20141210105626
Ai theo dõi trang này
Nổi bật tuần qua
  1. 1
    Viêm ruột hoại tử 48 sửa đổi
  2. 2
    Lỵ trực trùng 23 sửa đổi
  3. 3
    Chloramphenicol 19 sửa đổi
xem toàn bộ
Mời quảng cáo

Hình học 10/Chương II/§3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS

Chúng ta biết rằng một tam giác hoàn toàn được xác định (nghĩa là hoàn toàn tìm được số đo các cạnh, các góc còn lại của tam giác này) nếu biết:

  • ba cạnh hoặc
  • hai cạnh và góc xen giữa hoặc
  • một cạnh và hai góc kề

Như vậy, giữa các yếu tố của tam giác có những mối liên hệ nào đó, mà ta sẽ gọi chúng là các hệ thức lượng trong tam giác. Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số hệ thức đó.

Mục lục

Lí thuyết

Hoạt động 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = hBC = a, CA = b, AB = c. Gọi BH = c'CH = b'. Hãy điền vào các ô vuông trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
He thuc luong trong tam giac vuong.png

1. a^2 = b^2 + \Box

2. b^2 = a.\Box

3. c^2 = a.\Box

4. h^2 = b'.\Box

5. ah = b.\Box

6. \frac{1}{\Box} = \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}

7. \sin B = \sin C = \frac{\Box}{a};\ \sin C = \cos B = \frac{\Box}{a}

8. \tan B = \cot C = \frac{\Box}{c};\ \cot B = \tan C = \frac{\Box}{b}.

 


Xét hệ thức (1.):

BC2 = AC2 + AB2 (1*)

đây chính là nội dung định lí Pitago trong tam giác vuông ABC (vuông A). Mặt khác, \overrightarrow{BC}^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = BC^2 nên hệ thức (1*) trở thành:

\overrightarrow{BC}^2 = \overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{AB}^2 (2*)

Nếu có thể viết định lí Pitago dưới dạng các vectơ, thì có thể chứng minh định lí Pitago (2*) bằng các tính chất của vectơ"?

Thật vậy, bằng các kiến thức đã biết về vectơ ta có thể chứng minh ngắn ngọn đẳng thức (2*) như sau:

\overrightarrow{BC}^2 = (\overrightarrow{AC}^2 - \overrightarrow{AB})^2 = \overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{AB}^2 -2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{AB}^2

Như vậy, trong tam giác vuông bằng cách viết độ dài một cạnh (BC) dưới dạng vectơ (\overrightarrow{BC}) rồi bình phương nó lên và sử dụng các tính chất của vectơ thì ta được định lí Pitago. Tò mò hơn chút, bạn cũng có thể làm như thế nhưng trong một tam giác bất kì thì bạn cũng sẽ nhận được một hệ thức.

Hệ thức gì vậy?

Định lí côsin trong tam giác

Bài toán: Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A. Hãy tính cạnh BC.

GIẢI

Ta có BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = \big(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\big)^2

= \overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{AB}^2 - 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}

\Rightarrow BC^2 = \overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{AB}^2 - 2|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AB}|.\cos A

\Rightarrow BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2AB.AC.\cos A

\Rightarrow BC = \sqrt{AC^2 + AB^2 - 2AB.AC.\cos A}


Từ kết quả của bài toán trên được định lí sau, gọi là định lí côsin trong tam giác:

Định lí Côsin

Tam giac bat ki.png

Trong tam giác ABC, với BC = c, CA = b, AB = c, ta có:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A;\,
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B;\,
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\,
 

Định lí trên cho ta cách tính độ dài một cạnh của một tam giác khi biết hai cạnh còn lại và côsin góc xen giữa hai cạnh đó.

Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích hai cạnh với côsin góc xen giữa hai cạnh đó.

Hệ quả

\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Định lí sin trong tam giác

Định lí đường trung tuyến trong tam giác

Các hệ thức tính diện tích trong tam giác

Giải tam giác và ứng dụng thực tế

BÀI TẬP

Tài liệu tham khảo

  • Sách in:
    • Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục, 2006, trang 46.
    • Hình học 10 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục, 2006, trang 53.
    • Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục, 2001, trang 45.
    • Tài liệu giáo khoa thí điểm, Hình học 10, Ban khoa học tự nhiên, Nhà xuất bản giáo dục, 1996, trang 35.

<<< Mục lục

Liên kết đến đây

 
Gõ tiếng Việt có dấu:
(Hỗ trợ định dạng wikitext)
Công cụ cá nhân