Hình học 10/Chương I/§2. Tổng và hiệu của hai vectơ

${\vec a}+{\vec b}=?,\ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=?,\ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}=?,\ \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=?$

Lí thuyết

Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ . Lấy một điểm O tùy ý, vẽ $\overrightarrow {OA}={\vec a}$ và $\overrightarrow {AB}={\vec b}$ . Vectơ $\overrightarrow {OB}$ được gọi là tổng của hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ là ${\vec a}+{\vec b}$ . Vậy $\overrightarrow {OB}={\vec a}+{\vec b}$ (hình 1-6). Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Hình 1-6

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC}$ (hình 1-7).

Hình 1-7

Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ ${\vec a},{\vec b},{\vec c}\;$ tùy ý ta có:
${\vec a}+{\vec b}={\vec b}+{\vec a}\;$	(tính chất giao hoán)
$({\vec a}+{\vec b})+{\vec c}={\vec a}+({\vec b}+{\vec c})\;$	(tính chất kết hợp)
${\vec a}+\overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}+{\vec a}={\vec a}\;$	(tính chất của vectơ-không).

Hình 1-8 dưới đây, minh họa các tính chất trên.

Hình 1-8

Hoạt động 1	Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1-8.

Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Hoạt động 2	Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$

	Cho vectơ ${\vec a}$ . vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với ${\vec a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ ${\vec a}$ , kí hiệu là $-{\vec a}$ .

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của $\overrightarrow {AB}$ là $\overrightarrow {BA}$ , nghĩa là $-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA}$ .

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ ${\vec 0}$ là vectơ ${\vec 0}$ .

VÍ DỤ 1

Hình 1-9 Nếu D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 1-9), khi đó ta có: Hai vectơ $\overrightarrow {DC}$ và $\overrightarrow {EF}$ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau. Do đó, ta có thể viết $-\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {DC}$ hoặc $-\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {EF}$ Tương tự, ta có: $-\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {BD}$ hoặc $-\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {EF}$ $-\overrightarrow {EA}=\overrightarrow {EC}$ hoặc $-\overrightarrow {EC}=\overrightarrow {EA}$

Hoạt động 3	Cho $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}={\vec 0}$ . Hãy chứng tỏ là vectơ $\overrightarrow {BC}$ là vectơ đối của $\overrightarrow {AB}$ .

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

	Cho hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ . Ta gọi hiệu của hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ là vectơ ${\vec a}+(-{\vec b})$ . Kí hiệu ${\vec a}-{\vec b}$ .

Như vậy:

${\vec a}-{\vec b}={\vec a}+(-{\vec b})$

Hình 1-10

CHÚ Ý

1) Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:

• Quy tắc trừ hai vectơ cùng điểm đầu (suy ra từ định nghĩa hiệu của hai vectơ)

$\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {CB}$   hay $\overrightarrow {CB}=\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}$

• Quy tắc ba điểm (Quy tắc cộng hai vectơ liên tiếp)

$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}$   hay $\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}$

VÍ DỤ 2

Chứng minh rằng: "Với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có: $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB}$ ". Ta có: $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB}\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CD}\Leftrightarrow \overrightarrow {DB}=\overrightarrow {DB}$ - luôn đúng. Vậy đẳng thức đã cho luôn đúng (đpcm).

Áp dụng

Hình 1-11

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {IB}={\vec 0}$ .

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}={\vec 0}$ .

CHỨNG MINH

b)

• Thuận

1. Gọi I là trung điểm của BC.
2. Vẽ D là điểm đối xứng với G qua I.
3. Từ (1)&(2) suy ra BGCD là hình bình hành.
4. Từ (3) suy ra $\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GD}$
5. Từ (2) suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
6. Từ (5) suy ra $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec 0}$ .
7. Từ (4)&(6), ta có: $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec 0}$ (đpcm).

• Đảo

Ngược lại, giả sử $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}={\vec 0}$ . Vẽ hình bình hành BGCD có I là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó $\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GD}$ , suy ra $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec 0}$ nên G là trung điểm của AD. Do đó ba điểm A, G, D thẳng hàng, GA = 2 GI, điểm G nằm giữa A và I. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

BÀI TẬP

1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {MA}-\overrightarrow {MB}$ .

2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MD}$ .

3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a) $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DA}={\vec 0}$	b) $\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CD}$ .

4. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow {RJ}+\overrightarrow {IQ}+\overrightarrow {PS}={\vec 0}$ .

5. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BC}$ .

6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow {CO}-\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {AB}$	b) $\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {DB}$
c) $\overrightarrow {DA}-\overrightarrow {DB}=\overrightarrow {OD}-\overrightarrow {OC}$	d) $\overrightarrow {DA}-\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {DC}={\vec 0}$

7. Cho ${\vec a},{\vec b}$ là hai vectơ khác vectơ ${\vec 0}$ . Khi nào có đẳng thức:
a) $|{\vec a}+{\vec b}|=|{\vec a}|+|{\vec b}|$	b) $|{\vec a}+{\vec b}|=|{\vec a}-{\vec b}|$

8. Cho $|{\vec a}+{\vec b}|=0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ .

9. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

10. Cho ba lực $\overrightarrow {F_{1}}=\overrightarrow {MA},\overrightarrow {F_{2}}=\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {F_{3}}=\overrightarrow {MC}$ cùng động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow {F_{1}},\overrightarrow {F_{2}}$ đều là 100N và $\widehat {AMB}=60^{\circ }$ . Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow {F_{3}}$ .

---

<<< Hình học 10

Liên kết đến đây

• Hình học 10
• Hình học 10/Chuẩn kiến thức và kĩ năng
• Hình học 10/Chương I/§3. Tích của vectơ với một số
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007