Hình học 10/Chương I/§3. Tích của vectơ với một số

${\text{Ki hieu}}\ 2{\vec a},\ -{\frac {1}{2}}{\vec a}\ {\text{co nghia gi?}}$

Lí thuyết

Hoạt động 1	Hình 13p1 Cho hai vectơ ${\vec a},{\vec b}$ (hình 13p1). 1) Vẽ vectơ ${\vec c}$ biết ${\vec c}={\vec a}+{\vec a}\$ . 2) Vẽ vectơ ${\vec d}$ biết ${\vec d}=-{\vec a}-{\vec a}\$ . Nhận xét gì về hướng và độ dài của vectơ ${\vec c}$ so với vectơ ${\vec a}$ và của vectơ ${\vec d}$ so với vectơ ${\vec b}$ .

Định nghĩa

	Cho số k ≠ 0 và vectơ ${\vec a}\neq {\vec 0}$ . Tích của vectơ ${\vec a}$ với số k là một vectơ: Có độ dài bằng $|k||{\vec a}|$ . Có hướng, cùng hướng với ${\vec a}$ nếu k > 0, ngược hướng với ${\vec a}$ nếu k < 0. Vectơ đó được kí hiệu là $k{\vec a}$ .

Ta quy ước $0{\vec a}={\vec 0},k{\vec 0}={\vec 0}$ .

Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.

Hoạt động 2	Hình 13p2 Cho hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và vectơ ${\vec a}$ (hình 13p2). 1) Vẽ vectơ $3{\vec a}$ . 2) Tích của vectơ $\overrightarrow {AB}$ với $-{\frac {1}{2}}$ kí hiệu như thế nào? Vẽ vectơ đó.

VÍ DỤ 1	Hình 1-13 Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC (h.1-13). Ta có: $\overrightarrow {GA}=(-2)\overrightarrow {GD}.$ $\overrightarrow {AD}=3\overrightarrow {GD}.$ $\overrightarrow {DE}=\left(-{\frac {1}{2}}\right)\overrightarrow {AB}.$

NHẬN XÉT:

1. Với một vectơ a và số k cho trước, ta có thể vẽ được vô số vectơ $k{\vec a}$ .

2. $k{\vec a}={\vec 0}\Leftrightarrow {\Bigg [}_{{{\vec a}={\vec 0}.}}^{{k=0}}$

3. Vectơ $k{\vec a}$ và vectơ ${\vec a}$ luôn cùng phương với nhau.

Tính chất

	Với hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có: $k({\vec a}+{\vec b})=k{\vec a}+k{\vec b}$ $(h+k){\vec a}=h{\vec a}+h{\vec a}$ $h(k{\vec a})=(hk){\vec a}$ $1.{\vec a}={\vec a},(-1).{\vec a}=-{\vec a}$

Hoạt động 3	Tìm vectơ đối của các vectơ $k{\vec a}$ và $3{\vec a}-4{\vec b}$ .

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}=2\overrightarrow {MI}$ .

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}=3\overrightarrow {MG}$ .

Hoạt động 4	Hãy sử dụng mục 5 của §2 để chứng minh các khẳng định trên.

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hoạt động 5	Hình 13p3 Cho các vectơ ${\vec a},{\vec b},{\vec c},{\vec d}$ và ${\vec e}$ (hình 13p3). Tìm x, y, z biết: 1) ${\vec a}=x{\vec c}$ 2) ${\vec b}=y{\vec d}$ 3) ${\vec c}=z{\vec d}$ .

Tổng quát, ta có:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}\ ({\vec b}\neq {\vec 0})$ cùng phương là có một số k để ${\vec a}=k{\vec b}$ .

CHỨNG MINH

• Thuận: giả sử ${\vec a}$ và ${\vec b}$ cùng phương.

Lấy $k={\frac {|{\vec a}|}{|{\vec b}|}}$ nếu ${\vec a}$ và ${\vec b}$ cùng hướng

Lấy $k=-{\frac {|{\vec a}|}{|{\vec b}|}}$ nếu ${\vec a}$ và ${\vec b}$ ngược hướng.

Khi đó, theo định nghĩa ta có ${\vec a}=k{\vec b}$ .

• Đảo: nếu ${\vec a}=k{\vec b}$ thì hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ cùng phương.

NHẬN XÉT:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\overrightarrow {AB}=k\overrightarrow {AC}$ .

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Hoạt động 6

Cho các vectơ $\overrightarrow {AC},{\vec a},{\vec b},{\vec c}$ (hình 13p4). 1) Hãy vẽ vectơ $\overrightarrow {AB}$ , $\overrightarrow {BC}$ sao cho $\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}$ . 2) Hãy vẽ vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ sao cho ${\vec d}+{\vec e}={\vec c}$ . Có bao nhiêu cặp vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ thỏa mãn điều kiện trên. 3) Hãy vẽ vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ lần lượt cùng phương với ${\vec a}$ và ${\vec b}$ sao cho ${\vec d}+{\vec e}={\vec c}$ . Có bao nhiêu cặp vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ thỏa mãn điều kiện trên.

Hình 13p4

Hình 1-14

Tổng quát, ta có:

Cho hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ ${\vec x}$ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho ${\vec x}=h{\vec a}+k{\vec b}$ .

CHỨNG MINH

1. Vẽ ${\vec a}=\overrightarrow {OA},{\vec b}=\overrightarrow {OB},{\vec x}=\overrightarrow {OC}$ (hình 1-14).
2. Kẻ CA' // OB và CB' // OA.
3. Từ (2) suy ra, tứ giác OA'CB' là hình bình hành.
4. Từ (3) và (1) suy ra, $\overrightarrow {OA'}+\overrightarrow {OB'}=\overrightarrow {OC}={\vec x}$ .
5. Vì $\overrightarrow {OA'}$ và ${\vec a}$ cùng phương nên có một số h để $\overrightarrow {OA'}=h{\vec a}$ .
6. Vì $\overrightarrow {OB'}$ và ${\vec b}$ cùng phương nên có một số k để $\overrightarrow {OB'}=k{\vec b}$ .
7. Từ (4), (5) và (6) suy ra: ${\vec x}=h{\vec a}+k{\vec b}$ (đpcm).

VÍ DỤ 2	Hình 1-15 Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho $AK={\frac {1}{5}}AB$ . a) Hãy phân tích $\overrightarrow {AI},\overrightarrow {AK},\overrightarrow {CI},\overrightarrow {CK}$ theo ${\vec a}=\overrightarrow {CA},{\vec b}=\overrightarrow {CB}$. b) Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng.

Lời giải

a) Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC (hình 1-15). Ta có: $\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CD}-\overrightarrow {CA}={\frac {1}{2}}{\vec b}-{\vec a}.$ Do đó: $\overrightarrow {AI}={\frac {1}{2}}\overrightarrow {AG}={\frac {1}{3}}\overrightarrow {AD}={\frac {1}{6}}{\vec b}-{\frac {1}{3}}{\vec a};$ $\overrightarrow {AK}={\frac {1}{5}}\overrightarrow {AB}={\frac {1}{5}}(\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CA})={\frac {1}{5}}({\vec b}-{\vec a});$ $\overrightarrow {CI}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AI}={\vec a}+{\frac {1}{6}}{\vec b}-{\frac {1}{3}}{\vec a}={\frac {1}{6}}{\vec b}+{\frac {2}{3}}{\vec a};$_____________(1*) $\overrightarrow {CK}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AK}={\vec a}+{\frac {1}{5}}{\vec b}-{\frac {1}{5}}{\vec a}={\frac {1}{5}}{\vec b}+{\frac {4}{5}}{\vec a}.$___________(2*) b) Từ (1*) và (2*), ta có $\overrightarrow {CK}={\frac {6}{5}}\overrightarrow {CI}$ . Vậy ba điểm C, I, K thẳng hàng.

BÀI TẬP

1) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}=2\overrightarrow {AC}$ .

2)

Hình 1-15p

Cho các vectơ ${\vec a},{\vec b},{\vec c},{\vec d},{\vec e},{\vec g},{\vec m},{\vec n}$ (hình 1-15p). Tìm k, h sao cho:

a) ${\vec c}=k{\vec a}+h{\vec b}$

b) ${\vec d}=k{\vec a}+h{\vec b}$

c) ${\vec e}=k{\vec a}+h{\vec b}$

d) ${\vec g}=k{\vec a}+h{\vec b}$

e) ${\vec m}=k{\vec a}+h{\vec b}$

f) ${\vec n}=k{\vec a}+h{\vec b}$

3) Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC},\overrightarrow {CA}$ theo hai vectơ ${\vec u}=\overrightarrow {AK}$ và ${\vec v}=\overrightarrow {BM}$ .

4) Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho $\overrightarrow {MB}=3\overrightarrow {MC}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ ${\vec u}=\overrightarrow {AB}$ và ${\vec v}=\overrightarrow {AC}$ .

5) Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {DC}={\vec 0}$ .

b) $2\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}=4\overrightarrow {OD}$ , với O là điểm tùy ý.

6) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: $2\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AD}$ .

7) Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow {KA}+2\overrightarrow {KB}={\vec 0}$

8) Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+2\overrightarrow {MC}={\vec 0}$ .

9) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

10) Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {ME}+\overrightarrow {MF}={\frac {3}{2}}\overrightarrow {MO}$ .

---

<<< Hình học 10

Liên kết đến đây

• Hình học 10
• Hình học 10/Chương I/§4. Hệ trục tọa độ
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007