Ôn tập Tốt nghiệp THPT 2009-2010/Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng

Nội dung nguyên hàm, tích phân, ứng dụng trong cấu trúc đề thi:

Phần chung: Tìm nguyên hàm, tính tích phân

Phần riêng: Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

Xem thêm: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng trong các kì thi tốt nghiệp THPT

Phương pháp tính[sửa]

Lý thuyết[sửa]

+ Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng nguyên hàm.

+ Phương pháp đổi biến số u = u(x)

+ Phương pháp từng phần

Ví dụ[sửa]

Tính các tích phân

$I_{1}=\int _{1}^{2}(6x^{2}-4x+1)dx$
$I_{2}=\int _{0}^{1}{\sqrt {3x+1}}dx$
$I_{3}=\int _{0}^{{\pi /2}}(2\sin x+3)\cos xdx$
$I_{4}=\int _{{-1}}^{1}x^{2}(1-x^{3})^{4}dx$
$I_{5}=\int _{0}^{{\pi /2}}{\frac {\cos x}{1+\sin x}}dx$
$I_{6}=\int _{0}^{2}(2x+1).e^{x}dx$
$I_{7}=\int _{0}^{{\pi /2}}2x(1-\cos x)dx$
$I_{8}=\int _{1}^{e}x(1-\ln x)dx$
$I_{9}=\int _{a}^{b}dx$

Bài tập tự luyện[sửa]

Xem thêm: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng trong các kì thi tốt nghiệp THPT

Ứng dụng[sửa]

Lý thuyết[sửa]

+ Tính diện tích

$S_{1}=\int _{a}^{b}|f(x)|dx$

$S_{2}=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

+ Tính thể tích khối tròn xoay

V=\pi \int _{a}^{b}[f(x)]^{2}dx

Ví dụ[sửa]

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}$ , trục hoành, x = -2 và x = -1.

b) Đồ thị hàm số $y=e^{x}$ , y = 2 và x = 1

c) Đồ thị hàm số $y=-x^{2}+6x$ và trục hoành

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành. Biết (H) giới hạn bởi các đường y = sin x, y = 0, x = 0 và x = π/2.

Bài tập tự luyện[sửa]

Xem thêm: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng trong các kì thi tốt nghiệp THPT

Sai lầm và cách sửa[sửa]

Sai	Đúng
$\int (1-2x)^{3}dx={\frac {(1-2x)^{4}}{4}}+C$	$\int (1-2x)^{3}dx=-{\frac 18}(1-2x)^{4}+C$
$\int \cos 3xdx=\sin 3x+C$ $\int \sin 3xdx=\cos 3x+C$	$\int \cos 3xdx={\frac 13}\sin 3x+C$ $\int \sin 3xdx=-{\frac 13}\cos 3x+C$
$\int e^{{2x}}dx=e^{{2x}}+C$	$\int e^{{2x}}dx={\frac 12}e^{{2x}}+C$
$\int {\frac {dx}{\sin ^{2}4x}}=-\cot 4x+C$	$\int {\frac {dx}{\sin ^{2}4x}}=-{\frac 14}\cot 4x+C$
$\int \cos ^{3}xdx={\frac {\cos ^{3}x}{4}}+C$	$\int \cos ^{3}xdx=\int \cos ^{2}x\cos xdx=\int (1-\sin ^{2}x)d(\sin x)=...+C$
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}$ , trục hoành, x = -2 và x = 1.
Lời giải $S=\int _{{-2}}^{1}\|x^{3}+3x^{2}\|dx$	Lời giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình $x^{3}+3x^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}(x+3)=0$ $\Leftrightarrow x_{1}=-3(ktm),\ x_{2}=0(tm)$ $S=\int _{{-2}}^{1}\|x^{3}+3x^{2}\|dx=\int _{{-2}}^{1}(x^{3}+3x^{2})dx$ , vì $x^{3}+3x^{2}\geq 0$ trên [-2; 1].