20140413153704
Ai theo dõi trang này
Mời quảng cáo

Ôn tập Tốt nghiệp THPT 2009-2010/Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài từ Tủ sách Khoa học VLOS

Nội dung phương pháp tọa độ trong không gian trong cấu trúc đề thi:

Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.

- Mặt cầu.

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.

- Mặt cầu.

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

Xem thêm: Phương pháp tọa độ trong không gian trong các kì thi tốt nghiệp THPT

Mục lục

Các dạng toán cần luyện tập

Tính tọa độ của: tổng, hiệu, tích vectơ với một số; Tính được tích vô hướng của hai vectơ; tích có hướng của hai vectơ; Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng; Tính thể tích của khối tứ diện;

Tính khoảng cách giữa hai điểm có có tọa độ cho trước; Xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước; Viết phương trình mặt cầu (biết tâm và đi qua một điểm cho trước, biết đường kính, đi qua một số điểm).

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng. Tính góc. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính khoảng cáh giữa hai mặt phẳng song song;

Viết phương trình tham số của đường thẳng (đi qua hai điểm cho trước, đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước). Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng hoặc trên một mặt phẳng.

Toạ độ của điểm, vectơ

Lý thuyết

  • \vec u = (x; y; z) \Leftrightarrow \vec u = x.\vec i + y.\vec j + z.\vec k
  • M(x; y; z) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=(x; y; z)
  • \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)
  • |\vec u| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
  • \vec u.\overrightarrow{u'} = x.x' + y.y' + z.z'
  • \cos (\vec u, \vec v)=\frac{\vec u.\vec v}{|\vec u|.|\vec v|}
  • \left [\vec u, \vec v\right ] = \left ( \begin{vmatrix} y & z \\ y' & z' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} z & x \\ z' & x' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix}\right)

Ví dụ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D biết:

A(1; 2; 2),\ B(-1; 2; -1),\ \overrightarrow{OC} = \vec i +6\vec j - \vec k,\ \overrightarrow{OD} = -\vec i + 6\vec j + 2\vec k

1) Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, C, D lập thành một tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.

2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD.

3)* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài tập tự luyện

Phương trình mặt cầu

Lý thuyết

  • Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: (xa)2 + (yb)2 + (zc)2 = R2
  • Phương trình x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2d > 0

Ví dụ

TN 2006-2007, Ban KHTN, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(1; -4; 5) và F(3; 2; 7).

1) Viết phương trình mặt cầu có tâm là E và đi qua điểm F.

2) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF.

TN 1997-1998

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4).

1) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và độ dài bán kính của mặt cầu.

2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

TN 2006-2007, Ban KHXH, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y - 2z + 6 = 0.

1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng (α).

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (Δ) đi qua điểm E và vuông góc với mặt phẳng (α).

Bài tập tự luyện

TN 2005-2006, Ban KHTN

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC.

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.

TN 2005-2006, Ban KHTN

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC.

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.

TN 2003-2004, KPB

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2).

1) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.

2) Gọi A' là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A', B, C, D.

3) Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A'.

TN 1996-1997

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1) và D(-1;1;2).

1) Viết phương trình mặt phẳng qua B, C, D. Suy ra ABCD là tứ diện.

2) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Phương trình mặt phẳng, đường thẳng

Lý thuyết

  • (P): \begin{cases}\mbox{qua}\ M(x_0; y_0; z_0)\\ \mbox{VTPT}\ \vec n(A; B; C)\end{cases} \Rightarrow (P): A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
  • mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với a.b.c ≠ 0, có phương trình:
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
  • mp(Q): Ax + By + Cy + D = 0 & mp(P) // mp(Q) \Rightarrow mp(P): Ax + By + Cy + E = 0 với E ≠ D.
  • Các trường hợp đặc biệt: mp(P) đi qua gốc tọa độ thì phương trình khuyết D. mp(P) // hoặc chứa trục tọa độ nào thì phương trình khuyết ẩn trục đó.
  • (d): \begin{cases}\mbox{qua}\ M(x_0; y_0; z_0)\\ \mbox{VTCP}\ \vec u(a; b; c)\end{cases} \Rightarrow \mbox{PTTS}\ (d): \begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct\end{cases},\ t\in\mathbb{R}
  • (d): \begin{cases}\mbox{qua}\ M(x_0; y_0; z_0)\\ \mbox{VTCP}\ \vec u(a; b; c),\ a.b.c \ne 0\end{cases} \Rightarrow \mbox{PTCT}\ (d): \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
  • M \in (d) \Leftrightarrow M(x_0 + at;\ y_0 + bt;\ z_0 + ct)
  • Hai đường thẳng khác nhau thì hai phương trình tham số phải có tham số khác nhau.

Ví dụ

TN 2007-2008, Ban KHXH, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

2) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

TN 2006-2007, Bổ túc, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm E(1; 0; 2), M(3; 4; 1) và N(2; 3; 4).

1) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.

2) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN.

TN 2006-2007, Ban KHXH, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và đường thẳng (d) có phương trình \begin{cases}x = 1+ 2t \\ y = -3+t \\ z = 6 -t\end{cases}

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.

3) Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mp(P).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

c) Gọi M là điểm sao cho \overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}. Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.

Hướng dẫn

a) Nếu dùng định lí Pitago đảo thì phải chứng minh A, B, C không thẳng hàng và bình phương một cạnh bẳng tổng bình phương hai cạnh còn lại.

Bài tập tự luyện

TN 2008-2009, CT Chuẩn

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:

(S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 36 và (P): x + 2y + 2z + 18 = 0.

1) Xác định toạ độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P).

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và (P).

TN 2006-2007, Ban KHTN, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1; -1; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình x + y - 2z - 4 = 0.

1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).

TN 2006-2007, KPB, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình

(d): \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1} và (d'): \begin{cases}x=-1+t\\ y = 1-2t \\ z = -1 + 3t\end{cases}

1) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d) và (d') vuông góc với nhau.

2) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm K(1; -2; 1) và vuông góc với đường thẳng (d').

TN 2005-2006, Ban KHXH

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).

1) Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

2) Gọi M là điểm sao cho \overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MC}. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC.

Góc, khoảng cách

Lý thuyết

  • \cos(\vec u, \vec v) = \frac{\vec u.\vec v}{|\vec u|.|\vec v|}
  • Góc giữa hai đường (d) và (d') lần lượt có hai vectơ chỉ phương \vec u\overrightarrow{u'}:
\cos (d; d') = |\cos(\vec u; \overrightarrow{u'})|
  • Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_P}\overrightarrow{n_Q}:
\cos ((P); (Q)) = |\cos(\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q})|
  • Khoảng cách từ điểm M(x_0;\ y_0;\ z_0) đến mp(P): Ax + By + Cz + D = 0:
d(M; (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
  • Khoảng cách giữa đường thẳng (d) tới mặt phẳng (P) song song với nhau ...
  • Khoảng cách giữa hai mặt (P) và (Q) song song với nhau ...
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ...

Ví dụ

TN 2007-2008, Ban KHTN, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M (1; -2; 0), N (-3; 4; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y + z - 7 = 0.

1. Viết phương trình đường thẳng MN.

2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).

TN 2007-2008, Ban KHXH, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; - 1; 3) và mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y - 2z - 10 = 0.

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).

TN 2007-2008, Ban KHTN, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; - 2; - 2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 2 y + z - 1 = 0.

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).

2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P).

Bài tập tự luyện

TN 2007-2008, KPB, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) có phương trình 2x - 3y + 6z + 35 = 0.

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α).

2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α). Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).

TN 2007-2008, Bổ túc, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng (α) có phương trình x - 2 y + 2z + 5 = 0.

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α).

2) Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (α). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

TN 1998-1999

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và đỉnh D là đỉnh đối diện của O.

1) Tìm tọa độ điểm D và viết phương trình mặt phẳng (ABD).

2) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD).

3) Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD).

Tương giao giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu

Lý thuyết

1) Cho hai đường thẳng d và d' lần lượt có vecto chỉ phương \vec u\overrightarrow{u'}

- d // d' \Leftrightarrow \vec u\overrightarrow{u'} cùng phương & M ∈ d, M ∉ d' \Leftrightarrow \vec u\overrightarrow{u'} & Hệ pt 2 tham số vô nghiệm

- d ≡ d' \Leftrightarrow \vec u\overrightarrow{u'} cùng phương & M ∈ d, M ∈ d' \Leftrightarrow \vec u\overrightarrow{u'} & Hệ pt 2 tham số vô số nghiệm

- d ∩ d' \Leftrightarrow Hệ pt 2 tham số có nghiệm duy nhất.

- d chéo d' \Leftrightarrow \vec u\overrightarrow{u'} không cùng phương & Hệ pt 2 tham số vô nghiệm

2) Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có vecto chỉ phương \vec u và vecto pháp tuyến \vec n

- d // (P) \Leftrightarrow \begin{cases}\vec u \perp \vec n \\ M \in d, M \notin (P) \end{cases} \Leftrightarrow Hệ \begin{cases}(d)\\(P)\end{cases} vô nghiệm.

- d ∩ (P) \Leftrightarrow \vec u \not\perp \vec n \Leftrightarrow Hệ \begin{cases}(d)\\(P)\end{cases} có nghiệm duy nhất.

- d ⊂ (P) \Leftrightarrow \begin{cases}\vec u \perp \vec n \\ M \in d, M \in (P) \end{cases} \Leftrightarrow Hệ \begin{cases}(d)\\(P)\end{cases} vô số nghiệm.

3) Cho mp(P) và mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R

- (P) cắt (S) \Leftrightarrow d(I; (P)) < R

- (P) tiếp xúc (S) \Leftrightarrow d(I; (P)) = R

- (P) và (S) không có điểm chung \Leftrightarrow d(I; (P)) > R

Ví dụ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm F(1; 2; 3) và mp(α): x + 2y - 2z + 6 = 0.

a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua E và vuông góc với (α). Tìm tọa độ giao điểm của Δ với (α).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng OG.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3).

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và trọng tâm G của tam giác BCD.

b) Viết phương trình mặt phẳng qua G và vuông góc với AG.

c) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D.

TN 2005-2006, KPB

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

1) Viết phương trình đường thẳng OG.

2) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.

3) Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Bài tập tự luyện

TN 2007-2008, KPB, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( -2; 1; - 2 ) và đường thẳng d có phương trình \frac{x -1}{2}=\frac{y +1}{-1}=\frac{z}{2}

1. Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d.

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

TN 2007-2008, Bổ túc, lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; -2; 0) và đường thẳng d có phương trình \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{3}.

1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng có phương trình 2x - y + z - 7 = 0.

2) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

TN 2006-2007, KPB, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{3} và mặt phẳng (P) có phương trình x - y + 3z + 2 = 0.

1) Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).

2) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (P).

TN 2006-2007, Bổ túc, lần 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1), B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + 3z = 0.

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

2) Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).

TN 2004-2005, KPB

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 2x + 2y + 4z − 3 = 0 và hai đường thẳng

(\Delta_1):\ \begin{cases}x + 2y - 2 = 0 \\ x - 2z = 0\end{cases},\ (\Delta_2): \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}

1) Chứng minh (Δ1) và (Δ2) chéo nhau.

2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng (Δ1) và (Δ2).

TN 2003-2004, Bổ túc

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình:

(P): x + 9y + 5z + 4 = 0 và (d): \begin{cases}x = 1 + 10t \\ y = 1 + t \\ z = -1 - 2t\end{cases} với t \in R

1) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P).

2) Cho đường thẳng d1 có phương trình \frac{x-2}{31} = \frac{y-2}{-5} = \frac{z+3}{1}. Chứng minh hai đường thẳng d1 và d chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d1.

3) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

TN 2002-2003

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi các hệ thức:

A=(2; 4; -1),\ \overrightarrow{OB}=\vec{i}+4\vec j - \vec k,\ C=(2; 4; 3),\ \overrightarrow{OD}=2\vec i + 2\vec j - \vec k

1) Chứng minh rằng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

2) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (ABCD).

3) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).

TN 2001-2002

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0. Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C.

1. Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm D của đường thẳng (d):  \begin{cases} x + y - 2 =0 & \mbox{ } \\ 2x - y + z - 1 =0 & \mbox{ } \end{cases} với mặt phẳng Oxy. Tính thể tích tứ diện ABCD.

2. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

TN 2000-2001

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \,A(1;0;0), B(1;1;1)\,C\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right).

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với OC tại C. Chứng minh O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính \,R=\sqrt{2} với mặt phẳng (P).

2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P).

TN 1999-2000

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y − 5z + 6 = 0

1) Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).

2) Tính khoảng cách từ I tới mặt phẳng(P), từ đó suy ra rằng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn (C). Hãy tính tọa độ tâm H và bán kính r của (C).

Sai lầm và cách sửa

Sai Đúng
\vec u_d;\ \vec n_P Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \vec u_d

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \vec n_P

Gọi \vec u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, suy ra \vec u = (2; 1; -1)

Đường thẳng cần tìm vuông góc với mp(P) nên nhận \vec n = (2; 3; -6) là một vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \vec n = (2; 4; 6) = (1; 2; 3) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \vec n = (2; 4; 6)

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \vec n_P = (1; 2; 3)

Đường thẳng d và d' lần lượt có phương trình:

(d):\ \begin{cases}x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 -3t\end{cases};\ (d'):\ \begin{cases}x = 3 - 2t \\ y = 1+2t \\ z = -t\end{cases}

Đường thẳng d và d' lần lượt có phương trình:

(d):\ \begin{cases}x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 -3t\end{cases};\ (d'):\ \begin{cases}x = 3 - 2t' \\ y = 1+2t' \\ z = -t'\end{cases};\ t, t' \in \mathbb{R}

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(P) là nghiệm của hệ:

\begin{cases}x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 -3t \\ 2x -3y - z = 0\end{cases}

Gọi M là giao điểm của d và mp(P). Ta có:
  • M \in d \Rightarrow  M(1 -t; t; 2-3t)
  • M \in (P) \Rightarrow 2(1-t) -3(t) - (2 - 3t) = 0
  • \Rightarrow t = 0
  • \Rightarrow M(1; 0; 2)
Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2d > 0

d: M --> (P) = d(M; (P)) =

Chủ đề khác

  1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
  2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  3. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
  4. Hình học không gian tổng hợp
  5. Phương pháp tọa độ trong không gian
  6. Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng
  7. Số phức


 
Gõ tiếng Việt có dấu:
(Hỗ trợ định dạng wikitext)
Công cụ cá nhân