Đại số 10/Chương III/§1. Đại cương về phương trình

Lí thuyết

Khái niệm phương trình

Hoạt động 1	Hãy nêu (viết, đọc,...) ví dụ về phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn.

Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x)       (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

CHÚ Ý

Nhiều khi giải một phương trình, ta chỉ cần, hoặc chỉ có thể tính giá trị gần đúng của nghiệm (với độ chính xác nào đó). Giá trị đó gọi là nghiệm gần đúng của phương trình.

Chẳng hạn, bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xác đến hàng phần nghìn) của phương trình $x^{3}=7$ là $x\approx 1,913.$

Điều kiện của một phương trình

Hoạt động 2	Cho phương trình: ${\frac {x+1}{x-2}}={\sqrt {x-1}}$ Khi x = 2 vế trái của phương trình đã cho có nghĩa không? Vế phải có nghĩa khi nào?

Khi giải phương trình f(x) = g(x), ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.

Hoạt động 3	Hãy tìm điều kiện của các phương trình: a) $3-x^{2}={\frac {x}{{\sqrt {2-x}}}}$ ; b) ${\frac {1}{x^{2}-1}}={\sqrt {x+3}}$ .

Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn:

3x + 2y = x2 - 2xy + 8	(2)
4x2 - xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2.	(3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x, y và z).

Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp số (x; y) = (2; 1) là nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = (-1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3).

Phương trình tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Tập nghiệm của phương trình có thể phụ thuộc vào tham số.

Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

Chẳng hạn:

• Phương trình (m + 1)x - 3 = 0     có thể được coi là một phương trình ẩn x chứa tham số m.
• Phương trình y² - 2y + t = 0.     có thể được coi là một phương trình ẩn y chứa tham số t.

Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

Hoạt động 4	Các phương trình sau có tập nghiệm bằng nhau hay không? a) x2 + x = 0 và ${\frac {4x}{x-3}}+x=0$ b) x2 - 4 và 2 + x = 0

Phương trình tương đương

	Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nếu f(x) = g(x) tương đương với f1(x) = g1(x) thì ta viết: f(x) = g(x) $\Leftrightarrow$ f1(x) = g1(x)

VÍ DỤ 1	Hai phương trình 2x - 5 = 0 và $3x-{\frac {15}{2}}=0$ tương đương với nhau vì cùng có nghiệm duy nhất $x={\frac {5}{2}}$ .

CHÚ Ý

Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng điều kiện xác định là D và tương đương với nhau, ta nói:

• Hai phương trình tương đương trên D, hoặc
• Với điều kiện D, hai phương trình là tương đương với nhau.

VÍ DỤ. Với điều kiện x > 0, ta có hai phương trình $x^{2}=1$ và x = 1 tương đương với nhau.

Phép biến đổi tương đương

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng.

	Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương. a) Cộng hay trừ từng vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức. b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Hoạt động 5	Tìm sai lầm trong phép biến đổi sau: $x+{\frac {1}{x-1}}={\frac {1}{x-1}}+1\Leftrightarrow x+{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x-1}}={\frac {1}{x-1}}+1-{\frac {1}{x-1}}\Leftrightarrow x=1$.

Phương trình hệ quả

	Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x). Ta viết     f(x) = g(x) $\Rightarrow$ f1(x) = g1(x).

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi là nghiệm ngoại lai.

Khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó, để loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại các nghiệm tìm được.

Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự.

VÍ DỤ 2	Giải phương trình: ${\frac {x+3}{x(x-1)}}+{\frac {3}{x}}={\frac {2-x}{x-1}}$     (4)

Lời giải

Điều kiện của phương trình (4) là x ≠ 0 và x ≠ 1. Nhân hai vế của phương trình (4) với x(x - 1) ta được phương trình hệ quả: (4) $\Rightarrow$ x + 3 + 3(x - 1) = x(2 - x) $\Rightarrow$ x2 + 2x = 0 $\Rightarrow$ x(x + 2) = 0. Phương trình cuối cùng có hai nghiệm là x = 0 và x = -2. Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai, nên bị loại. Còn lại x = -2 thỏa mãn điều kiện và thỏa mãn phương trình (4). Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x = -2.

BÀI TẬP

1. Cho hai phương trình:

3x = 2 và 2x = 3

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi:

a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

2. Cho hai phương trình:

4x = 5 và 3x = 4

Nhân hai vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi:

a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

3. Giải các phương trình:
a) ${\sqrt {3-x}}+x={\sqrt {3-x}}+1$	b) $x+{\sqrt {x-2}}={\sqrt {2-x}}+2$
c) ${\frac {x^{2}}{{\sqrt {x-1}}}}={\frac {9}{{\sqrt {x-1}}}}$	d) $x^{2}-{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x-2}}+3$

4. Giải các phương trình:
a) $x+1+{\frac {2}{x+3}}={\frac {x+5}{x+3}}$	b) $2x+{\frac {3}{x-1}}={\frac {3x}{x-1}}$
c) ${\frac {x^{2}-4x-2}{{\sqrt {x-2}}}}={\sqrt {x-2}}$	d) ${\frac {2x^{2}-x-3}{{\sqrt {2x-3}}}}={\sqrt {2x-3}}$

Liên kết ngoài

• Những định nghĩa về equation trên Web
• Phương trình trên Vi.Wikipedia
• Phương trình trên En.Wikipedia
• Solving equations

---

<<< Đại số 10

Liên kết đến đây

• Đại số 10
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Đại số 10/Chương IV/§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007