Số Lucas

Từ Thư viện Khoa học VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Số Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng.

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L0 = 2 và L1 = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

L_{n}:={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L_{{n-1}}+L_{{n-2}}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}

Các số đầu tiên của dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...

Số Lucas có chỉ số âm

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại Ln-2 = Ln - Ln-1 để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với -5\leq {}n\leq 5): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...) .

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):

  • L_{{-n}}=(-1)^{n}L_{n}.\!

Tính chất

Công thức tổng quát

Công thức tổng quát của số Lucas:

L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{{n}}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{{-n}}=\left({1+{\sqrt  {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt  {5}} \over 2}\right)^{n}\,,

với \varphi bằng Tỉ lệ vàng.

Một tính chất khá thú vị, L_{n} là số nguyên gần với \varphi ^{n} nhất.

Mối liên hệ với các số Fibonacci

Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

  • \,L_{n}=F_{{n-1}}+F_{{n+1}}
  • tổng quát hơn là công thức sau:

L_{n}=F_{{k+2}}.L_{{n-k}}+F_{{k+1}}.L_{{n-k-1}} với mọi k<n; (2.1)

Chứng minh quy nạp.

k=0, thì công thức (2.1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (2.1) đúng đến k<n-1, ta chứng minh nó đúng với k+1, thật vậy:

L_{n}

=F_{{k+2}}.L_{{n-k}}+F_{{k+1}}.L_{{n-k-1}}

=F_{{k+2}}.(L_{{n-k-1}}+L_{{n-k-2}})+F_{{k+1}}.L_{{n-k-1}}

=(F_{{k+2}}+F_{{k+1}}).L_{{n-k-1}}+F_{{k+2}}.L_{{n-k-2}}

=F_{{k+3}}.L_{{n-k-1}}+F_{{k+2}}.L_{{n-k-2}}.

Vậy là (2.1) cũng đúng với k+1.

Suy ra điều phải chứng minh.

  • \,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}, từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số {L_{n} \over F_{n}\,} tiến đến {\sqrt  {5}}\, khi n\, tiến đến +∞.

Sử dụng công thức tổng quát.

  • \,F_{{2n}}=L_{n}F_{n}

Chứng minh, sử dụng công thức tổng quát:

L_{n}F_{n}=(\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{{n}})({{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {{\sqrt  5}}})

Rút gọn lại được:

L_{n}F_{n}=)({{\varphi ^{{2n}}-(1-\varphi )^{{2n}}} \over {{\sqrt  5}}}=L_{{2n}}

  • \,F_{n}={L_{{n-1}}+L_{{n+1}} \over 5}

Chứng minh bằng quy nạp theo n.

Khi chỉ số là số nguyên tố

Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Ngoài ra, Ln cũng có tính chất này với một số giá trị khác của n.

Tính chia hết giữa các số Lucas

Lmn chia hết cho Ln nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để Ln là số nguyên tố.

Sử dụng công thức tổng quát của L_{n}, để chứng minh hệ thức truy hồi sau:

L_{{mn+2n}}=L_{{mn}}.L_{{2n}}-L_{{|mn-2n|}}(1)

Từ đó suy ra:

L_{{3n}}=L_{{n+2n}}=L_{{n}}.L_{{2n}}-L_{{n}}

Suy ra L_{{3n}} chia hết cho L_{{n}}.

Lại dùng công thức truy hồi (1), suy ra L_{{5n}} chia hết cho L_{{n}}.

Lặp lại thao tác trên k lần liên tiếp, suy ra L_{{(2k+1)n}} chia hết cho L_{{n}}, điều phải chứng minh.


Số nguyên tố Lucas

Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ...

Nếu Ln là số nguyên tố thì n bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.[1]

Các số Lucas có dạng L2^{m} là số nguyên tố được biết cho đến nay là m = 1, 2,3 và 4.

Đa thức Lucas

Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{{n-1}}(x)+L_{{n-2}}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:

L_{0}(x)=2\,
L_{1}(x)=x\,
L_{2}(x)=x^{2}+2\,
L_{3}(x)=x^{3}+3x\,
L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,
L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,
L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,


Xem thêm

Chú thích


Lỗi chú thích: Tồn tại thẻ <ref>, nhưng không tìm thấy thẻ <references/>

Liên kết đến đây