20141210105528
Ai theo dõi trang này
Nổi bật tuần qua
  1. 1
    Viêm ruột hoại tử 48 sửa đổi
  2. 2
    Lỵ trực trùng 23 sửa đổi
  3. 3
    Chloramphenicol 19 sửa đổi
xem toàn bộ
Mời quảng cáo

Hình học 10/Chương I/§4. Hệ trục tọa độ

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS

Mục lục

Lí thuyết

Trục và độ dài đại số trên trục

Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị \vec e.

Ta kí hiệu trục đó là (O; \vec e ) (h.1.20)

Hình 1.20

Cho ba điểm M, AB trên trục (O; \vec e ). Khi đó:

  • Có duy nhất một số k sao cho \overrightarrow{OM} = k\vec e. Ta gọi số k là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
  • Có duy nhất số a sao cho \overrightarrow{AB}=a\vec e. Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ \overrightarrow{AB} đối với trục đã cho và kí hiệu là a=\overline{AB}.


NHẬN XÉT:

  • Nếu \overrightarrow{AB} cùng hướng với \vec e thì \overline{AB}= AB, còn nếu \overrightarrow{AB} ngược hướng với \vec e thì \overline{AB}= -AB.
  • Nếu hai điểm AB trên trục (O; \vec e ) có tọa độ lần lượt là ab thì \overline{AB}= b - a.


Hệ trục tọa độ

Trong mục này ta sẽ xây dựng khái niệm hệ trục tọa độ để xác định vị trí của điểm và của vectơ trên mặt phẳng.

Hoạt động 1
Hãy xác định vị trí quân mã trắngquân mã đen trên bàn cờ vua (h.1.21)


Hình 1.21
 


Định nghĩa

Hệ trục tọa độ (O;\vec i, \vec j) gồm hai trục (O; \vec i)(O; \vec j) vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O; \vec i) được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O; \vec j) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ \vec i\vec j là các vectơ đơn vị trên Ox, Oy|\vec i| = |\vec j| = 1. Hệ trục tọa độ (O;\vec i; \vec j) còn được kí hiệu là Oxy (h.1.22).
 


Hình 1.22


Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.


Tọa độ của vectơ

Hoạt động 2
Hãy phân tích các vectơ \vec a, \vec b theo hai vectơ \vec i\vec j trong hình (h.1.23)


Hình 1.23
 


Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ \vec u tùy ý. Vẽ \overrightarrow{OA}=\vec u và gọi A1, A2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên OxOy (h.1.24). Ta có \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2} và cặp số duy nhất (x; y) để \overrightarrow{OA_1}=x\vec i, \overrightarrow{OA_2} = y\vec j. Như vậy \vec u = x\vec i + y\vec j.


Hình 1.24


Cặp số duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ \vec u đối với hệ tọa độ Oxy và viết \vec u = (x; y) hoặc \vec u(x; y). Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ \vec u.

Như vậy:

\vec u = (x; y) \Leftrightarrow \vec u = x\vec i + y\vec j


NHẬN XÉT:

Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu \vec u = (x; y), \overrightarrow{u'} = (x'; y') thì

\vec u = \overrightarrow{u'} \Leftrightarrow \begin{cases}x = x' \\ y = y'\end{cases}


Như vậy, mỗi vectơ được xác định khi biết tọa độ của nó.


Tọa độ của một điểm

Hình 1.25

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{OM} đối với hệ trục tọa độ Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ đó (h.125).

Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi \overrightarrow{OM}=(x; y). Khi đó ta viết M(x; y) hoặc M = (x; y). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM.

M(x; y) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\vec i + y\vec j


Chú ý rằng, nếu MM_1 \perp Ox, MM_2 \perp Oy thì x = \overline{OM_1}, y = \overline{OM_2}.

Hoạt động 3
Tìm tọa độ của các điểm A, B, C trong hình 1.26. Cho ba điểm D(-2; 3), E(0; -4), F(3; 0). Hãy vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.


Hình 1.26
 


Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Ta có:


\overrightarrow{AB}=(x_B - x_A;\ y_B - y_A)


Hoạt động 4
Hãy chứng minh công thức trên.
 


Tọa độ của các vectơ \vec u + \vec v, \vec u - \vec v, k\vec u

Ta có các công thức sau:

Cho \vec u =(u_1; u_2), \vec v = (v_1; v_2). Khi đó:
  1. \vec u + \vec v = (u_1 + v_1; u_2 + v_2)
  2. \vec u - \vec v = (u_1 - v_1; u_2 - v_2)
  3. k\vec u = (ku_1; ku_2),\ k \in \mathbb{R}


VÍ DỤ 1
Cho \vec a = (1; -2), \vec b = (3; 4), \vec c = (5;-1). Tìm tọa độ vectơ \vec u = 2\vec a + \vec b - \vec c.
 
Lời giải
Ta có:
2\vec a = (2; -4)
2\vec a + \vec b = (5;0)
2\vec a + \vec b - \vec c = (0;1).

Vậy \vec u = (0;1).

 


VÍ DỤ 2
Cho \vec a = (1; -1), \vec b =(2;1). Hãy phân tích vectơ \vec c = (4;-1) theo \vec a\vec b.
 
Lời giải
Giải sử \vec c = k\vec a + h\vec b = (k + 2h; -k + h)

Ta có \begin{cases}\ \ k + 2h =\ 4 \\ -k +\ h = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}k = 2 \\ h = 1.\end{cases}

Vậy \vec c = 2\vec a + \vec b.

 


NHẬN XÉT:

Hai vectơ \vec u =(u_1; u_2), \vec v = (v_1; v_2) với \vec v \ne \vec 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 = kv1u2 = kv2.


Tọa độ trung điểm

Cho đoạn thẳng ABA(xA; yA), B(xB; yB). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I(xI; yI) của đoạn thẳng AB là:


x_I = \frac{x_A + x_B}{2}, \ y_I = \frac{y_A + y_B}{2}


Hoạt động 5
Gọi Gtrọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{OG} theo ba vectơ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC}. Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, BC.
 


Tọa độ trọng tâm

Cho tam giác ABCA(xA; yA), B(xB; yB) và C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG; yG) của tam giác ABC được tính theo công thức:


x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \ y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}


VÍ DỤ 3
Cho A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC.
 
Lời giải
Ta có:
x_I = \frac{2+0}{2}=1, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_I = \frac{0+4}{2}=2
x_G = \frac{2+0+1}{3}=1, \ \ \ \ y_G = \frac{0+4+3}{3}=\frac{7}{3}.
 


BÀI TẬP

1. Trên hệ trục (O; \vec e) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1, 2, 3, -2.

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục.

b) Tính độ dài đại số của \overrightarrow{AB}\overrightarrow{MN}. Từ đó suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{MN} là ngược hướng.

2. Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) \vec a = (-3;0)\vec i = (1;0)hai vectơ ngược hướng.

b) \vec a = (3;4)\vec b = (-3;-4)hai vectơ đối nhau.

c) \vec a = (5;3)\vec b = (3;5) là hai vectơ đối nhau.

d) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

3. Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a) \vec a = 2\vec i b) \vec b = -3\vec j
c) \vec c = 3\vec i - 4 \vec j d) \vec d = 0,2\vec i + \sqrt{3}\vec j.

4. Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm A là tọa độ của vectơ \overrightarrow{OA}

b) Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0.

c) Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0.

d) Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x0; y0).

a) Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với M qua trục Ox.

b) Tìm tọa độ của điểm B đối xứng với M qua trục Oy.

c) Tìm tọa độ của điểm C đối xứng với M qua gốc O.

6. Cho hình bình hành ABCDA(-1;-2), B(3;2), C(4;-1). Tìm tọa độ đỉnh D.

7. Các điểm A'(-4;1), B'(2;4) và C'(2;-2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CAAB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABCA'B'C' trùng nhau.

8. Cho \vec a = (2;-2), \vec b = (1;4). Hãy phân tích \vec c = (5;0) theo hai vectơ \vec a\vec b.


Xem thêm


<<< Hình học 10

Liên kết đến đây

 
Gõ tiếng Việt có dấu:
(Hỗ trợ định dạng wikitext)
Công cụ cá nhân