Đại số 10/Chương II/§3. Hàm số bậc hai

Lí thuyết

	Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: $y=ax^{2}+bx+c$         (1) trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.

Tập xác định của hàm số này là D = ℝ.

Khi b = c = 0 ta được $y=ax^{2}$ - hàm số đã được học ở lớp 9.

Đồ thị của hàm số bậc hai

Hoạt động 1	Nhắc lại các kết quả đã biết về đồ thị của hàm số $y=ax^{2}$ ?

Nhận xét

Đồ thị của hàm số $y=ax^{2}$ có đỉnh là điểm O(0;0), là điểm thấp nhất của đồ thị trong trường hợp a > 0 (y ≥ 0 với mọi x), và là điểm cao nhất của đồ thị trong trường hợp a < 0 (y ≤ 0 với mọi x) (hình 20).

Hình 20

Đồ thị của hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ có điểm thấp nhất hoặc điểm cao nhất không?

Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có viết:

$y=ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-\Delta }{4a}}$    với $\Delta =b^{2}-4ac$ .

Nhận xét rằng:

• Nếu $x=-{\frac {b}{2a}}$ thì $y={\frac {-\Delta }{4a}}$ . Vậy điểm $I\left(-{\frac {b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}\right)$ thuộc đồ thị của hàm số (1).
• Nếu a > 0 thì $y\geq {\frac {-\Delta }{4a}}$ với mọi x, do đó I là điểm thấp nhất của đồ thị.
• Nếu a < 0 thì $y\leq {\frac {-\Delta }{4a}}$ với mọi x, do đó I là điểm cao nhất của đồ thị.

Như vậy, đồ thị của hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ có điểm $I\left(-{\frac {b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}\right)$ đóng vai trò như điểm O(0;0) của đồ thị hàm số $y=ax^{2}$ .

Đồ thị

Dưới đây^(*) ta sẽ thấy đồ thị của hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ chính là đồ thị của hàm số $y=ax^{2}$ sau một số phép "dịch chuyển" trên mặt phẳng tọa độ.

	Đồ thị của hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm $I\left(-{\frac {b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}\right)$ , có trục đối xứng là đường thẳng $x=-{\frac {b}{2a}}$ . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0 và xuống dưới nếu a < 0 (Hình 21).

Hình 21

Cách vẽ

Để vẽ đường parabol $y=ax^{2}+bx+c$ (a ≠ 0), ta thực hiện các bước:

1.Xác định tọa độ của đỉnh $I\left(-{\frac {b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}\right)$ . 2. Vẽ trục đối xứng $x=-{\frac {b}{2a}}$ . 3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c)) và trục hoành (nếu có). Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn. 4. Vẽ parabol Khi vẽ parabol chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

VÍ DỤ	Vẽ parabol $y=x^{2}-2x-3$ .

Lời giải	Hình 22 Đỉnh I(1;-4) Trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Giao điểm với Oy là A(0;-3) Điểm đối xứng với A(0;-3) qua đường thẳng x = 1 là A'(2;-3) Giao với trục Ox tại B(-1;0) và C(3;0). Đồ thị như hình 22.

Hoạt động 2	Vẽ parabol $y=-2x^{2}+x+3$ .

Chiều biến thiên của hàm số bậc hai

Dựa vào đồ thị của hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ (a ≠ 0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau:

Từ đó ta có định lí dưới đây

ĐỊNH LÍ

	Nếu a > 0 thì hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ Nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;{\frac {-b}{2a}}\right)$ Đồng biến trên khoảng $\left({\frac {-b}{2a}};+\infty \right)$ Nếu a < 0 thì hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ Đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;{\frac {-b}{2a}}\right)$ Nghịch biến trên khoảng $\left({\frac {-b}{2a}};+\infty \right)$ .

BÀI TẬP

1. Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol:
a) $y=x^{2}-3x+2$	b) $y=-2x^{2}+4x-3$
c) $y=x^{2}-2x$	d) $y=-x^{2}+4$

2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) $y=3x^{2}-4x+1$	b) $y=-3x^{2}+2x-1$
c) $y=4x^{2}-4x+1$	d) $y=-x^{2}+4x-4$
e) $y=2x^{2}+x+1$	f) $y=-x^{2}+x-1.$

3. Xác định parabol $y=ax^{2}+bx+2$ , biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8)	b) Đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng là $x=-{\frac {3}{2}}$
c) Có đỉnh là I(2;-2)	d) Đi qua điểm B(-1;6) và tung độ của đỉnh là $-{\frac {1}{4}}$ .

4. Xác định a, b, c biết parabol $y=ax^{2}+bx+c$ đi qua điểm A(8;0) và có đỉnh là I(6;-12).

---

<<< Đại số 10

Liên kết đến đây

• Đại số 10
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007