Hình học 10/Chương I/§2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Từ VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Lí thuyết

Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ . Lấy một điểm O tùy ý, vẽ . Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ . Vậy (hình 1-6).
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
 


Hình 1-6


Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì (hình 1-7).


Hình 1-7


Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ tùy ý ta có:
(tính chất giao hoán)
(tính chất kết hợp)
(tính chất của vectơ-không).

Hình 1-8 dưới đây, minh họa các tính chất trên.


Hình 1-8


Hoạt động 1
Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1-8.
 

Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Hoạt động 2
Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ
 
Cho vectơ . vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .
 

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của , nghĩa là .

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ .


VÍ DỤ 1
Hình 1-9
Nếu D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 1-9), khi đó ta có:
  • Hai vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau. Do đó, ta có thể viết
hoặc

Tương tự, ta có:

  • hoặc
  • hoặc
 


Hoạt động 3
Cho . Hãy chứng tỏ là vectơ là vectơ đối của .
 

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ . Ta gọi hiệu của hai vectơ là vectơ . Kí hiệu .
 
Như vậy:
Hình 1-10
CHÚ Ý
1) Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:
  • Quy tắc trừ hai vectơ cùng điểm đầu (suy ra từ định nghĩa hiệu của hai vectơ)
  hay
  • Quy tắc ba điểm (Quy tắc cộng hai vectơ liên tiếp)
  hay


VÍ DỤ 2
Chứng minh rằng: "Với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có: ".

Ta có:

- luôn đúng.

Vậy đẳng thức đã cho luôn đúng (đpcm).

 

Áp dụng

Hình 1-11

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi .

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .


CHỨNG MINH

b)

  • Thuận
  1. Gọi I là trung điểm của BC.
  2. Vẽ D là điểm đối xứng với G qua I.
  3. Từ (1)&(2) suy ra BGCD là hình bình hành.
  4. Từ (3) suy ra
  5. Từ (2) suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
  6. Từ (5) suy ra .
  7. Từ (4)&(6), ta có: (đpcm).
  • Đảo

Ngược lại, giả sử . Vẽ hình bình hành BGCDI là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó , suy ra nên G là trung điểm của AD. Do đó ba điểm A, G, D thẳng hàng, GA = 2 GI, điểm G nằm giữa AI. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.


BÀI TẬP

1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ .

2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng .

3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a) b) .

4. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng .

5. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ .

6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) b)
c) d)
7. Cho là hai vectơ khác vectơ . Khi nào có đẳng thức:
a) b)

8. Cho . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ .

9. Chứng minh rằng khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

10. Cho ba lực cùng động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của đều là 100N và . Tìm cường độ và hướng của lực .



<<< Hình học 10

Liên kết đến đây