Đồ thị duyên dáng

Một đồ thị có e đỉnh, và có thể gán nhãn cho mỗi đỉnh với một số tự nhiên bất kỳ nằm giữa 0 và e sao cho:

• mỗi đỉnh có một nhãn phân biệt;
• trị tuyệt đối của hiệu giữa hai nhãn ở hai đầu mút của các cạnh là khác nhau.

được gọi là đồ thị duyên dáng.

Thuật ngữ "đồ thị duyên dáng" được đặt bởi Solomon W. Golomb; lớp đồ thị có gán nhãn này ban đầu được gọi là β-gán nhãn bởi Alex Rosa trong một bài báo năm 1967 về gán nhãn đồ thị. .

Liên quan đến đồ thị duyên dáng, có một phỏng đoán chưa được chứng minh hay bác bỏ có tên là phỏng đoán Ringel-Kotzig. Phỏng đoán này phát biểu rằng: " tất cả các cây đều là đồ thị duyên dáng". Phỏng đoán Ringel-Kotzig còn có tên gọi khác là "phỏng đoán Von Koch" và "phỏng đoán về gán nhãn đồ thị". Kotzig gọi các cố gắng nhằm chứng minh phỏng đoán này là một "căn bệnh".

Các kết quả liên quan

• Một đường đi đơn với n đỉnh luôn là đồ thị duyên dáng. Cách gán nhãn từ trái qua phải như sau: với đỉnh thứ nhất ta gán nhãn 1, đỉnh thứ hai gán nhãn n, đỉnh thứ 3 gán nhãn 2, đỉnh thứ 4 gán nhãn n-1, ... đỉnh thứ k gán nhãn ${\frac {k+1}{2}}$ nếu k lẻ, và $n-{\frac {k}{2}}+1$ nếu k chẵn,.... Hình dưới đây minh họa cho cách gán nhãn:

• Trong bài báo của mình, Rosa đã chứng minh rằng mọi đồ thị Euler với số đỉnh m thỏa mãn $m\equiv 1{\pmod {4}}$ hoặc $m\equiv 2{\pmod {4}}$ đều không duyên dáng.

• Cũng trong bài báo của mình, Rosa đã chứng minh mọi vòng $C_{n}$ với $n\equiv 0{\pmod {4}}$ hoặc $n\equiv 3{\pmod {4}}$ đều duyên dáng.

• Tất cả các cây có không quá 27 đỉnh đều duyên dáng, kết quả này được Aldred và McKay khẳng định vào năm 1998 bằng chương trình máy tính.. Vào năm 2010, sử dụng một phương pháp máy tính khác, trong dự án mang tên "Graceful Tree Verification Project", dẫn dắt bởi Wenjie Fang, kết quả được mở rộng cho các cây không quá 35 đỉnh.

• Tất cả các đồ thị hình bánh xe, đồ thị mạng đều duyên dáng.

• Tất cả các đồ thị dạng khối n-chiều đều duyên dáng.

• Tất cả các đồ thị đơn có không quá 4 đỉnh đều duyên dáng. Các đơn đồ thị không duyên dáng có 5 đỉnh là vòng $C_{5}$ , đồ thị đầy đủ $K_{5}$ ; và đồ thị cánh bướm.