) \overrightarrow {CO}-\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {AB} b) \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {DB}
c) \overrightarrow {DA}-\overrightarrow {DB}=\overrightarrow {OD}-\overrightarrow {OC} d) \overrightarrow {DA}-\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {DC}={\vec  0}
7. Cho {\vec  a},{\vec  b} là hai vectơ khác vectơ {\vec  0}. Khi nào có đẳng thức:
a) |{\vec  a}+{\vec  b}|=|{\vec  a}|+|{\vec  b}| b) |{\vec  a}+{\vec  b}|=|{\vec  a}-{\vec  b}|

8. Cho |{\vec  a}+{\vec  b}|=0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ {\vec  a}{\vec  b}.

9. Chứng minh rằng \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD} khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

10. Cho ba lực \overrightarrow {F_{1}}=\overrightarrow {MA},\overrightarrow {F_{2}}=\overrightarrow {MB}\overrightarrow {F_{3}}=\overrightarrow {MC} cùng động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \overrightarrow {F_{1}},\overrightarrow {F_{2}} đều là 100N và \widehat {AMB}=60^{\circ }. Tìm cường độ và hướng của lực \overrightarrow {F_{3}}.



<<< Hình học 10

Liên kết đến đây