Hình học 9/Chương I/§2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong một tam giác vuông, nếu biết tỉ số độ dài của hai cạnh thì có biết được độ lớn của các góc nhọn hay không?

Lí thuyết

Tỉ số lượng giác của một góc nhọn là gì?

Mở đầu

Cho tam giác ABC vuông tại A (hình 13). Xét góc nhọn B của nó, ta đã biết cạnh AB được gọi là cạnh kề của góc B, cạnh AC được gọi là cạnh đối của góc B.

Ta cũng đã biết: hai tam giác vuông đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số đo của một góc nhọn, hoặc các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn trong mỗi tam giác đó là như nhau (hình 13). Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn trong tam giác vuông đặc trưng cho độ lớn của góc nhọn đó.

Hình 13

Hoạt động 1	Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat {B}=\alpha$ . Chứng minh rằng: a) $\alpha =45^{\circ }\Leftrightarrow {\frac {AC}{AB}}=1$ ; b) $\alpha =60^{\circ }\Leftrightarrow {\frac {AC}{AB}}={\sqrt {3}}$ .

Ngoài tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề, ta còn xét các tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối, cạnh đối và cạnh huyền, cạnh kề và cạnh huyền của một góc nhọn trong tam giác vuông. Các tỉ số này chỉ thay đổi khi độ lớn của góc nhọn đang xét thay đổi và ta gọi chúng là các tỉ số lượng giác của góc nhọn đó.

Định nghĩa

Hình 14

Cho góc nhọn $\alpha$ . Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn $\alpha$ (ta có thể vẽ như sau: Vẽ góc $\alpha$ , từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc $\alpha$ kẻ đường vuông góc với cạnh kia (hình 14)), xác định cạnh đối và cạnh kề của góc $\alpha$ . Khi đó:

	Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc $\alpha$ , kí hiệu $\sin \alpha$ . Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc $\alpha$ , kí hiệu $\cos \alpha$ . Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc $\alpha$ , kí hiệu $\tan \alpha$ . Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc $\alpha$ , kí hiệu $\cot \alpha$ .

Như vậy:

NHẬN XÉT:

Từ định nghĩa trên, dễ thấy các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn dương. Hơn nữa, ta có:

$\sin \alpha <1,\ \cos \alpha <1$.

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat C=\beta$ . Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc $\beta$ .

• Như vậy, cho góc nhọn $\alpha$ , ta tính được các tỉ số lượng giác của nó. Ngược lại, cho một trong các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ , ta có thể dựng được góc đó.

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Hoạt động 4	Hình 19 Cho hình 19. Hãy cho biết tổng số đo của góc $\alpha$ và góc $\beta$ . Lập tỉ số lượng giác của các góc $\alpha$ và góc $\beta$ . Trong các tỉ số này, hãy cho biết các cặp tỉ số nào bằng nhau?

Từ các cặp tỉ số bằng nhau đó, ta rút ra:

$\sin \alpha =\cos \beta ,\ \cos \alpha =\sin \beta$

$\tan \alpha =\cot \beta ,\ \cot \alpha =\tan \beta$

Vì hai góc phụ nhau bao giờ cũng bằng hai góc nhọn của một tam giác vuông nào đó, nên ta có định lí sau đây về mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

	Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

CHÚ Ý:

Từ nay, khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu "^" đi. Chẳng hạn, viết $\sin A\,$ thay cho $\sin \widehat A$ ,...

Tài liệu tham khảo

• Sách in: Toán 9, tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 71.

Liên kết đến đây

• Hình học 10/Chương II/§1. Giá trị lượng giác của một góc