Dạy học khái niệm toán học

"Dạy học khái niệm toán học" là một trong các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán. Việc dạy học các khái niệm toán học có vị trí quan trọng hàng đầu, một hệ thống các khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thới giới quan duy vật biện chứng cho người học.

Ảnh minh họa

I. Yêu cầu

Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường THPT phải dần dần làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:

• Nắm vững các đặc điểm đặc trưng của một khái niệm
• Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.
• Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm
• Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn
• Nắm được mối quan hệ của khái niệm này so với khái niệm khác trong một hệ thống các khái niệm

Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau với mọi khái niệm. Chẳng hạn, khái niệm về "hướng của vecto" không được nêu thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh. Nhưng với các khái niệm "hàm số", "hàm số chẵn", "hàm số lẻ",... thì lại yêu cầu học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được khi giải toán.

II. Các con đường hình thành khái niệm

1) Con đường quy nạp

Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,...) giáo viên dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượng hóa và khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm.

Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, trong đó dấu hiệu đặc cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn những thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi.

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:

• Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của một loạt đối tượng nào đó
• Giáo viên dẫn dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.
• Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm

Con đường này nên thực hiện khi:

• trình độ nhận thức học sinh còn thấp;
• vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng trong điều kiện: chưa phát hiện được một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn;
• đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp

Ví dụ, để hình thành khái niệm về phép biến hình theo con đường quy nạp, ta có thể làm như sau:

• Cho điểm O cố định, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' là điểm đối xứng với M qua O
• Cho một vecto ${\vec a}$ , với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' sao cho $\overrightarrow {MM'}={\vec a}$

Qua 2 hoạt động trên, học sinh nhận xét những đặc điểm giống nhau (với mỗi điểm M đều có một quy tắc để chỉ ra điểm M' xác định) và khác nhau (thể hiện ở nội dung của quy tắc ấy) ở hai hoạt động trên. Sau đó đi đến định nghĩa phép biến hình là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M ta có thể chỉ ra một điểm M' hoàn toán xác định.

Xét một ví dụ khác, trước khi phát biểu định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng, có thể cho học sinh giải quyết bài toán sau: "Chứng minh rằng nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và nếu d không nằm trong (P) thì đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung". Sau đó đi đến định nghĩa "Đường thẳng d song song với mp(P) nếu d song với một đường thẳng nằm trong (P) và d không nằm trong mp(P)"

Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng phát triển những năng lực trí tuện như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh thuận lợi cho hoạt động tích cực của học sinh. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian và cần có các điều kiện đã nói trên.

2) Con đường suy diễn

Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:

• Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm
• Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó
• Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa

Con đường này nên thực hiện khi:

• trình độ nhận thức của học sinh đã khá hơn
• vốn kiến thức đã nhiều lên
• phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

Ví dụ, có thể hình thành khái niệm phép vị tự cho học sinh theo con đường suy diễn bằng cách dựa vào phép biến hình đã được học trước đó như sau:

"Cho một điểm O và số k ≠ 0, phép biến hình biến một điểm M bất kì thành điểm M' sao cho $\overrightarrow {OM'}=k\overrightarrow {OM}$ gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k".

Sau khi định nghĩa theo con đường này, cần thiết phải lấy ví dụ cụ thể để chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại.

Ví dụ, sau khi phát biểu định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b nên cho học sinh xác định đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện của một tứ diện đều, hoặc đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và A'D', AA' và BD',... của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

Con đường hình thành khái niệm này có tác dụng tốt để phát huy tính chủ động và sáng tạo cho học sinh, tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên con đường này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh...

III. Các hoạt động dạy học khái niệm

1) Định nghĩa khái niệm

a) Các cách định nghĩa

Việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm. Trong toán học và trong giảng dạy toán học có những cách khác nhau để định nghĩa khái niệm.

Định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng là cách định nghĩa có cấu trúc dạng B(x) ⇔ A(x) và P(x)

Xét tập hợp T gồm các phần tử x có tính chất A và trong T có những phần tử mang tính chất P nào đó và những phần tử không có tính chất này, thì nhờ tính chất P, ta chia tập hợp T thành hai tập hợp con không rỗng, không giao nhau:

$B=\{x\in T|P(x)\}$ và $\overline B=\{x\in T|\overline {P(x)}\}$

Như vậy một phần tử có tính chất B thì phải có tính chất A và P và viết là: B(x) ⇔ A(x) và P(x)

Trong cấu trúc trên, tính chất B gọi là tính chất của khái niệm chủng còn tính chất A là tính chất của một khái niệm loại, thường là loại gần nhất với đối tượng/phần tử x được định nghĩa, còn P là sự khác biệt đặc trưng giữa các đối tượng có tính chất B và các đối tượng còn lại mang tính chất A.

Ví dụ, trong định nghĩa phép vị tự nói trên, một phép biến hình là phép vị tự (B) khi và chỉ khi phép biến hình ấy (A) và có tính chất (P) biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $\overrightarrow {OM'}=k\overrightarrow {OM}$

Định nghĩa như vậy là tường minh, trong đó các khái niệm được định nghĩa và khái niệm dùng để định nghĩa là tách bạch với nhau. Điều đó cho phép ta thay thế cái được định nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngược lại. Sự thay thế như vậy rất hay được sử dụng khi chứng minh định lý hay giải toán.

Chú ý rằng, định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng như trên phải thỏa mãn yêu cầu logic sau: "Trong tập hợp T có những phần tử có tính chất P và có những phần tử không có tính chất P".

Tất nhiên, không phải tất cả các khái niệm toán học đều được định nghĩa theo cấu trúc trên, vì sẽ có những khái niệm xuất phát đầu tiên không được định nghĩa thông qua khái niệm nào khác. Những khái niệm này được định nghĩa một cách không tường minh, giáp tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ thấp) hay bằng những tiên đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ), chẳng hạn như khái niệm "điểm", "đường thẳng", "hướng của vecto",...

Như vậy, khi nói rằng các khái niệm "điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" là những khái niệm xuất phát nên không được định nghĩa thì phải hiểu là "chúng không được định nghĩa tường minh qua các khái niệm khác".

Tóm lại, trong dạy học ở trường phổ thông, có những khái niệm không được định nghĩa vì hai lí do khác nhau: hoặc vì chúng là những khái niệm xuất phát trong khoa học toán học, hoặc vì lí do sư phạm. Đối với những khái niệm như vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để giúp học sinh hình dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa của khái niệm ấy.

Trong các khái niệm toán học, có những khái niệm về một đối tượng và có những khái niệm về một quan hệ. Chẳng hạn, định nghĩa như sau: "Vecto là một đoạn thẳng trong đó đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối" là một khái niệm về một đối tượng. Nhưng, định nghĩa "Đường thẳng d gọi là vuông góc với mp(P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mp(P)." lại là một khái niệm về một quan hệ.

Trong cách định nghĩa về một khái niệm quan hệ, rõ ràng đó là một cách định nghĩa tường minh nhưng không thể tách được khái niệm loại gần nhất và sự khác biệt đặc trưng.

b) Các yêu cầu của một định nghĩa

Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nó đúng hay sai. Một định nghĩa có thể hợp lý (chấp nhận được) hay không hợp lý (không chấp nhận được) phụ thuộc vào sự thỏa mãn hay không thỏa mãn những yêu cầu tối thiểu của định nghĩa.

Yêu cầu quan trọng nhất là định nghĩa không được vòng quanh. Việc vi phạm nguyên tắc này thể hiện ở chỗ cái được định nghĩa lại chứa đựng (tường minh hay không tường minh) trong cái dùng để định nghĩa. Chẳng hạn:

• "Góc được gọi là góc vuông nếu hai cạnh của nó vuông góc với nhau"
• "Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu chúng tạo thành một góc vuông"

Sự vòng quanh thể hiện ở chỗ: trong định nghĩa thứ nhất, góc vuông được định nghĩa qua các đường thẳng vuông góc, còn trong định nghĩa thứ hai thì khái niệm thứ hai lại được định nghĩa qua khái niệm thứ nhất.

Yêu cầu thứ hai nhằm đảm bảo sự đúng đắn (chuẩn mực) của một định nghĩa, đó là định nghĩa phải có trị nhưng không được đa trị. Định nghĩa phải có trị tức là phải tồn tại ít nhất một đối tượng thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa. Định nghĩa không được đa trị tức là mỗi thuật ngữ hay kí hiệu chỉ được dùng để chỉ một cái được định nghĩa. Ví dụ về sự vi phạm này là việc dùng cùng một kí hiệu "AB" để chỉ các đối tượng "đường thẳng đi qua đoạn thẳng với hai đầu mút là A và B", "độ dài đoạn thẳng AB", "tia với điểm gốc A và chứa điểm B", "vecto với điểm đầu A và điểm cuối B",... Vì vậy trong sách giáo kha, người ta phải đặt trước kí hiệu này thuật ngữ chỉ loại đối tượng như "đoạn thẳng AB", "tia AB",... hoặc kèm theo kí hiệu bổ sung.

2) Củng cố khái niệm

Để củng cố khái niệm cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh tập luyện những hoạt động: nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa và đặc biệt hóa, hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái niệm,...

a) Nhận dạng và thể hiện

Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình học môn toán là học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa. Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện" để tránh và khắc phục tình trạng này.

Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết định nghĩa hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau thì nên cho họ tiến hành những hoạt động nhận dạng và thể hiện như

• Quan sát một tứ diện và có nhận xét gì về vị trí tương đối của sáu đường thẳng chứa sáu cạnh?
• Muốn tạo thêm những cặp đường thẳng chéo nhau, ta chỉ cần lấy trung điểm của hai cạnh đối diện nào đó rồi xét vị trí tương đối của đường thẳng đi qua hai trung điểm đó và các đường khác
• Cho trước hai đường thẳng chéo nhau a, b và xét hai đường thẳng phân biệt c, d cắt cả a lẫn b thì c và d không thể là hai đường thẳng song song

Việc nhận dạng và thể hiện khái niệm có thể dựa vào định nghĩa khái niệm cũng có thể dựa vào các điều kiện cần, điều kiện đủ khác.

Ví dụ, để nhận dạng và thể hiện khái niệm "Hai đường thẳng song song trong không gian" thì ngoài định nghĩa "Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung và cùng nằm trên một mặt phẳng nào đó" thì còn có thể sử dụng định lí "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau" hoặc định lí "Một mp(P) cắt hai mặt phẳng phân biệt (Q) và (R) theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song".

b) Hoạt động ngôn ngữ

Để giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích họ diễn đạt một định nghĩa dưới nhiều hình thức khác nhau, bằng lời lẽ của bản thân.

c) Khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hóa khái niệm - một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho học sinh. Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn tới khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển đọng, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số,... Ngược lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa

d) Hệ thống hóa

Hệ thống hóa khái niệm, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa những khái niệm, ví dụ như khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn là một trường hợp riêng của khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, khái niệm đạo hàm là một khái niệm khái quát của khái niệm vận tốc tức thời,...

e) Vận dụng

Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng nó vào những bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán chứng minh. Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực giải toán.

Trong các hoạt động trên thì hoạt động "nhận dạng và thể hiện" khái niệm có vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không chỉ trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn cả trong giai đoạn hình thành khái niệm và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc phục chủ nghĩa hình thức trong học tập.

3) Phân chia khái niệm

Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững khái niệm toán học cũng như những khái niệm thuộc môn học khác. Chẳng hạn, học sinh sẽ nắm vững khái niệm hàm số hơn nếu cùng với việc hiểu định nghĩa, học sinh còn biết rằng có những hàm số chẵn và hàm số không chẵn, những hàm số lẻ và hàm số không lẻ.

Nhiều khi, học sinh phải nắm vững chẳng những định nghĩa mà cả cách phân chia khái niệm mới có thể giải toán hay xem xét các vấn đề liên quan. Chẳng hạn:

• khi giải và biện luận phương trình $(m-1)x^{2}-mx+3=0$ học sinh phải xét trường hợp m = 1 phương trình trở thành phương trình bậc nhất thì giải theo kiểu phương trình bậc nhất và trường hợp m ≠ 1 phương trình đã cho là phương trình bậc hai thì giải theo kiểu phương trình bậc hai
• xét bài toán "Chứng minh lăng trụ có sáu mặt đều là hình thoi bằng nhau là một lăng trụ xiên"
• hay một ví dụ khác là khi giải và biện luận bất phương trình bậc nhất ax + b > 0 ta phải xét tất cả các trường hợp của hệ số a: a > 0, a = 0 và a < 0.
• xét bài toán "Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b"

Thực tiễn dạy học cho thấy, giáo viên cần khai thác và sử dụng tốt các bài tập dạng trắc nghiệm khách quan kiểu "Các mệnh đề sau đây đúng hay sai: A)... B)... " vì có tác dụng tốt trong việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng phân chia khái niệm. Muốn trả lời đúng câu hỏi, học sinh cần tiến hành phân chia khái niệm, tức là xét tất cả các khả năng có thể xảy ra. Chẳng hạn, xét bài toán sau "Mệnh đề 'nếu a ⊥ b và a ⊥ c thì b // c' đúng hay sai?". Để giải bài toán này, học sinh có thể suy nghĩ: hai đường thẳng bất kì có thể song song, chéo nhau, cắt nhau. Nếu mệnh đề trên đúng thì không thể xảy ra trường hợp b và c chéo nhau và cũng không thể xảy ra trường hợp b và c cắt nhau. Xét hai đường thẳng cắt nhau b và c nào đó, liệu có một đường thẳng a nào vuông góc với cả hai đường b và c không? Từ đó tìm ra lời giải bài toán.

Biết phân chia khái niệm mới có thể hệ thống hóa các khái niệm sau mỗi phần, mỗi chương,... Chẳng hạn, có thể hệ thống khái niệm hình lăng trụ và hình hộp bằng sơ đồ Ven

Việc phân loại, hệ thống các khái niệm vượt xa ra khỏi phạm vi của việc nắm vững các kiến thức toán học, nó cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của con người. Vì thế, những tri thức và kĩ năng về mặt này cần được chú ý thích đáng.

IV. Trình tự truyền thụ một khái niệm mới

Trình tự truyền thụ một khái niệm mới thường bao gồm các hoạt động sau:

1. Dẫn học sinh vào khái niệm: giúp học sinh tiếp cận khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách thông qua một ví dụ hoặc một hiện tượng có trong thực tiễn,...
2. Hình thành khái niệm: giúp học sinh có được khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách khái quát hoát,...
3. Củng cố khái niệm: thông qua các hoạt động nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ. Khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ
4. Bước đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản
5. Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp

Tài liệu tham khảo

• Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, NXB Giáo dục, 2000, trang 179 - 192
• Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 môn Toán, NXB Giáo dục, 2007, trang 98 - 100
• Phương pháp dạy học môn Toán phần hai, Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cường, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường, NXB Giáo dục, trang 179 - 185; 310 - 311; 319 - 325
• Tập tin:Phuong-phap-day-hoc-cac-tinh-huong-dien-hinh-trong-mon-Toan-Le-Van-Tien-2005.pdf, Lê Văn Tiến, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chính Minh
• Tập tin:Vai net ve day hoc khai niem ham so o truong pho thong.pdf - Luận văn của sinh viên Đào Thị Mừng, Đại học An Giang, 2008

Bài liên quan

• Dạy học khái niệm hàm số ở trường phổ thông
• Cách nhìn mới về tiến trình dạy học khái niệm toán học

Liên kết đến đây

• Rèn luyện cho học sinh kĩ năng học tập môn Toán
• Dạy học tri thức phương pháp