Thư ngỏ từ Thư viện Khoa học gửi tới quý bạn đọc.

Hình học 10/Chương I/Ôn tập chương I

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS.

< Hình học 10

Jump to: navigation, search

Mục lục

1 Tóm tắt những kiến thức cần nhớ
2 Câu hỏi tự kiểm tra
3 Bài tập
4 Bài tập trắc nghiệm
5 Tài liệu tham khảo
6 Liên kết ngoài

Tóm tắt những kiến thức cần nhớ

Vectơ

Vectơ khác $\vec 0$ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Vectơ-không có độ dài bằng 0, có phương và hướng tùy ý.
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Tổng và hiệu của các vectơ

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có:

$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$

Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}$

Quy tắc về hiệu vectơ: Cho vectơ $\overrightarrow{MN}$ . Với điểm O bất kì, ta có:

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$

Tích của một vectơ với một số

Nếu thì và
- $\vec b$ cùng hướng với $\vec a$ khi k ≥ 0.
- $\vec b$ ngược hướng với $\vec a$ khi k < 0.

Các tính chất:

$k(l\vec a) = (kl)\vec a;$
$(k + l)\vec a = k\vec a + l\vec a;$
$k(\vec a + \vec b) = k\vec a + k\vec b;$
$k\vec a = \vec 0 \Leftrightarrow k = 0$ hoặc $\vec a = \vec 0.$

Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kì, ta có

$\overrightarrow{OI} = \frac 1 2 (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi với điểm O bất kì, ta có:

$\overrightarrow{OG} = \frac 1 3 (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$

Tọa độ của vectơ và của điểm

Đối với hệ trục tọa độ $(O, \vec i, \vec j)$ hay Oxy:

$\vec u = (a; b) \Leftrightarrow \vec u = a\vec i + b\vec j;$
$M=(x; y) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=(x;y).$

Nếu A = (x; y), B = (x'; y') thì $\overrightarrow{AB} = (x' - x; y' - y)$ .
Nếu $\vec u = (x;y)$ và $\vec v =(x';y')$ thì

$\vec u + \vec v = (x + x'; y + y');$
$k\vec u = (kx;ky).$

Câu hỏi tự kiểm tra

1. Hãy nói rõ vectơ khác đoạn thẳng như thế nào?

2. Nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ bằng nhau và có giá không trùng nhau thì bốn đỉnh A, B, C, D có là bốn đỉnh của một hình bình hành không?

3. Nếu có nhiều vectơ thì xác định tổng của chúng như thế nào?

4. Hiệu hai vectơ được định nghĩa qua khái niệm tổng hai vectơ như thế nào?

5. Cho hai điểm A, B phân biệt. Với một điểm O bất kì, mỗi đẳng thức sau đây đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB};$	b) $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA};$
c) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{BA};$	d) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{AB}.$

6. Có thể dùng phép nhân vectơ với một số để định nghĩa vectơ đối của một vectơ hay không?

7. Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương. Trong các vectơ $\vec c, \vec d, \vec u, \vec v, \vec x, \vec y$ sau đây, hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng và các vectơ ngược hướng

$\vec c = \frac 1 2 \vec a + \frac 2 3\vec b;$	$\vec d = -\vec a + \frac 1 3\vec b;$	$\vec u = 3\vec a + 4\vec b;$
$\vec v = 3\vec a - \vec b;$	$\vec x = -\frac 1 4\vec a - \frac 1 3\vec b;$	$\vec y = -9\vec a + 3\vec b.$

Hai vectơ $\vec c$ và $\vec d$ có cùng phương hay không? Tại sao?

8. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AG};$	b) $\overrightarrow{AG} = \frac 2 3\overrightarrow{AM};$	c) $\overrightarrow{MG} = \frac 1 2\overrightarrow{GA};$
d) $\overrightarrow{AG} = \frac 2 3(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC});$	e) $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG};$

9. Cho biết tọa độ hai điểm A và B. Làm thế nào để:

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB};$

b) Tìm tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng AB?

10. Cho biết tọa độ ba đỉnh của một tam giác. Làm thế nào để tìm tọa độ trọng tâm tam giác đó?

Bài tập

1. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác.

2. Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ đều khác $\vec 0$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ cùng hướng thì cùng phương.

b) Hai vectơ $\vec a$ và $k\vec b$ cùng phương.

c) Hai vectơ $\vec a$ và $(-2)\vec a$ cùng hướng.

d) Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ ngược hướng với vectơ thứ ba khác $\vec 0$ thì cùng phương.

3. Tứ giác ABCD là hình gì nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ và $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$ .

4. Chứng minh rằng $|\vec a + \vec b| \le |\vec a| + |\vec b|$ .

5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho.
a) $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$	b) $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$	c) $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}$ .

6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính

a) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$ b) $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ .

7. Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NQ}\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{RQ}$

8. Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho.
a) $\overrightarrow{OM}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$	b) $\overrightarrow{AN}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$
c) $\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$	d) $\overrightarrow{MB}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$

9. Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' thì $3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$ .

10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.

b) Vectơ $\vec a \ne \vec 0$ cùng phương với vectơ $\vec i$ nếu $\vec a$ có hoành độ bằng 0.

c) Vectơ $\vec a$ có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với vectơ $\vec j$ .

11. Cho $\vec a =(2;1)$ , $\vec b=(3;-4)$ , $\vec c =(-7;2)$ .

a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec u = 3\vec a + 2\vec b -4\vec c$ .

b) Tìm tọa độ vectơ $\vec x$ sao cho $\vec x + \vec a = \vec b - \vec c$ .

c) Tìm các số k và h sao cho $\vec c = k\vec a + h\vec b$ .

12. Cho $\vec u = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j$ , $\vec v = m\vec i - 4\vec j$ . Tìm m để $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

13. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

a) Điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0.

b) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của P bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B.

c) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và C bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của B và D.

Bài tập trắc nghiệm

1. Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác $\vec 0$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác bằng:
(A) 4	(B) 6	(C) 8	(D) 12.

2. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ khác $\vec 0$ cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng
(A) 4	(B) 6	(C) 7	(D) 8.

3. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng
(A) 2	(B) 3	(C) 4	(D) 6

4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là:
(A) 5	(B) 6	(C) 7	(D) 9

5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
(A) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}$	(B) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$
(C) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$	(D) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$

6. Cho hai điểm phân biệt A, B. Điều kiện để điêm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là
(A) IA = IB	(B) $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$
(C) $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$	(D) $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$

7. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
(A) $\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GI}$	(B) $\overrightarrow{IG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{IA}$
(C) $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$	(D) $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}$

8. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
(A) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$	(B) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$
(C) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{CD}$	(D) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$ .

9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành OABC, C nằm trên Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) $\overrightarrow{AB}$ có tung độ khác 0	(B) A và B có tung độ khác nhau.
(C) C có hoành độ bằng 0	(D) x_A + x_C - x_B = 0.

10. Cho $\vec u = (3;-2)$ , $\vec v = (1;6)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) $\vec u + \vec v$ và $\vec a = (-4;4)$ ngược hướng.

(B) $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

(D) $2\vec u + \vec v$ và $\vec v$ cùng phương.

11. Cho tam giác ABC có A(3;5), B(1;2), C(5;2). Trọng tâm của tam giác ABC là:
(A) G₁(-3;4)	(B) G₂(4;0)
(C) $G_3(\sqrt{2};3)$	(D) G₄(3;3).

12. Cho bốn điểm A(1;1), B(2;-1), C(4;3), D(3;5). Chọn mệnh đề đúng:

(A) Tứ giác ABCD là hình bình hành.

(B) Điểm $G(2;\frac{5}{3})$ là trọng tâm của tam giác BCD.

(D) $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ cùng phương.

13. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-5;-2), B(-5;3), C(3;3), D(3;-2). Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.	(B) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
(C) Điểm I(-1;1) là trung điểm AC.	(D) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$

14. Cho tam giác ABC. Đặt $\vec a = \overrightarrow{BC}$ , $\vec b = \overrightarrow{AC}$ . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
(A) $2\vec a + \vec b$ và $\vec a + 2\vec b$	(B) $\vec a - 2\vec b$ và $2\vec a - \vec b$
(C) $5\vec a + \vec b$ và $-10\vec a - \vec b$	(D) $\vec a + \vec b$ và $\vec a - \vec b$ .

15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có gốc O là tâm của hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) $\|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=AB\|$	(B) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.
(C) x_A = -x_C và y_A = y_C	(D) x_B = -x_C và y_C = -y_B

16. Kẻ MM₁ vuông góc với Ox, MM₂ vuông góc với Oy. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) $\overline{OM_1}=-3$	(B) $\overline{OM_2}=4$
(C) $\overrightarrow{OM_1}-\overrightarrow{OM_2}$ có tọa độ (-3;-4)	(D) $\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}$ có tọa độ (3;-4)

17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;-3), B(4;7). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
(A) (6;4)	(B) (2;10)
(C) (3;2)	(D) (8;-21)

18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(5;2), B(10;8). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là
(A) (15;10)	(B) (2;4)
(C) (5;6)	(D) (50;16)

19. Cho tam giác ABC có B(9;7), C(11;-1), M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là
(A) (2;-8)	(B) (1;-4)
(C) (10;6)	(D) (5;3).

20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3;-2), B(7;1), C(0;1), D(-8;-5). Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ đối nhau.

(B) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng.

(D) A, B, C, D thẳng hàng.

21. Cho ba điểm A(-1;-5), B(5;5), C(-1;11). Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) A, B, C thẳng hàng.	(B) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương
(C) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương	(D) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.

22. Cho $\vec a = (3;-4)$ , $\vec b = (-1;2)$ . Tọa độ của vectơ $\vec a + \vec b$ là
(A) (-4;6)	(B) (2;-2)	(C) (4;-6)	(D) (-3;-8)

23. Cho $\vec a = (-1;2)$ , $\vec b = (5;-7)$ . Tọa độ của vectơ $\vec a - \vec b$ là
(A) (6;-9)	(B) (4;-5)	(C) (-6;9)	(D) (-5;-14)

24. Cho $\vec a = (-5;0)$ , $\vec b = (4;x)$ . Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương nếu số x là
(A) -5	(B) 4	(C) 0	(D) -1

25. Cho $\vec a =(x;2)$ , $\vec b = (-5;1)$ , $\vec c =(x;7)$ . Vectơ $\vec c = 2\vec a + 3\vec b$ nếu
(A) x = -15	(B) x' = 3	(C) x = 15	(D) x = 5.

26. Cho A(1;1), B(-2;-2), C(7;7). Khẳng định nào đúng?
(A) G(2;2) là trọng tâm của tam giác ABC	(B) Điểm B ở giữa hai điểm A và C.
(C) Điểm A ở giữa hai điểm B và C.	(D) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

27. Các điểm M(2;3), N(0;-4), P(-1;6) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Toạ độ đỉnh A của tam giác là:
(A) (1;5)	(B) (-3;-1)	(C) (-2;-7)	(D) (1;-10).

28. Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ A(-2;2), B(3;5). Tọa độ của đỉnh C là:
(A) (-1;-7)	(B) (2;-2)	(C) (-3;-5)	(D) (1;7)

29. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
(A) Hai vectơ $\vec a = (-5;0)$ và $\vec b = (-4;0)$ cùng hướng	(B) Vectơ $\vec c =(7;3)$ là vectơ đối của $\vec d = (-7;3)$ .
(C) Hai vectơ $\vec u = (4;2)$ và $\vec v = (8;3)$ cùng phương	(D) Hai vectơ $\vec a = (6;3)$ và $\vec b = (2;1)$ ngược hướng

30. Trong hệ trục $(O, \vec i, \vec j)$ , tọa độ của vectơ $\vec i + \vec j$ là:
(A) (0;1)	(B) (-1;1)	(C) (1;0)	(D) (1;1)

Tài liệu tham khảo

Sách in:
- Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục, 2006, trang 27.
- Hình học 10 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục, 2006, trang 32.
- Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục, 2001, trang 24.
- Tài liệu giáo khoa thí điểm, Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục,...