Thành viên:Levanchi/Note: Nói thêm về đường bậc hai
I.lý do chän ®Ò tµi:
§êng bËc hai tæng qu¸t vÉn cßn lµ xa l¹ víi häc sinh THPT. V× vËy c¸c vÊn ®Ò liªn quan vÉn cßn míi l¹ vµ khã hiÓu v¬Ý nhiÒu häc sinh, Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi c¸c ®êng bËc hai kh«ng lµ ngo¹i lÖ. Nguyªn nh©n lµ do thiÕt kÕ ch¬ng tr×nh, häc sinh häc lªn líp 12 míi ®îc t×m hiÓu vµ tiÕp xóc víi mét sè ®êng bËc hai. MÆt kh¸c khi x©y dùng c¸c ®êng bËc hai s¸ch gi¸o khoa giíi thiÖu c¸c ®êng bËc hai kh«ng trong mét tæng thÓ, mµ chia ra tõng lo¹i cô thÓ. Nªn dÉn ®Õn mçi bµi t¬ng øng víi mçi ®êng ta ®Òu ph¶i x©y dùng toµn bé lý thuyÕt vÒ c¸c ®êng ®ã vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan, viÖc xuÊt hiÖn nhiÒu kh¸i niÖm míi vµ nhiÒu tÝnh chÊt míi cña c¸c ®êng l¹i cµng lµm cho häc sinh thªm bèi rèi vµ khã tiÕp nhËn vÊn ®Ò h¬n. Ngoµi ra mçi ®êng bËc hai l¹i cã nh÷ng ®Æc ®iÓm nh÷ng tÝnh chÊt kh¸c nhau, nªn viÖc nghiªn cøu vÒ chóng cã nhiÒu ®iÓm kh¸c nhau, ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ x©y dùng còng kh¸c l¹i cµng t¹o cho c¸c em häc sinh khã kh¨n h¬n trong viÖc ph©n ®Þnh râ rµng tÝnh chÊt vµ b¶n chÊt tõng lo¹i. Víi môc tiªu kh«ng ®Ó ®êng bËc hai cßn xa l¹, ®Æc biÖt lµ vÊn ®Ò tiÕp tuyÕn víi c¸c ®êng bËc hai kh«ng cßn lµ khã kh¨n víi c¸c em häc sinh. Bµi viÕt nµy xin tr×nh bµy hai ph¬ng ph¸p x©y dùng ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi c¸c ®êng bËc hai tæng qu¸t. Trªn c¬ së ®ã triÓn khai cho c¸c ®êng bËc hai trong ch¬ng tr×nh THPT, nh»m rót ng¾n kho¶ng c¸ch cho c¸c em häc sinh víi c¸c ®êng bËc hai vµ nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ®êng bËc hai.
II. Môc tiªu vµ nhiÖm vô nghiªn cøu
1.Môc tiªu:
Gióp cho häc sinh cã c¸i nh×n tæng quan vÒ c¸c ®êng bËc hai nãi chung vµ c¸c ®êng bËc hai trong ch¬ng tr×nh THPT. Rót gÇn kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c em vµ c¸c ®êng bËc hai. §Æc biÖt lµ bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi c¸c ®êng bËc hai
Trªn c¬ së ®ã häc sinh cã thÓ vËn dông vµo nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn c¸c ®êng bËc hai ®• triÓn khai trong ch¬ng tr×nh THPT, mét c¸ch toµn diÖn vµ cã hÖ thèng
Më ra cho häc sinh c¸i nh×n míi, c¸i nh×n toµn diÖn vÒ ®êng bËc hai vµ nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan
2. NhiÖm vô
Nh»m x©y dùng vµo bøc tranh vÒ ®êng bËc hai trong ch¬ng tr×nh THPT mét c¸ch cô thÓ vµ tæng quan h¬n Trªn c¬ së cña viÖc x©y dùng ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi c¸c ®êng bËc hai ë d¹ng tæng qu¸t, gióp c¸c em häc sinh cã thÓ tù triÓn khai cho c¸c ®êng bËc hai ë bËc THPT ®• ®Ò cËp cã thÓ b»ng viÖc c¸c em vËn dông hoÆc c¸c em cã thÓ tù x©y dùng l¹i hoµn toµn hÖ thèng lý thuyÕt, gióp c¸c em hiÓu s©u h¬n vÒ b¶n chÊt cña c¸c ®êng vµ nh÷ng nÐt ®Ñp cña ®êng bËc hai lÝ thó. III. §èi tîng nghiªn cøu NhËn thøc cña b¶n th©n vÒ c¸c vÊn ®Ò H×nh häc, §¹i sè vµ Gi¶i tÝch nãi chung vµ ®êng bËc hai nãi riªng. Th«ng qua ®ã t×m hiÓu viÖc tiÕp nhËn vµ th¸i ®é nhËn thøc cña häc sinh líp 12 vÒ vÊn ®Ò ®êng bËc hai trong mét chØnh thÓ hoµn chØnh h¬n so víi c¸c vÊn ®Ò vÒ ®êng bËc hai ®• nghiªn cøu trong ch¬ng tr×nh THPT. IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Dùa Trªn c¬ së cña ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vÒ c¸c øng dông cña §¹i sè vµ Gi¶i tÝch vµo H×nh häc ë bËc THPT Trªn c¬ së cña viÖc tæng hîp nh÷ng tra cøu, nhËn ®Þnh cña b¶n th©n, nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña ®ång nghiÖp cho vÊn ®Ò ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai. T¸c gi¶ ®• ph©n tÝch vÊn ®Ò mét c¸ch nghiªm tóc, ®Ó tæng hîp l¹i thµnh bµi viÕt nµy. V. C¬ së lÝ luËn cña ®Ò tµi Dùa trªn c¬ së lÝ thuyÕt vÒ øng dông cña §¹i sè, Gi¶i tÝch vµo H×nh häc s¬ cÊp nãi chung vµ ®êng bËc hai nãi riªng. Dùa vµo kh¶ n¨ng t×m hiÓu, nghiªn cøu vµ sö lý vÊn ®Ò cña ®èi tîng nghiªn cøu. Bµi viÕt ®îc chia lµm hai phÇn:
PhÇn I: Sö dông ph¬ng ph¸p Gi¶i tÝch x©y dùng ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai trong trêng hîp tæng qu¸t PhÇn II: Sö dông ph¬ng ph¸p §¹i sè x©y dùng ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai trong trêng hîp tæng qu¸t
VI. Néi dung PhÇn I Sö dông ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch x©y dùng ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng bËc hai trong trêng hîp tæng qu¸t
A. Lý thuyÕt
Mét sè kh¸i niÖm
1. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi mét ®êng cong - Cho ®êng cong (C) cã ph¬ng tr×nh y = f(x) cã miÒn x¸c ®Þnh D. §iÓm x0 thuéc D sao cho t¹i x0 cã f’(x0). Khi ®ã ®êng cong (C) cã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ : y – y0 = f’(x0)( x- x0 ) (*) trong ®ã f’(x0) lµ hÖ sè gãc cña ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn. Bµi to¸n viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng cong (C) t¹i ®iÓm M0 (x0; y0 ) yªu cÇu ta ®i t×m f’(x0) vµ ¸p dông ph¬ng tr×nh (*) cho ta ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m. 2. §êng bËc hai tæng qu¸t vµ c¸c ®êng bËc hai
trong ch¬ng tr×nh THPT
2.1 §êng bËc hai tæng qu¸t: §êng bËc hai lµ mét tËp hîp (S) gåm tÊt c¶ c¸c ®iÓm M(x;y) th¶o m•n ph¬ng tr×nh Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S). (Trong ®ã A,B,C kh«ng ®ång thêi b»ng 0) 2.2 §êng bËc hai trong ch¬ng tr×nh THPT - Trong ch¬ng tr×nh THPT ®• ®Ò cËp ®Õn c¸c ®êng bËc hai lµ ElÝp, Hypebol, Parabol vµ §êng trßn vµ ®Ò cËp ®Õn chóng ®Òu ë d¹ng chÝnh t¾c. - §êng bËc hai (S) lµ ph¬ng tr×nh ®êng bËc hai tæng qu¸t cho tÊt c¶ c¸c ®êng bËc hai nãi trªn. øng víi mçi gi¸ trÞ cña c¸c sè A, B, C, D, E, F th× S sÏ lµ c¸c ®êng ElÝp hoÆc Hypebol hoÆc Parabol hoÆc §êng trßn ë d¹ng tæng qu¸t hoÆc mét sè ®êng bËc hai kh¸c trong ch¬ng tr×nh THPT kh«ng ®Ò cËp ®Õn. Cô thÓ: Ta cã (S)
- NÕu ta cã th× (S) lµ mét ®êng trßn cã ph¬ng tr×nh d¹ng: Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (C)
- NÕu ta cã: hoÆc th× (S) lµ mét ElÝp (E) cã ph¬ng tr×nh: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
- NÕu ta cã th× (S) lµ mét Hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 - NÕu ta cã: th× (S) lµ mét Parabol cã ph¬ng tr×nh
(Chóng ta cã thÓ dÔ dµng kiÓm chøng kÕt luËn trªn) 3. Kh¸i niÖm hµm Èn vµ ®¹o hµm cña hµm Èn
3.1 Kh¸i niÖm hµm Èn Cho ph¬ng tr×nh F(x;y) = 0 (1) . NÕu x thuéc mét miÒn nµo ®ã mµ tån t¹i hµm sè : y = f (x) duy nhÊt sao cho F(x. f(x)) = 0 th× hµm y = f (x) ®îc gäi lµ hµm Èn cña x¸c ®Þnh bëi ph¬ng tr×nh (1) 3.2 §¹o hµm cña hµm Èn
- Ph¬ng tr×nh F(x;y) = 0 x¸c ®Þnh y lµ hµm Èn cña x ( xem lµ hµm kh¶ vi) LÊy ®¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh F(x;y) = 0 theo x ta ®îc ph¬ngtr×nh bËc nhÊt ®èi víi y’ . Tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc y’ ( tøc lµ ®¹o hµm cña hµm Èn). - Chóng ta cã thÓ hiÓu vÊn ®Ò nµy mét c¸ch ®¬n gi¶n h¬n nh sau:
. Tõ F(x;y) = 0 ta xem y lµ mét hµm hîp cña biÕn x. §¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho ta ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi y’, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt t×m ra y’
( Do môc tiªu cña ta trong bµi to¸n viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn nh ®• giíi thiÖu ban ®Çu lµ ®i x¸c ®Þnh f’ (x0 ), nªn yªu cÇu ta cÇn x¸c ®Þnh y ‘ = f’ (x ) cña ®êng bËc hai tai ®iÓm M(x0; y0))
. Ta cã thÓ lÊy mét vÝ dô minh ho¹ yªu cÇu trªn.
VD1: T×m y ‘ cña ®êng bËc hai cã ph¬ng tr×nh
F(x;y) = x2 + y2 – 2x - 2y + 3 = 0
Xem y lµ mét hµm hîp cña x, ®¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh theo x ta ®îc. 2x – 2 + 2y. y ‘ - 2 y ‘ = 0 y ‘ = VD2: T×m y ‘ cña ®êng bËc hai cã ph¬ng tr×nh Xem y lµ mét hµm hîp cña x, ®¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh theo x ta ®îc
B .Bµi to¸n viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn 4. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng bËc hai
(Trong trêng hîp tæng qu¸t)
Bµi to¸n: Cho ®êng bËc hai : F(x;y) = 0 (S) víi
F(x;y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+2Ey + F
(A, B, C kh«ng ®ång thêi b»ng 0 )
§iÓm M(x0; y0) , viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (S) t¹i M
Lêi gi¶i: Xem y lµ mét hµm hîp cña x, ®¹o hµm hai vÕ (1) ta ®îc: F’(x;y)=0
Ph¬ng
tr×nh
tiÕp
tuyÕn
cña
®êng
bËc
hai
(S)
lµ
(*)
VËy ta ®îc ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña cña ®êng bËc hai (S) t¹i ®iÓm M
Ph¬ng
tr×nh
(*)
lµ
ph¬ng
tr×nh
tiÕp
tuyÕn
cña
®êng
bËc
hai
(S)
t¹i
®iÓm
M(x0;
y0)
trong
trêng
hîp
tæng
qu¸t.
§Ó
cho
viÖc
triÓn
khai
vµo
øng
dông
lµm
c¸c
bµi
tËp
thuËn
lîi,
rÔ
häc
rÔ
nhí.
Ngêi
ta
®Æt
cho
ph¬ng
tr×nh
(*)
mét
c¸i
tªn
lµ
ph¬ng
tr×nh
tiÕp
tuyÕn
cña
®êng
bËc
hai
viÕt
b»ng
"C«ng
thøc
ph©n
®«i
to¹
®é"
Chóng
ta
sÏ
vËn
dông
kÕt
qu¶
cña
bµi
to¸n
tæng
qu¸t
trªn
cho
c¸c
®êng
bËc
hai
trong
ch¬ng
tr×nh
THPT.
Tõ
®ã
t×m
ra
®iÒu
kiÖn
cÇn
vµ
®ñ
®Ó
mét
®êng
th¼ng
lµ
tiÕp
tuyÕn
cña
®êng
bËc
hai
t¬ng
øng
5.
Ph¬ng
tr×nh
tiÕp
tuyÕn
cña
c¸c
®êng
bËc
hai
(Trong ch¬ng tr×nh THPT)
5.1 Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn a) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i ®iÓm M Cho ®êng trßn (C)vµ ®iÓm M(x0; y0) n»m trªn (C) vËn dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n tæng qu¸t trªn viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i M XÐt ph¬ng tr×nh ®êng trßn cho ë hai d¹ng: D¹ng1: §êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh
Ax2 + Ay2 + 2Dx +2Ey + F = 0 §K:
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) lµ (Sö dông "C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é" ) D¹ng 2: §êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh (x - a)2+ (y - b)2 = R2 Dïng "C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é " cho ta ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: (x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2 b) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn §êng th¼ng (l ) : A1x + B1y + C1 = 0, §êng trßn (C) cã t©m I(a ; b) b¸n kÝnh R (R > 0) Ta cã: Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i M lµ
(x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2
(l ) còng lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M khi vµ chØ khi hÖ sè cña hai ®êng th¼ng tØ lÖ víi nhau.
B»ng biÕn ®æi ®¹i sè cho ta ®iÒu kiÖn lµ d(I; l) = R ( trong ®ã d lµ hµm kho¶ng c¸ch). Hoµn toµn ®óng víi kÕt qu¶ mµ ta ®• biÕt. 5.2 Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ElÝp Trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng s¸ch gi¸o khoa chØ míi ®Ò cËp ®Õn ph¬ng tr×nh ®êng ElÝp ë d¹ng chÝnh t¾c v× thÕ c¸c vÊn ®Ò nghiªn cøu ®Òu thùc hiÖn trªn ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c. Trong bµi viÐt nµy t«i më réng ph¹m vi nghiªn cøa ElÝp ë d¹ng tæng qu¸t vµ ®Çy ®ñ h¬n, tÊt nhiªn chØ tËp trung cho chñ ®Ò chÝnh cña bµi dã lµ ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ElÝp. a) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ElÝp t¹i ®iÓm M -XÐt ph¬ng tr×nh ElÝp ë hai d¹ng D¹ng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
§K: hoÆc ¸p dông C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é :
Khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ElÝp t¹i ®iÓm M trªn ElÝp lµ:
D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ElÝp t¹i ®iÓm M thuéc ElÝp lµ (¸p C«ng thøc ph©n ®«i t¹o ®é )
b) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ElÝp (Ta chØ cÇn xÐt trong trêng hîp E ë d¹ng chÝnh t¾c c¸c trêng hîp cßn l¹i sö dông c«ng thøc ®æi trôc to¹ ®é chuyÓn vÒ d¹ng chÝnh t¾c sÏ ®¬n gi¶n h¬n nhiÒu)
Cho ElÝp (E) cã ph¬ng tr×nh: §êng th¼ng (l ) cã ph¬ng tr×nh A1x + B1y + C1 = 0 ¸p dông c«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é cho ta ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi E tai ®iÓm M(x0; y0) lµ Khi ®ã ®Ó (l ) còng lµ tiÕp tuyÕn víi E t¹i M(x0; y0) ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ thay vµo Ph¬ng tr×nh (E) cho ta ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ: (KÕt qu¶ nµy ®• ®îc tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa h×nh gi¶i tÝch 12) - NhiÖm vô lµ b©y giê ta sÏ më réng cho ®êng ElÝp cã ph¬ng tr×nh tæng qu¸t . Bíc 1: §Æt §êng th¼ng (l) cã ph¬ng tr×nh A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1 = 0 (trong hÖ to¹ ®é XIY th× E ë d¹ng chÝnh t¾c , nªn ta cã quyÒn ¸p dông ®iÒu kiÖn ®• x©y dùng ë môc trªn ) . Bíc 2:¸p dông ®iÒu kiÖn ®Ó ®êng th¼ng (l) lµ tiÕp tuyÕn cña (E) lµ
Chó ý : §èi víi (E) cã ph¬ng tr×nh d¹ng
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
§K: hoÆc §Ó t×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho ®êng th¼ng A1x + B1y + C1 = 0 lµ tiÕp tuyÕn ta sÏ chuyÓn (E) vÒ d¹ng tæng qu¸t vµ vËn dông c«ng thøc ®• x©y dùng trªn
5.2 Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña hypebol a) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (H) t¹i ®iÓm M trªn (H)
-XÐt ph¬ng tr×nh Hypebol ë hai d¹ng
D¹ng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 §K: Khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ElÝp t¹i ®iÓm M(x0; y0) trªn ElÝp lµ: ¸p dông " C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é" ta ®îc
D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh ¸p c«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é, ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ElÝp t¹i ®iÓm M thuéc ElÝp lµ b) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña Hypebol T¬ng tù nh phÇn 5.2. Ta chØ cÇn xÐt trong trêng hîp (H ) ë d¹ng chÝnh t¾c c¸c trêng hîp cßn l¹i sö dông C«ng thøc ®æi trôc to¹ ®é ®a Hypebol vÒ d¹ng chÝnh t¾c sÏ ®¬n gi¶n h¬n nhiÒu Cho Hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh: §êng th¼ng (l ) cã ph¬ng tr×nh A1x + B1y + C1 = 0 ¸p dông "C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é" cho ta ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi Hypebol t¹i ®iÓm M(x0; y0) lµ Khi ®ã ®Ó (l ) còng lµ tiÕp tuyÕn víi (H) t¹i M(x0; y0) ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ thay vµo Ph¬ng tr×nh (H) cho ta ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ: ( KÕt qu¶ nµy ®• ®îc tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa h×nh gi¶i tÝch 12)
- Ta sÏ më réng cho ®êng Hypebol cã ph¬ng tr×nh tæng qu¸t . Bíc 1: §Æt §êng th¼ng (l) cã ph¬ng tr×nh A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1= 0 (Trong hÖ to¹ ®é XIY th× (H) ë d¹ng chÝnh t¾c, nªn ta cã quyÒn ¸p dông ®iÒu kiÖn ®• x©y dùng ë trªn ) . Bíc 2: ¸p dông ®iÒu kiÖn ®Ó ®êng th¼ng (l) lµ tiÕp tuyÕn cña E lµ
Chó ý : §èi víi (H) cã ph¬ng tr×nh d¹ng Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 §K:
§Ó t×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho ®êng th¼ng A1x + B1y + C1 = 0 lµ tiÕp tuyÕn ta sÏ chuyÓn (E) vÒ d¹ng tæng qu¸t vµ vËn dông c«ng thøc ®• x©y dùng trªn
5.4 Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña parabol a) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i ®iÓm M trªn (P)
-XÐt ph¬ng tr×nh Parabol ë c¸c d¹ng
D¹ng1: D¹ng chÝnh t¾c y2 = 2px ( víi p > 0) (P) §iÓm M(x0 ; y0) trªn (P), ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i M lµ ¸p dông "C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é" ta ®îc y0 y = p (x + x0) T¬ng tù cho c¸c d¹ng cßn l¹i ta ¸p dông C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é rÊt thuËn lîi sÏ cho ta c¸c kÕt qu¶ VD1: (P) cã d¹ng Cy2 + 2Ey + 2Dx + F = 0 §K: CD
M(x0 ; y0) trªn (P). Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M lµ:
Cy0y + E(y0 + y ) + D(x + x0) + F=0
VD2: (P) cã d¹ng y = ax2 + bx + c (a §iÓm M(x0 ; y0) trªn (P) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M lµ: = ax0x b) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña Parabol Ph¬ng ph¸p x©y dùng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña Parabol t¬ng tù nh phÇn x©y dùng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ElÝp cho ta c¸c kÕt qu¶ sau: Cho ®êng th¼ng (l) cã ph¬ng tr×nh A1x + B1y + C1 = 0 D¹ng1: (P) cã d¹ng y2 = 2px §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña Parabol lµ: 2A' C' = p.B12 D¹ng2: (P) cã d¹ng y2 = - 2px ( víi p > 0) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña Parabol lµ: - 2A' C' = p.B12 D¹ng3: (P) cã d¹ng x2 = 2py ( víi p > 0) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña Parabol lµ: - 2B' C' = p.A12 D¹ng4: (P) cã d¹ng x2 = - 2py ( víi p > 0) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña Parabol lµ: - 2B' C' = p.A12 Chó ý: NÕu (P) ë d¹ng §Ó t×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng (l) lµ tiÕp tuyÕn cña (P) ta sÏ lµm nh sau: Bíc1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh Parabol vÒ d¹ng Bíc2: Dïng c«ng thøc ®æi trôc to¹ ®é chuyÓn (P) vÒ 1 trong 4 d¹ng ®• tr×nh bµy ë trªn
ChuyÓn ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (l) sang hÖ to¹ ®é míi
Bíc 3: Trong hÖ to¹ ®« míi ¸p dông ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho tõng d¹ng cô thÓ cho ta kÕt qu¶. Nh vËy c¸c b¹n chó ý cho r»ng ®èi víi c¸c ®êng bËc hai khi xÐt chóng ta nªn xÐt chóng ë d¹ng chÝnh t¾c. Cßn nh÷ng d¹ng phøc t¹p kh¸c chóng ta nªn dïng c«ng thøc ®æi hÖ trôc to¹ ®é ®Ó chuyÓn chóng vÒ d¹ng chÝnh t¾c vµ vËn dông c«ng thøc ®• x©y dùng trong phÇn ®êng bËc hai xÐt ë d¹ng chÝnh t¾c. KÕt luËn 1: B»ng ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch ta ®• x©y dùng ®îc ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng bËc hai nãi chung vµ c¸c ®êng bËc hai ®• nghiªn cøu trong ch¬ng tr×nh THPT nãi riªng. Trªn c¬ së ®ã ®• vËn dông t×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng bËc hai cô thÓ ®• xÐt trong ch¬ng tr×nh THPT.
PHÇN II. Sö dông ph¬ng ph¸p §¹I Sè x©y dùng ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng bËc hai trong trêng hîp tæng qu¸t Mét sè kh¸i niÖm 1.§êng bËc hai:
F(x; y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S).
2. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai.
§Þnh nghÜa:
§êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai (S). NÕu d c¸t (S) tai hai ®iÓm trïng nhau hoÆc d n»m trän vÖn trªn ®êng (S), (§iÓm trïng nhau nãi ®Õn trong ®Þnh nghÜa ®îc gäi lµ tiÕp ®iÓm) Trªn cë së cña ®Þnh nghÜa trªn ta sÏ ®i x©y dùng ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai (S) t¹i mét ®iÓm n»m trªn (S). 3. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕt cña ®êng bËc hai Cho ®êng bËc hai (S): F(x; y) =Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =0 §iÓm M(x0;yy0) trªn (S) vµ ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh (trong ®ã a,b kh«ng ®ång thêi b»ng 0) X¸c ®Þnh a,b ®Ó ®êng th¼ng d lµ tiÕp tuyÕn cña (S) XÐt ph¬ng tr×nh giao ®iÓm cña (S) vµ d Trong ®ã Do M (S) nªn ta cã R = 0 nªn ta cã (1) trë thµnh Rt2 + Qt = 0 (2) §Ó d lµ tiÕp tuyÕn cña (S) th× ph¬ng tr×nh (2) ph¶i cã hai nghiÖm trïng nhau. CÇn vµ ®ñ lµ Q = 0 (Ax0 + B y0 + D)a + (Bx0 + C y0 + E)b = 0 (3) Tõ (3)
- NÕu th× ta chän a, b tuú ý.
"§èi víi c¸c ®êng bËc hai trong ch¬ng tr×nh THPT th× trêng hîp nµy kh«ng x¶y ra. v× ®©y lµ trêng hîp hµm bËc hai suy biÕn"
- NÕu th× ta chän
Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d cã d¹ng
(Ax0 + By0 + D)(x - x0) + (Bx0 + C y0 + E)(y- y0)= 0 (4)
§Æt Fx(x0; y0) = Ax0 + B y0 + D vµ Fy(x0; y0) = Bx0 + C y0 + E (4) trë thµnh : Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0)= 0 (5) VËy ph¬ng tr×nh (5) lµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d còng lµ ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cu¶ ®êng bËc hai (S) t¹i ®iÓm M
Ta cã thÓ biÕn ®æi (4) vÒ ph¬ng tr×nh: (4) Ax0x+ B(x0 y + y0 x) + Cy0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0 (6) (C«ng thøc ph©n ®«i to¹ ®é) "Hoµn toµn gièng kÕt qu¶ PhÇn I x©y dùng b»ng ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch." 4. VËn dông viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña c¸c ®êng bËc hai trong ch¬ng tr×nh THPT
- §êng trßn:
D¹ng: §êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh Ax2 + Ay2 + 2Dx +2Ey + F = 0 §K: , M(x0; y0) (C). Ta cã: Fx(x0; y0) = Ax0 + 0 y0 + D vµ Fy(x0; y0) = 0x0 + Ay0 + E ¸p dông ph¬ng tr×nh (5) cho ta ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) tai M lµ: Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0) = 0
(Ax0 + D) (x - x0)+ (Ay0 + E) (y- y0) = 0
Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0
VËy ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C) lµ:
Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0
T¬ng tù cho ®êng trßn cã ph¬ng tr×nh
(C): (x - a)2 + (y - b2 ) = R2 §iÓm M(x0; y0) (C)
Ph¬ng trinhg tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i M lµ :
(x0 - a)( x - a) + (y0 - b)(y - b) = R2
- §èi víi c¸c ®êng ElÝp, Hypebol vµ Parabol ta ®Ó viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi c¸c ®êng ta còng thùc hiÖn hoµn toµn t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh ®êng trßn. Tøc lµ b»ng c¸ch ¸p dông ph¬ng tr×nh (5) hoÆc ph¬ng tr×nh (6) sÏ cho ta kÕt qu¶ ng¾n gän.
- Gièng nh PhÇn I viÖc x©y dùng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai. KÕt qu¶ cho ta hoµn toµn nh kÕt qu¶ ®• x©y dùng trong PhÇn I.
KÕt luËn 2: Trªn cë së sö dông ph¬ng ph¸p ®¹i sè ta còng x©y dùng ®îc ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai t¹i mét ®iÓm n»m trªn nã trong trêng hîp tæng qu¸t vµ thiÕt lËp ®îc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai VII. KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ: - Trªn cë së gi¶i tÝch, ®¹i sè ( cæ ®iÓn) ta x©y ®ùng ®îc ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña mét ®êng bËc hai trong trêng hîp tæng qu¸t vµ t×m ®îc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng bËc hai trong c¸c trêng hîp cña ®êng bËc hai ®• xÐt trong ch¬ng tr×nh THPT. - KÕt qu¶ x©y dùng ®îc cã thÓ vËn dông trùc tiÕp vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn tiÕp tuyÕn cña ®êng bËc hai ë bËc THPT mét c¸ch ®¬n gi¶n vµ tÊt nhiªn hiÖu qu¶ tr«ng thÊy. - VÊn ®Ò nµy ®• gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu víng m¾c trong lÝ luËn vµ nhËn thøc vÒ ®êng bËc hai. §Æc biÖt lµ vÊn ®Ò ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn. - Nghiªn cøu trong mét tæng thÓ t¬ng ®ãi hoµn chØnh vÒ mét ®èi tîng h×nh häc trªn cá së cña ®¹i sè vµ gi¶i tÝch sÏ më ra cho c¸c b¹n häc sinh mét tÇm nh×n míi kh«ng chØ cho viÖc vËn dông thùc hµnh mµ cßn cho nhËn thøc tæng quan vÒ sù qua l¹i gi÷a c¸c ®èi tîng trong mét chØnh thÓ hoµn chØnh ®ã lµ khoa häc tù nhiªn. - To¸n häc thËt thó vÞ, cµng t×m hiÓu ta cµng ph¸t hiÖn ra nh÷ng ®iÒu thËt bÝ Èn vµ hÊp dÉn. §«i khi nã kh«ng qu¸ khã qu¸ bÝ hiÓm nh l©u nay ta vÉn nghÜ, c¸i khã ®«i khi l¹i lµ c¸i rÊt gÇn ta mµ ta cha kh¸m ph¸ ra. Mong r»ng víi lßng nhiÖt t×nh vµ t×nh yªu to¸n häc, chóng ta sÏ ph¸t hiÖn ra nhiÒu nh÷ng ®iÒu lÝ thó vµ h÷u dông vÒ to¸n häc .
Ho»ng Ho¸, ngµy 15 th¸ng 5 n¨m 2006
Ngêi viÕt:
Gi¸o viªn : Lª V¨n ChÝ
