Sách:Điện từ sinh học/Phụ lục B

Từ VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Phụ lục B Ứng dụng của những phương trình trong điện từ sinh học củaof Maxwell

B.1 Giới thiệu

Hành vi của thời gian thay đổi và điện trường và từ trường tĩnh được điều khiển bởi những phương trình của Maxwell được lập bởi James Clerk Maxwell (1865; 1873). Những phương trình tóm tắt một cách đơn giản những kết quả toán học của những thực nghiệm cổ điển của Faraday, Ampere, Coulomb, Maxwell, và những người khác.

Phương trình Maxwell có thể được tìm ra trong những tài liệu cơ bản về lý thuyết điện từ. Tuy nhiên, chúng có thể ứng dụng được một cách cơ bản vào trường điện từ trong không gian tự do (ví dụ.,trường bức xạ). Nơi mà độ dẫn và/ hoặc phương tiện mang tính từ được bao gồm, sau đó, mặc dù những phương trình trở tiếp tục có hiệu lực, nguồn dòng có thể sinh ra trong nhiều cách khác hơn là được xác lập dưới điều kiện không gian tự do. Những sự thay đổi này phải được giới thiệu thông qua một mối quan tâm của bản chất riêng biệt của nguồn dòng phù hợp với những vấn đề tại tay.

Mục đích của chúng tôi ở dây, sau khi giới thiệu về những phương trình của Maxwell trong các hình thức hợp lệ với môi trường không gian tự do, là để đặc trưng hóa chúng để chúng mô tả một cách chính xác điều kiện mà dinh ra trong điện từ sinh học. Sau đó, mục đích của chúng tôi là để đơn giản các phương trình chỗ nào có thể, dựa trên mối liên quan sinh lý điện thực tế.

B.2 Những phương trình của Maxwell dưới điều kiên không gian tự do

Điều kiện đầu

Nguồn và Trường: thời gian thay đổi {\bar  {J}},\rho ,{\bar  {E}},{\bar  {H}}

Bộ dẫn khối: hữu hạn, không gian tự do đồng nhất \sigma =0,\mu =\mu _{0},\varepsilon =\varepsilon _{0}

Những phương trình của Maxwell thường xuyên được viết với những dạng vi phân (và vector) cho điều kiện không gian tự do như sau, vì đơn giản cho một biến thể thời gian được giả sử:

\bigtriangledown \times {\bar  {E}}=-j\omega \varepsilon _{0}{\bar  {H}} (B.1)
\bigtriangledown \times {\bar  {H}}=j\omega \varepsilon _{0}{\bar  {E}}+{\bar  {J}} (B.2)


\bigtriangledown \bullet {\bar  {D}}=\rho (B.3)


\bigtriangledown \bullet {\bar  {J}}=-j\omega \rho (B.4)


\bigtriangledown \bullet {\bar  {B}}=0 (B.5)


Phương trình B.1 là dạng của định luật Faraday một từ trường biến đổi theo thời gian {\bar  {H}} gây ra một điện trường {\bar  {E}} .

Phương trình B.2 là dạng của định luật Ampere, tích phân đường của từ trường {\bar  {H}} xung quanh một vòng khép kín bằng tổng dòng đi qua vòng đó. Dòng điện được miêu tả như một dòng chuyển dời j\omega \varepsilon _{0}{\bar  {E}} cộng với dòng nguồn {\bar  {J}} sinh ra từ hoạt động đối lưu của điện tích trong chân không.

Phương trình B.3 sinh ra từ định luật Coulomb và liên quan tới sự chuyển dời điện {\bar  {D}} đến nguồn nơi tạo ra nó, cụ thể là mật độ điện tích \rho .

Phương trình B.4 là dạng của định luật bảo toàn điện tích, cụ thể là dòng ra của nó từ bất kì phạm vi gần nào (được tính từ\bigtriangledown \cdot {\bar  {J}} ) có chỉ thể sinh ra nếu vật chức điện tích bị mất hết.

Phương trình B.5 nhận ra rằng không có điện tích từ nào tồn tại, và vì thế cảm ứng từ {\bar  {B}}, phải là solenoidal.

B.3 Phương trình Maxwell cho phương tiện dẫn hữu hạn

Điều kiện đầu:

Nguồn và Trường: efm tĩnh hoặc bán tĩnh,{\bar  {J}}^{i},{\bar  {E}},{\bar  {H}}.

Bộ dẫn khối: hữu hạn, không đồng nhất s\sigma = \sigma (x,y,z), \mu =\mu _{0},\varepsilon =\varepsilon _{0}.


Quan tâm của chúng tôi nằm trong điện trường và từ trường bên trong và bên ngoài các chế phẩm sinh lý điện. Đó là những vùng bị cô lập (nằm trong không khí) cái mà bao gồm mô dễ bị kích thích được bao quanh bởi môi trường dẫn (bộ dẫn khối). Độ dẫn \sigma của bộ dẫn khối , nói chung, là một hàm của vị trí [\sigma (x,y,z)]; đó là, nó được giả sử là không đồng nhất. permeq/eability từ của nó \mu được giả sử một cách bình thường là của không gian tự do (\mu _{0}), và, ngoại trừ một vùng màng tế bào hằng số điện môi cũng có giá trị không gian tự do (\varepsilon _{0}).

Nếu chúng ta quan tâm đến hiện tại một điều kiện tĩnh, sau đó chúng tôi thấy rằng phương trình B.1 yêu cầu rằng \bigtriangledown \times {\bar  {E}} =0. Điều đó có nghĩa là {\bar  {E}} phải được bảo toàn, một điều kiện nữa là phù hợp với điện trường sinh ra từ điện tích tĩnh trong không gian tự do. Nhưng trong phương tiện dẫn của chúng tôi, dòng chỉ có thể chảy nếu có nguồn không bảo toàn hiện tại. Vì vậy chúng tôi phải giả sử sự tồn tại của lực điện dịch emf. Vì vậy với phương tiện dẫn, phương trình B.1 phải được sử đổi để có dạng B.6,


Với lý do như vậy, chúng tôi cũng phải nhận thấy sự có mặt của những trường dòng được đưa vào (được cấp), cái mà chúng tôi đặt là {\bar  {J}}^{i}; những điều này phải được bao gồm trong vế phải của phương trình B.7, phù hợp với biểu thức B.2 khi được cấp cho phương tiện dẫn. Nhiều nguồn có thể được cố định thời gian một cách cơ bản như với pin điện hóa, pin mà cung cấp dòng điện sẵn sàng cho bộ dẫn khối. Chúng cũng có thể là bán cố định, như được ví dụ bởi các mô hoạt động (dễ bị kích thích); trong trường hợp này, nguồn dòng không bảo toàn thời gian thay đôi dẫn tới cái mà, chuyển, dòng chạy thông qua bộ dẫn khối vòng quanh.

Trong một môi trường dẫn nó không thể là dòng đối lưu như được thấy qua tham số {\bar  {J}}^{i} trong phương trình B.2, và vì thế nó bị bỏ qua từ biểu thức B.7. Dòng đối lưu có nghĩa là để mô tả dòng chảy của điện tích trong chân không như hoạt động trong ống khuếch đại năng lượng cao. (với lý do giống nhau đó, biểu thức B.4 là không có hiệu lực trong phương tiện dẫn). Trong mối quan tâm về từ trường được cung cấp, một trong số đó có thể xử lý dòng được cung cấp chảy trong một cuộn dây vật lý bằng cách lý tưởng hóa nó như một dòng không gian tự do, và vì thế giải thích cho nó với{\bar  {J}}^{i} ở vế phải của phương trình B.2. Vì dòng này là sonenoit cơ bản, nó không được kết hợp với mật độ điện tích. Trong công thức này ý nghĩa của{\bar  {J}}^{i} cần thiết được thiết lập không được xem xét một cách rõ ràng.


Bởi vì độ dẫn điện \sigma của bộ dẫn khối chúng tôi cần đưa vào vế phải của phương trình B.7 dòng dẫn \sigma , ngoài sự tồn tại của dòng điện dich j\omega \varepsilon {\bar  {E}}.

Một sự sửa đổi khác đến từ việc thừa nhận rằng một mật độ điện tích khối \rho không thể tồn tại cùng với một phương tiện dẫn (qua những điện tích mặt có thể tích lũy tại giao diện giữa những vùng có độ dẫn khác nhau-nhất là tương đương với điện tích mà nằm trên tấm kim loại của tụ.) Vì thế, phương trình B.3 không được cung cấp trong phương tiện dẫn.

Với những vấn đề được quan tâm đó, nhưng phương trình của Maxwell bây giờ có thể được viết lại cho phương tiện dẫn hữu hạn như sau:


\bigtriangledown \times {\bar  {E}}=-j\omega \mu _{0}{\bar  {H}}+emf (B.6)
\bigtriangledown \times {\bar  {H}}=\left(\sigma +j\omega \varepsilon _{0}\right){\bar  {E}}+{\bar  {J}}^{i} (B.7)
\bigtriangledown \bullet {\bar  {E}}=-{\frac  {\bigtriangledown \bullet {\bar  {J}}^{i}}{\sigma +j\omega \varepsilon _{0}}} (B.8)
\bigtriangledown \bullet {\bar  {E}}=-{\frac  {\bigtriangledown \bullet {\bar  {J}}^{i}}{\sigma +j\omega \varepsilon _{0}}} (B.9)

Trong tập hợp các phương trình trên, chúng tôi thu được phương trình B.8 bằng cách phân kì cả hai vế của B.7 và chú ý rắngự phân kì của dòng xoáy của bất kỳ hàm vector nào đều có đặc điểm là bằng zero \bigtriangledown \cdot \bigtriangledown \times {\bar  {H}}\equiv 0.

B.4 Sự đơn giản của những phương trình của Maxwell trong những chế phẩm sinh lý

Điều kiện đâu:

Nguồn và Trường: bán tĩnh (\omega < 1000 Hz) emf,{\bar  {J}}^{i},{\bar  {E}},{\bar  {H}} Bộ dẫn nguồn: hữu hạn giới hạn (r <1m) điện trở không đồng nhất \left(\omega \varepsilon /\sigma <0.15\right),\mu =\lambda _{0},\varepsilon =\varepsilon _{0}


Những chế phẩm sinh lý của mối quan tâm về sinh lý điện có một vài đặc điểm trên đó mà có thể được dựa trên sự đơn giản chắc chắn của những phương trình cơ bản của Maxwell. Chúng tôi đã từng đề cập đến rằng chúng tôi hi vọng hằng số điện môi \varepsilon và độ từ thẩm \mu trong bộ dẫn khối có giá trị của không gian tự do \left(\varepsilon _{0},\mu _{0}\right). Ba điều kiện khác sẽ được giới thiệu ở đây.


B.4.1 Giới hạn tần số

Mật độ phổ năng lượng của tín hiệu của nguồn gốc sinh học đã từng được đo. Nó đã từng được tìm thấy thay đổi phụ thuộc vào bản chất của nguồn ( ví dụ, thần kinh, cơ…). Những tần số cao nhất được thấy ở trong điện tâm đồ. Ở đây băng thông cho thiết bị lâm sàng thường nằm dưới 100 Hz, mặc dù nhiều chất lượng tốt nhất yêu cầu yêu cầu tần số trên 200-500 Hz. Trong nghiên cứu nó thường được giả sử là dưới 1000Hz, và chúng tôi sẽ xem xét sự bình thường này dưới tần số giới hạn. Barr và Spach (1977) đã từng chỉ ra rằng với tần số thế trong tim cao khoảng 10 kHz có thể cần được đưa vào cho việc tái tạo tín hiệu ban đầu. Khi chúng tôi xem xét rằng xung nhip hoạt động là 1ms, sau đó tín hiệu nhờ vào nguồn phải có năng lượng nhỏ trên 1kHz. Liên quan tới phổ tần số hoàn toàn mà Maxwell đã từng đề cập, nó chắc chắn là một phạm vi tần số thấp. Sự đơn giản kết quả được mô tả ở phần tiếp theo.

B.4.2 Giới hạn kích thước

Hi vọng trong nhiều trường hợp đặc biệt nơi mà chúng tôi đang nghiên cứu, nói rằng , ECG của cá voi , kích thước của bộ dẫn khối có thể được trông đợi nằm bán kính cầu khoảng 1m. Như một hình cầu sẽ phù hợp với hầu hết mọi cơ thể người nguyên vẹn, và chắc chắn điển hình trong chế phẩm trong ống nghiệm được nghiên cứu trong phòng nghiên cứu. Vì thế, được bàn ở phần tiếp theo , là thế trễ của mối quan tâm cơ bản không sinh ra.

B.4.3 Trở kháng bộ dẫn khối

Bộ dẫn khối thường chứa vài yếu tố rời rạc như tế bào thần kinhm cơ, mô liên kết, mô mạch, da và chất hữu cơ khác. Với nhiều trường hợp, tính dẫn có thể được mô tả bởi độ dẫn \sigma \left(x,y,z\right) thu được từ việc trung hòa qua một vùng nhỏ nhưng đa bào. Vì như một vùng vĩ mô chứa màng tế bào lipid hằng số điện môi có thể được chia từ giá trị không gian tự do. Cả hai giá trị \sigma \varepsilon đưa vào phương trình B.7 và B.8 sẽ phụ thuộc vào đặc điểm mô đặc trưng và tần số. Bằng cách tạo ra phép đo vĩ mô, Schwan và Kay (1957) đã xác định rằng \omega \varepsilon /\sigma cho khoảng tần số 10 Hz < f < 1000 Hz là dưới 0.15. Nhưng trong nhiều trường hợp có thể điều trị tất cả các màng tế bào một cách đặc biệt. Trong trường hợp này nó là không gian còn lại kẽ nội bào và thành phần tạo nên bộ dẫn khối, và, vì lipid không có, các phương tiện sẽ hoạt động trở kháng qua toàn bộ phổ tần số quan tâm. Trong trường hợp khác, nó có thể làm tăng để tránh dòng điện dịch cùng với bộ dẫn khối trong phương trình B.7 và B.8 . (Tất nhiên, người ta phải luôn luôn đưa vào dòng màng tụ khi bộ phận quan tâm của dòng màng tổng). Vì thế, những phương trình này có thể được rút gọn cho phương trình B.10 và B.11, tương ứng:

Những phương trình của Maxwell cho những ứng dụng sinh lý có dạng:

\bigtriangledown \times {\bar  {E}}=-j\omega \mu _{0}{\bar  {H}}+emf (B.6)
\bigtriangledown \times {\bar  {H}}=\sigma {\bar  {E}}+{\bar  {J}}^{i} (B.10)


\bigtriangledown \bullet {\bar  {E}}=-{\frac  {\bigtriangledown \bullet {\bar  {J}}^{i}}{\sigma }} (B.11)
\bigtriangledown \bullet {\bar  {E}}=-{\frac  {\bigtriangledown \bullet {\bar  {J}}^{i}}{\sigma +j\omega \varepsilon _{0}}} (B.9)

B.5 Thế vector từ và điện vô hướng trong phan\mj vi ngoài nguồn

Điều kiện đầu:

Nguồn: bán tĩnh {\bar  {J}}^{i} (\omega < 1000 Hz)

Bộ dẫn khối: hữu hạn giới hạn (r < 1m) ngoài vùng nguồn trở kháng không đồng nhất (\omega \varepsilon /\sigma <0.15), \mu =\mu _{0},\varepsilon =\varepsilon _{0}

Trong phần này, chúng tôi dẫn từ những phương trình của Maxwell những phương trình cho thế vector từ {\bar  {A}} và thế điện vô hướng \Phi trong những ứng dụng sinh lý., phương trình B.19 và B.21 tương ứng

Vì sự phân kì của {\bar  {B}} bằng zero (phương trình b.9), từ trường có thể được dẫn từ dòng xoáy của trường vector tự do {\bar  {A}} , được gọi là thế vector từ. Điều này đáp ứng những yêu cầu được chỉ ra trong phương trình B.9 bởi vì sự phân kì của dòng xoáy của bất kì trường vector nào đều bằng zero một cách cần thiết, vì thế,

{\bar  {B}}=\bigtriangledown \times {\bar  {A}} (B.12)

\mu =\mu _{0} , chúng tôi có thể thế phương trình B.12 vào B.6. Chúng tôi chỉ xem xét vùng khối dẫn bên ngoài màng tế bào nơi mà emfs là zero (chú ý rằng emfs đưa vào một cách xác định cùng với màng tế bào trong dạng của pin thế Nernst), và chúng tôi thu được

\bigtriangledown \times \left({\bar  {E}}+j\omega {\bar  {A}}\right)=0 (B.13)

Bây giờ, khi dòng xoáy của trường vector là zero, trường vector đó có thể được lấy như gradient (âm) của một trường thế vô hướng xác định ( trường mà chúng tôi đặt với kí hiệu \Phi và chú thích là thế điện vô hướng). Sự gán này là cố định vì dòng xoáy của gradient của bât kì trường vô hướng nào cùng bằng 0. Vì thế phương trình B.13 được rút gọn như sau.


{\bar  {E}}+j\omega {\bar  {A}}=-\bigtriangledown \Phi (B.14)

Theo lý thuyết của Helmholtz, một trường vector được đặc trưng duy nhất bởi cả dòng phân kì và xoáy của nó (Plonsey và Collin, 1961). Vì chỉ có dòng xoáy của trường vector {\bar  {A}} vừa được chỉ ra ở trên (trong phương trình B.12), bây giờ chúng ta có thể chọn

\bigtriangledown \bullet {\bar  {A}}=-\sigma \mu _{0}\Phi (B.15)

Sự lựa trọn đặc biệt \Phi từ phương trình khác nhau cho {\bar  {A}} (phương trình B.17). Đó là, nó có hiệu ứng mô tả được của sự phân chia thế vector từ {\bar  {A}} từ thế điện vô hướng \Phi . Như một sự quan tâm được gợi ý ban đầu bởi Lorentz khi trao đổi với không gian tự do của những phương trình Maxwell. Lorentz đã giới thiệu một phương trình tương tụ với phương trình B.15 được biết đến như điều kiện Lorentz, đó là

\bigtriangledown \bullet {\bar  {A}}=-j\omega \varepsilon \mu \Phi (B.16)

Chúng tôi đã từng thay đổi biểu thức này từ khi loại bỏ trong phương trình B.10 và B.11 dòng điện dịch j\omega \varepsilon {\bar  {E}} có lợi cho dòng dẫn \sigma {\bar  {E}} . Điều này đưa ra thay thế j\omega \varepsilon bởi \sigma trong điều kiện lorentz cơ bản (phương trình B.16), kết quả trong B.15. Điều kiện lorentz cũng có thể được chỉ ra để có những tính quan trọng khác, cụ thể là no chắc chắn yếu tố cố định của điều kiện tiếp tục.

Bây giờ, nếu chúng tôi thế phương trình B.12, 14, 15 vào B.10, giữ nguyên {\bar  {H}}={\bar  {B}}/\mu _{0} , và nếu chúng tôi sử dụng vector riêng

\bigtriangledown \times \bigtriangledown \times {\bar  {A}}=\bigtriangledown \bigtriangledown \bullet {\bar  {A}}-\bigtriangledown ^{2}{\bar  {A}} (B.17)

Chúng tôi thu được

\bigtriangledown ^{2}{\bar  {A}}-j\omega \mu _{0}\sigma {\bar  {A}}=-\mu _{0}{\bar  {J}}^{i} (B.18)

Giống như emfs được loại bỏ bằng cách chú ý đến vùng bên ngoài màng tế bào dễ kích thích, vì vậy cũng có thể loại bỏ dòng không đối lưu {\bar  {J}}^{i} trong phương trình B.10. Trong trường hợp này tất cả các phương trình mô tả điều kiện trong không gian nội bào và ngoại bào bị động; hiệu ứng của nguồn cùng với màng tế bào sau đó đưa vào sole qua những điều kiện biên tại và qua màng tế bào. Mặt khác, nó là hữu ích để giữ {\bar  {J}}^{i} như một hàm nguồn được phân bố trong phương trình B.10. Trong khi nó được giữ thực tế để màng tế bào đảm bảo điều kiện biên đã được đề cập trước đây, nó có thể được rút gọn và liên quan như một nguồn tương đương mà được phân chia một cách đồng nhất thông qua nguồn khối. Với những điểm trường bên ngoài phạm vi nguồn mà ở khoảng cách lớn hơn so với kích thước màng tế bào (qua kích thước trung bình {\bar  {J}}^{i} hoạt động) trường được phát gần với giá trị chính xác.


Phưong trình B.18 được biết như phương trình Helmholtz vector, mà giải pháp trong dạng tích phân được biết trong điện từ cơ bản (Plonsey and Collin, 1961). Thích ứng như một giải pháp cho phương trình đặc biệt của chúng tôi mang đến

{\bar  {A}}={\frac  {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac  {{\bar  {J}}^{i}e^{{-kr}}e^{{jkr}}}{r}}dV(B.19)

ở đây

k={\sqrt  {\omega \mu _{0}\sigma /2}}\left[1/m\right]

r=\left(x,y,z,x',y',z'\right)={\sqrt  {\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}+\left(z-z'\right)^{2}}}


Chú ý rằng r là bán kính từ yếu tố nguồn dV(x,y,z) (hệ tọa độ phụ) cho trường điểm P(x',y',z') (hệ tọa độ chính), và vì thế là một hàm của cả hệ tọa độ chính và phụ


Để đánh giá độ lớn của krtrong các hàm mũ trong phương trình B.19 chúng tôi chọn:

r_{{max}} = 100 cm

\omega = 2π•1000 1/s

\mu _{0}= 4π•10-9 H/cm

\sigma = .004 S/cm


sau đó


kr_{{max}}= .04 vì e^{{-.04}}=.96,số hạng mũ có thể được bỏ qua và chúng tôi lấy một phương trình rút gọn B.19, đưa vào thế vector từ dưới điều kiện sinh lý điện:

{\bar  {A}}={\frac  {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac  {{\bar  {J}}^{i}}{r}}dV (B.20)

Thế điện vô hướng \Phi có thể được tìm thấy từ {\bar  {A}} bằng việc sử dụng phương trình B.15 với phương trình B.20. Cũng trong việc đó, chúng tôi chú ý rằng phương trình B.20 bao gồm sự thực hiện tại hệ tọa độ trường (x',y',z').Ta có

\Phi ={\frac  {1}{4\pi }}\int {\bar  {J}}^{i}\bullet \left({\frac  {1}{r}}\right)dV (B.21)

ở đây \bigtriangledown ' chỉ hoạt động trong hệ tọa độ trường, đó là tại sao {\bar  {J}}^{i} không bị ảnh hưởng. Vì \bigtriangledown '\left(1/r\right)=-\bigtriangledown \left(1/r\right), cuối cùng chúng tôi lấy cho thế điện vô hường:

\Phi ={\frac  {1}{4\pi \sigma }}\int {\bar  {J}}^{{i}}\bullet \left({\frac  {1}{r}}\right)dV (B.22)


Phương trình B.22 được đặc trưng cho biểu thức trường tĩnh, ở đây {\bar  {J}}^{i} được biết như là một hàm nguồn mật độ lưỡng cực khối. Phương trình này phù hợp một cách chính xác với phương trình 7-5. Mặc dù phương trình dạng tĩnh cung cấp, {\bar  {J}}^{i} là thời gian thay đổi thực tế, và vì vậy, phải \Phi là thay đổi thời gian một cách đồng bộ. Chúng tôi gọi những trường hợp này là bán tĩnh.

Khi nguồn sinh ra dòng điện (bao gồm cả kích thích tế bào), một từ trường cần thiết được tạo ra bởi kết quả của dòng chảy. Cuối cùng mang đến một thế vector{\bar  {A}}, mà góp phần vào trường điện kết quả {\bar  {E}}thông qua số hạng j\omega {\bar  {A}} trong phương trình B.14. Tuy nhiên, dưới điều kiện được chỉ ra, \left|\omega {\bar  {A}}\right| là không đáng kể khi so với số hạng \left|\bigtriangledown \Phi \right| như được trình bày ở trong Plonsey and Heppner (1967). Đưới những điều kiện đó chúng tôi chỉ rời đi một số hạng thế vô hướng, và phương trình B.14 được rút gọn thành

{\bar  {E}}=-\bigtriangledown \Phi (B.23)


Biểu thức này cũng phù hợp với công thức dạng tĩnh. Nó nên được nhớ rằng phương trình B.23 là không chính xác, nhưng chỉ là một xấp xỉ tốt. Nó phù hợp với điều kiện bán tĩnh nơi mà điện trường tương tự với cái mà sinh ra dưới điều kiện tĩnh. Dưới điều kiện tĩnh thực sự điện trường và từ trường độc lập hoàn toàn. Dưới điều kiện bán tĩnh, trong khi những trường đáp ứng phương trình tĩnh , sự thay đổi thời gian tần số thấp có thể được xếp chồng (được chứng minh bởi điều kiện tần số thấp như đã nói ở trên), trong trường hợp đó hiệu ứng từ trường, mặc dù hiện còn, có thể thường được bỏ qua.

Chú ý rằng trong trường hợp này, nơi mà nguồn là điện sinh học riêng và dạng rút gọn của phương trình B.23 là cố định, phương trình B.11 dẫn tới phương trình 7.2 ({\bar  {J}}={\bar  {J}}^{i}-\sigma \bigtriangledown \Phi .

B.6Kích thích với điện trường và từ trường

B.6.1 Kích thích với điện trường

Điều kiện đâu:

Nguồn: điện trường trạng thái sẵn sàng

Bộ dẫn: sợi đồng nhất trong bộ dẫn khối

Các ý kiến ở trên, chúng tôi cũng quan tâm đến trường hợp nơi mà mô dễ bị kích thích được kích thích một cách riêng biệt với từ trường được cung cấp. Trong trường hợp này thế vector là lớn và có thể được bỏ qua. Thực tế, để bỏ qua những trường hợp này là để bỏ qua các hàm ràng buộc cơ bản , mà sẽ để lại kết quả vô lý không của trường nào , hoặc điện hoặc từ.

Chúng tôi đã từng chỉ ra trong chương 3 mà với một dây dẫn đơn đồng nhất dưới điều kiên trạng thái sẵn sằng một phần đông nhất phương trinh tich phân (phương trình 3.46) sinh ra:

{\frac  {\partial ^{2}V_{m}}{\partial x^{2}}}-{\frac  {V_{m}}{\lambda ^{2}}}=0 (b.24)

ở đây:

V_{m}: là tế màng vận chuyển

\lambda : không gian cố định, đặc điểm của tính điện và từ của dây

x: hệ tọa độ theo hướng của dây

Với một nguồn điểm tại gốc chúng tôi cung đã từng chỉ ra một cách cụ thể, trong chương 3, ở đó giải pháp cho phương trình B.24 là (phương trình 3.49)

V'\left(x\right)=V_{m}\left(0\right)e^{{-{\frac  {x}{\lambda }}}} (B.25)

ở đây V'\left(x\right)= độ lệch của điện thế màng với điện thế nghỉ

Trong phương trình

V'_{m}\left(0\right)={\frac  {r_{i}\lambda I_{0}}{2}} (B.26)

ở đây:

V'_{m}\left(0\right)= thế màng vận chuyển tại gốc

I_{0}= dòng điểm nội bào được cung cấp

r_{i}= trở kháng trục nội bào trên mỗi đơn vị chiều dài

Chúng tôi thấy ở đây, rằng với hơn một trường thế vô hướng được cung cấp, \Phi _{e}, phương trình B.24 trở thành

{\frac  {\partial V_{m}}{\partial x^{2}}}-{\frac  {V_{m}}{\lambda ^{2}}}=-{\frac  {{\frac  {\partial ^{2}\Phi _{e}}{\partial x^{2}}}}{\lambda ^{2}}} (B.27)

Có thể nhận ra trong phương trình này là đạo hàm thứ hai của trường thế được cung cấp dọc theo dây là hàm bắt buộc (thực tế, nó đã từng được gọi là hàm chức năng, trong khi các biến phụ thuộc, V_{m}, là đáp ứng của màng với kích thích. Sử dụng phương trình B.23, chúng tôi có thể viết phương trình B.24 như

{\frac  {\partial ^{2}V_{m}}{\partial x^{2}}}-{\frac  {V_{m}}{\lambda ^{2}}}=-{\frac  {{\frac  {\partial {\bar  {E}}}{\partial x}}}{\lambda ^{2}}}(B.28)

ở đây {\bar  {E}} là điện trường được cung cấp

B.6.2 Kích thích với từ trường

Điều kiện đầu:

Nguồn: Từ trường thời gian thay đỏi

Bộ dẫn khối: cáp đồng nhất trong bộ dẫn khối

Kích thích điện có thể được tạo ra bởi việc cung cấp từ trường thời gian thay đổi vào mô. Như được đưa ra trong phương trình B.12, từ trường được định nghĩa như một dòng xoáy của thế vector. Bây giờ sự kích thích được giới thiệu riêng rẽ thông qua một từ trường gây ra một điện trường. Phương trình B.27 vẫn hợp lệ ngoại trừ trường được cung cấp được tìm thấy trong phương trình B.14, cụ thể là ở đây {\bar  {E}}=-j\omega {\bar  {A}}.

Việc xác định trường vector từ một cuộn dây vật lý được tìm thấy, một cách cơ bản, từ phương trình B.20 (phương trình phù hợp với phương trình 12.33). Mối quan hệ này cũng đã từng được làm ra và phổ biến cho nhiều cấu hình cuộn dây khác nhau.

Chúng tôi cũng chú ý rằng vì các phương trình vi phân B.24, B.27 và B.28 là tuyến tính, và giải pháp được đưa đến trong phương trình B.25 chủ yếu là đáp ứng vơi một xung đơn vị ( không gian) tại gốc (đặt I_{0}= \delta \left(x\right)), sau đó lý thuyết hệ thống tuyến tính mô tả giải pháp cho phương trình B.27, (hoặc B.28), như

V_{m}\left(x\right)=V'\left(x'-x\right)\otimes -\left(r_{m}{\frac  {{\frac  {\partial ^{2}\Phi _{e}}{\partial x^{2}}}}{\lambda ^{2}}}\right) (B.29)

ở đây \otimes chú thích cho tích chập. (yếu tố thêm vào r_{m} được yêu cầu để chuyển vế phải của B.28 thành một mật độ dòng.) Hoạt động của tích chập có thể được tạo ra bằng cách lấy biến đổi Fourier nghịch đảo của việc tạo ra biến đổi Fourier của V' và của đạo hàm bậc hai của \delta _{e}. Hoạt động này được tiến hành dễ dàng bằng cách sử dụng biến đổi Fourier nhanh.

B.7 Những phương trình rút gọn của Maxwell trong chế phẩm sinh lý ở phạm vi ngoài nguồn

Điều kiện đầu:

Nguồn và Trường: Bán tĩnh (\omega <1000 Hz){\bar  {J}}^{i},{\bar  {E}},{\bar  {H}}

Bộ dẫn khối: hữu hạn giới hạn (r < 1m) phạm vi ngoài nguồn trở kháng không đồng nhất (\omega \varepsilon /\varepsilon <0.15) \mu =\mu _{0},\varepsilon =\varepsilon _{0}.

Cuối cùng chúng tôi thu thập những phương trình của Maxwell trong dạng đơn giản nhất của chúng. Những phương trình này hợp lệ dưới điều kiện sinh lý điện bán tĩnh ngoài phạm vi của nguồn điện sinh học:

{\bar  {E}}=-\bigtriangledown \Phi (B.23)
\bigtriangledown \times {\bar  {H}}=\sigma {\bar  {E}}+{\bar  {J}}^{i} (B.10)
\bigtriangledown \bullet {\bar  {E}}=-{\frac  {\bigtriangledown \bullet {\bar  {J}}^{i}}{\sigma }} (B.11)
\bigtriangledown \bullet {\bar  {E}}=-{\frac  {\bigtriangledown \bullet {\bar  {J}}^{i}}{\sigma +j\omega \varepsilon _{0}}} (B.9)

tham khảo

Barr RC, Spach MS (1977): Sampling rates required for digital recording of intracellular and extracellular cardiac potentials. Circulation 55: 40-8. Maxwell J (1865): A dynamical theory of the electromagnetic field. Phil. Trans. R. Soc. (Lond.) 155: 459-512. Maxwell J (1873): Treatise On Electricity and Magnetism, Vol. 2, Oxford. (Reprint by Dover, New York, 1954.) Plonsey R, Collin R (1961): Principles and Applications of Electromagnetic Fields, 554 pp. McGraw-Hill, New York. Plonsey R, Heppner DB (1967): Considerations of quasistationarity in electrophysiological systems. Bull. Math. Biophys. 29:(4) 657-64. Schwan HP, Kay CF (1957): The conductivity of living tissue. Ann. N.Y. Acad. Sci. 65: 1007.


Trang trước Phụ lục B Trang cuối

Liên kết đến đây