Hình học 10/Chương I/§2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS

$\vec a + \vec b =?,\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=?,\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=?,\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=?$

Mục lục

1 Lí thuyết
2 BÀI TẬP

Lí thuyết

Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ . Lấy một điểm O tùy ý, vẽ $\overrightarrow{OA}=\vec a$ và $\overrightarrow{AB}=\vec b$ . Vectơ $\overrightarrow{OB}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là $\vec a + \vec b$ . Vậy $\overrightarrow{OB}=\vec a + \vec b$ (hình 1-6).
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Hình 1-6

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (hình 1-7).

Hình 1-7

Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ $\vec a , \vec b , \vec c\;$ tùy ý ta có:
$\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\;$	(tính chất giao hoán)
$(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)\;$	(tính chất kết hợp)
$\vec a + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \vec a = \vec a\;$	(tính chất của vectơ-không).

Hình 1-8 dưới đây, minh họa các tính chất trên.

Hình 1-8

Hoạt động 1	`Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1-8.`

Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Hoạt động 2	`Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ và`

	Cho vectơ $\vec a$ . vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $\vec a$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec a$ , kí hiệu là $-\vec a$ .

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$ , nghĩa là $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ .

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ $\vec 0$ là vectơ $\vec 0$ .

VÍ DỤ 1

Hình 1-9

Nếu D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 1-9), khi đó ta có:

Hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{EF}$ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau. Do đó, ta có thể viết

$-\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DC}$ hoặc $-\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF}$

Tương tự, ta có:

$-\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BD}$ hoặc $- \overrightarrow{BD}= \overrightarrow{EF}$
$-\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{EC}$ hoặc $-\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA}$

Hoạt động 3	`Cho . Hãy chứng tỏ là vectơ là vectơ đối của .`

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

	Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ . Ta gọi hiệu của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là vectơ $\vec a + (-\vec b)$ . Kí hiệu $\vec a -\vec b$ .

Như vậy:

$\vec a -\vec b = \vec a + (-\vec b)$

Hình 1-10

CHÚ Ý

1) Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:

Quy tắc trừ hai vectơ cùng điểm đầu (suy ra từ định nghĩa hiệu của hai vectơ)

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ hay $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

Quy tắc ba điểm (Quy tắc cộng hai vectơ liên tiếp)

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ hay $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

VÍ DỤ 2

Chứng minh rằng: "Với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$ ".

Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DB}$ - luôn đúng.

Vậy đẳng thức đã cho luôn đúng (đpcm).

Áp dụng

Hình 1-11

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0$ .

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$ .

CHỨNG MINH

b)

Thuận

Gọi I là trung điểm của BC.
Vẽ D là điểm đối xứng với G qua I.
Từ (1)&(2) suy ra BGCD là hình bình hành.
Từ (3) suy ra $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$
Từ (2) suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Từ (5) suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD} = \vec 0$ .
Từ (4)&(6), ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD} = \vec 0$ (đpcm).

Đảo

Ngược lại, giả sử $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$ . Vẽ hình bình hành BGCD có I là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$ , suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD} = \vec 0$ nên G là trung điểm của AD. Do đó ba điểm A, G, D thẳng hàng, GA = 2 GI, điểm G nằm giữa A và I. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

BÀI TẬP

1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$ .

2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ .

3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec 0$	b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$ .

4. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec 0$ .

5. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ .

6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$	b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}$
c) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$	d) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\vec 0$

7. Cho $\vec a , \vec b$ là hai vectơ khác vectơ $\vec 0$ . Khi nào có đẳng thức:
a) $\|\vec a + \vec b\|=\|\vec a\| + \|\vec b\|$	b) $\|\vec a + \vec b\|=\|\vec a - \vec b\|$

8. Cho $|\vec a + \vec b|=0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ .

9. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

10. Cho ba lực $\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{MC}$ cùng động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1} , \overrightarrow{F_2}$ đều là 100N và $\widehat{AMB}=60^\circ$ . Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow{F_3}$ .