Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Tư duy thuật toán vs Tư duy công thức

Trong Hội thảo các chuyên đề bồi dưỡng HSG giỏi toán duyên hải Trung bộ và Tây nguyên lần thứ tư tại Pleiku hôm 19/4 vừa qua, GS Phạm Huy Điển có nêu một vấn đề hết sức thú vị "Trong giảng dạy toán ở các cấp của ta thường chú ý nhiều đến Tư duy công thức, có một ít dành cho Tư duy logic, nhưng còn hai hình thức tư duy khác thì hầu như bị bỏ trống, đó là Tư duy thống kê và Tư duy thuật toán". Bài viết này được tạo hứng khởi từ bài nói chuyện trên của GS Phạm Huy Điển.

Thực tế thì không hẳn là trong chương trình của ta không đề cập đến tư duy thuật toán. Nhưng quả là càng lên các bậc học cao hơn, tư duy thuật toán càng bị lãng quên, thay vào đó là tư duy công thức máy móc. Ví dụ việc học sinh học các phép toán cộng, trừ, nhân, chia mang tính thuật toán rất rõ. Lợi ích của việc học sinh học cộng, trừ, nhân, chia không chỉ là để chúng biết cộng, trừ, nhân, chia mà quan trọng hơn là để chúng hiểu ý nghĩa của các phép tính đó, cũng như học được tư duy thuật toán trong các phép tính đó. Vì thế, nếu đưa máy tính vào quá sớm sẽ đánh mất của học sinh cơ hội này.

Các bài toán đố kiểu hiệu tỷ, tổng tỷ, tổng hiệu hay những bài toán giải bằng PP giả thiết tạm "Vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mươi sáu con, một trăm chân chẵn" cũng mang tính thuật toán rất cao. Nếu đưa phương trình vào quá sớm sẽ làm cho trẻ không học được những thuật toán thú vị này. Chú rằng Thử và sai là một phương pháp toàn năng hơn lập và giải phương trình nhiều. Nó không chỉ áp dụng được trong Toán học mà còn trong các môn khoa học khác, đặc biệt là trong các tình huống của cuộc sống. (Ví dụ như nấu cơm bỏ bao nhiêu nước thì vừa? Nếu ta mời đám cưới 300 người thì nên đặt bao nhiêu bàn? Để đi học đúng giờ ta phải dậy lúc mấy giờ? ...)

Hay một câu chuyện khác. Các nhà toán học phải bỏ ra khá nhiều năm để tìm được công thức giải phương trình bậc 2. Ngày trước việc giải phương trình $x^{2}+q=px\,$ này được người Babylon mô tả như một thuật toán:

1. Tính một nửa của p.
2. Bình phương kết quả.
3. Trừ đi q.
4. Tính căn bậc hai sử dụng bảng căn bậc hai.
5. Cộng kết quả của bước (1) và (4) để có x.

Điều này tương đương với công thức sau: $x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}\,$ Công thức tính nghiệm cho phương trình bậc ba cũng được mô tả như một thuật toán (một bài thơ mà có lần tôi đã gửi lên FB) chứ không chỉ là công thức Cardano khô khan. Tóm tắt lại thế này:

1. Từ phương trình bậc 3 tổng quát $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\,$ bằng phép thế $y=x+{\frac {a}{3}}\,$ đưa về phương trình dạng $x^{3}+px+q=0\,$

2. Tìm u, v sao cho $q=u^{3}+v^{3}\,$ và $p=-3uv\,$ (dùng định lý Viet đảo bậc 2).

3. Phân tích $x^{3}-3uvx+u^{3}+v^{3}=0\,$ thành $(x+u+v)(x^{2}+u^{2}+v^{2}-xu-xv-uv)=0\,$ và giải tiếp.

Tiếp đến người ta cũng tìm ra cách giải cho phương trình bậc 4 (phương pháp Ferrari). Nhưng đến bậc 5 thì mọi cố gắng đi tìm công thức tổng quát đều không đạt được kết quả. Hai nhà toán học Abel và Galois đã góp công trong việc chứng minh không tồn tại công thức tổng quát cho các phương trình đa thức bậc lớn hơn hay bằng 5.

Có lẽ chính từ đó, các nhà toán học đã rẽ nhánh sang một hướng khác, rõ ràng là thực dụng hơn và hiệu quả hơn. Thay vì tính chính xác thì tính gần đúng. Tại sao ta cứ cố công đi tính chính xác khi thực tế cuộc sống không yêu cầu ta phải làm điều đó. Chẳng hạn, bà bán vải ở chợ sẽ nói gì với bạn nếu bạn nói với bà ấy "Bác bán cho cháu ${\sqrt {2}}\,$ mét vải"?

Thực tế, người ta có cách rất nhanh và hiệu quả để giải một phương trình đại số, chẳng hạn phương trình $x^{5}-x^{3}-1=0\,$ Phương pháp đó gọi là chiến thuật Chia để trị (Divide and Conquer - DAC). Đặt $f(x)=x^{5}-x^{3}-1\,$ thì ta thấy f(1) = -1 < 0, f(2) = 23 > 0. Bây giờ ta sẽ đi đến điểm giữa của đoạn [1, 2] là điểm 3/2 và tính f(3/2). Ta sẽ không tính cụ thể mà chỉ nêu nguyên tắc:

1) Nếu f(3/2) = 0 thì 3/2 là nghiệm;

2) Nếu f(3/2) khác 0 thì f(3/2) sẽ trái dấu với một trong hai giá trị f(1) hoặc f(2), ta sẽ thay đoạn [1, 2] bằng đoạn mới có giá trị tại hai đầu mút trái dấu và tiếp tục quá trình cho đến khi:

i) Có 1 a nào đó sao cho f(a) = 0

ii) Số bước đủ lớn (tức là đoạn thẳng đủ nhỏ)

Nếu trường hợp i) xảy ra thì ta có nghiệm (chính xác luôn), còn nếu trường hợp ii) xảy ra thì ta có nghiệm gần đúng với độ chính xác cao tùy ý.

Thuật toán này có thể cài đặt khá dễ dàng bằng các ngôn ngữ lập trình. Thậm chí chỉ cần dùng bảng tính Excel hay máy tính cầm tay Casio cũng có thể cài đặt tốt. Tôi đã từng nhiều lần biểu diễn việc cài đặt này trên các lớp học của tôi và thực tế thì học sinh rất khoái chí.

Tương tự như vậy, việc tính tích phân bằng công thức không phải lúc nào cũng khả thi, nhưng tính bằng các thuật toán số thì luôn thực hiện được với độ chính xác tùy ý.

Như thế, nếu chuyển từ tư duy công thức sang tư duy thuật toán, ta đã mở rộng một cách đáng kể lớp các bài toán mà ta có thể giải được, gia tăng đáng kể tính hiệu quả (thời đại này ai kiểm soát được thời gian là người đó dành chiến thắng).

Bên cạnh đó, ngay cả khi chúng ta dạy các công thức, cũng cần dạy cách đi đến công thức đó, để truyền đạt được tư duy thuật toán, các chuyển bài toán ban đầu về dãy các bài toán con, chứ không chỉ là đưa ra một công thức rồi yêu cầu học sinh áp dụng một cách máy móc. Còn nếu chỉ cần dạy học sinh biết giải pt bậc 2 thì chỉ cần dạy chúng cách nhập số vào máy tính cầm tay (he he, đó cũng là thuật toán :)).

Nguồn: TS Trần Nam Dũng

Liên kết đến đây

• Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh