Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit

Từ Thư viện Khoa học VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Logarit được John Napier[1] (1550 – 1617) giới thiệu đầu tiên trong tác phẩm “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” vào năm 1614, sau 20 năm nghiên cứu. Dựa trên ý tưởng “nhân hai số theo cộng và trừ" của phương pháp (PP) prosthaphaeresis[2] có trước đó. Tuy nhiên, PP prosthaphaeresis chứa đựng nhiều bất lợi khi thực hiện phép chia và khai căn. Trong khi đó, sự phát triển của khoa học thời bấy giờ đòi hỏi cần phải tính nhân, chia, khai căn hiệu quả hơn. Chính điều đó đã thôi thúc Napier sáng tạo ra PP tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba dựa trên logarit. Tuy nhiên định nghĩa khái niệm logarit do Napier đưa ra hoàn toàn khác so với chúng ta biết ngày nay.

Hình 1. Hai đường thẳng song song, đoạn SQ , đoạn SQ cho trước và các điểm do hai điểm B, b vạch ra

Theo [10], Edward Wright chỉ ra rằng: Napier đã tưởng tượng hai điểm B và b chuyển động trên hai đường thẳng song song (Hình 1), trong khi điểm B chuyển động theo một chiều nhất định trên đường thẳng dài vô hạn với tốc độ không đổi, bắt đầu từ A thì điểm b chuyển động từ a trên đoạn thẳng az với tốc độ giảm dần. Ở những khoảng thời gian bằng nhau điểm B vạch ra các điểm C, D, E,… tương ứng với thời điểm 1, 2, 3, ..., trong khi đó điểm b vẽ ra các điểm c, d, e,... thỏa {\frac  {RQ}{SQ}}={\frac  {cz}{az}}={\frac  {dz}{cz}}={\frac  {ez}{dz}}... với đoạn thẳng SQ và điểm R thuộc đoạn SQ cho trước. Napier đã định nghĩa:

AC=\log _{{nap}}(cz) với cz=\sin \theta _{1}

AD=\log _{{nap}}(dz) với dz=\sin \theta _{2}

AE=\log _{{nap}}(ez) với ez=\sin \theta _{3}

Tương tự cho các điểm khác mà B và b vạch ra trên hai đường thẳng theo những khoảng thời gian bằng nhau. Napier đã chọn độ dài az=10.000.000 và tạo ra những bảng tính logarit cần thiết cho các tính toán của mình.

Như vậy, khái niệm logarit do Napier xây dựng dường như khác biệt so với khái niệm logarit chúng ta biết ngày nay[3], đó là sự liên hệ giữa các phần tử của cấp số cộng (CSC) và các phần tử của cấp số nhân (CSN). Logarit biến đổi các phần tử của CSN thành phần tử của CSC tương ứng. Tuy nhiên, không có một định nghĩa logarit một số thực dương bất kì cho trước, cũng như không có một mối liên hệ gì với lũy thừa mũ số thực trong định nghĩa ban đầu này. Thêm nữa, không có một định nghĩa tường minh nào cho cơ số của logarit. Vậy, logarit do Napier xây dựng được sử dụng để làm gì? Tính chất nào của khái niệm logarit đã được thiết lập?

Nghiên cứu [10] chúng tôi thấy: Napier đã chứng minh một số tính chất quan trọng của khái niệm logarit do mình tạo ra. Cụ thể như sau:

  • Nếu a,b,c,d là bốn số của một CSN thỏa {\frac  {a}{b}}={\frac  {c}{d}} thì \log _{{nap}}-\log _{{nap}}b=\log _{{nap}}c-\log _{{nap}}d
  • Nếu a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một CSN thì 2\log _{{nap}}b=\log _{{nap}}a+\log _{{nap}}c
  • Nếu a,b,c,d là bố số hạng liên tiếp của một CSN thì 3\log _{{nap}}b=2\log _{{nap}}a+\log _{{nap}}d3\log _{{nap}}c=2\log _{{nap}}d+\log _{{nap}}a

Theo [10] và [14], Napier đã kiểm chứng được tính ưu việt của logarit thông qua các bài toán: tính trung bình nhân của hai số 10.000.000, 5.000.000 và tìm số hạng thứ hai, thứ ba trong CSN gồm 4 số hạng khi biết số hạng đầu 14142135 và số hạng cuối 5.000.000. Napier khẳng định rằng: Tính theo logarit dễ dàng hơn cách tính thông thường. Cụ thể khi tính {\sqrt  {10.000.000\cdot 5.000.000}}, Napier dựa trên tính chất đã chứng minh, ông lấy \log _{{nap}}10.000.000+\log _{{nap}}5.000.000=0+6931470=6931470 và 6931470:2=3465735. Napier tra bảng logarit và tìm được kết quả 7071068, tương đối gần với kết quả đúng.

Với bài toán thứ hai, để tiện theo dõi chúng tôi kí hiệu CSN với 4 số hạng sau a; b; c; d trong đó a=14142135, d=5000000. Rõ ràng b^{3}=a^{2}.d ; c^{3}=d^{2}.a, do đó ta có thể tính được b;c theo công thức b={\sqrt[ {3}]{a^{2}.d}}; c={\sqrt[ {3}]{d^{2}.a}}. Nhưng Napier tính theo cách dựa trên phép cộng, nhân hai và chia ba, có sự hỗ trợ của bảng logarit, \log _{{nap}}={\frac  {2\log _{{nap}}d+\log _{{nap}}a}{3}}={\frac  {2\cdot 6931470+(-3465735)}{3}}\approx 3465735 và tra bảng logarit ông tính được c\approx 7071068. Tương tự b\approx 10^{7}, do đó có CSN 14142135, 10000000, 7071068, 5000000.

Như vậy, logarit do Napier tạo ra nhằm mục đích để đơn giản hóa các phép tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba theo các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai và chia ba. Dù tính toán đã được cải thiện nhưng cơ số logarit chưa thực sự tiện lợi, bằng lí thuyết toán hiện đại người ta chứng minh được \log _{{nap}}x=10^{7}.\log _{{{\frac  {1}{e}}}}\left({\frac  {x}{10^{7}}}\right). Song với những ưu điểm vượt trội, logarit đã tạo hứng thú cho nhiều nhà toán học như Henry Briggs (1561–1630), Nicolaus Mercator (1620–1687), Leonhard Euler (1707–1783),… nghiên cứu sâu và rộng hơn về logarit.

Cùng với sự phát triển của khoa học, Toán học đã phát triển rất nhanh và logarit cũng không phải là ngoại lệ. Vai trò của logarit thực sự đã “tiến xa” hơn vai trò của nó trong lịch sử. Không những được ứng dụng rộng rãi trong Toán học mà logarit còn xuất hiện trong các công thức tính ở các bộ môn khoa học khác. Chúng tôi xin điểm qua vài ứng dụng của logarit và các vai trò công cụ được thể hiện qua những ứng dụng đó.

Chú thích

  1. John Napier là một nhà toán học, vật lí, chiêm tinh và thiên văn học người Scotland. Ông là địa chủ thứ tám của vùng Merchiston
  2. Prothaphaeresis được ghép từ hai từ prosthesis (cộng) và aphaeresis (trừ), thay vì nhân theo cách thông thường, PP prosthaphaeresis dựa theo công thức \cos a.\cos b={\frac  {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}
  3. Chúng tôi ám chỉ khái niệm logarit được định nghĩa như sau: "Cho a là số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực \alpha thỏa a^{{\alpha }}=b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là \log _{{a}}b, tức là \alpha =\log _{{a}}b\Leftrightarrow a^{{\alpha }}=b." ([6], tr.83)

Mục lục

Rss.jpg
Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận tin bài viết qua email hoặc like fanpage Thuvienkhoahoc.com để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Nguồn

  • Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM, 2013
  • Tác giả: Nguyễn Viết Hiếu (HVCH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM)
  • Người phản biện khoa học: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 21-5-2013; ngày phản biện đánh giá: 12-8-2013; ngày chấp nhận đăng: 16-9-2013)

Liên kết đến đây