Tìm phương trình tiếp tuyến

Khác với đường thẳng, hệ số góc (độ dốc) liên tục thay đổi khi di chuyển dọc đường cong. Tích phân đưa ra ý tưởng mỗi điểm trên đồ thị có thể được diễn tả bằng một hệ số góc hay "tốc độ thay đổi liên tục". Đường tiếp tuyến tại một điểm là đường thẳng có cùng hệ số góc và đi qua chính điểm đó. Để tìm phương trình đường tiếp tuyến, bạn cần biết cách lấy đạo hàm phương trình ban đầu.

Các bước

Tìm phương trình đường tiếp tuyến

1. Vẽ hàm và đường tiếp tuyến (bước này không bắt buộc nhưng nên thực hiện). Biểu đồ sẽ giúp bạn dễ dàng hơn trong việc hiểu đề và kiểm tra liệu đáp án có hợp lý hay không. Vẽ hàm số trên giấy kẻ ô, sử dụng máy tính khoa học có chức năng vẽ đồ thị để tham khảo nếu cần. Vẽ đường tiếp tuyến đi qua điểm cho trước (Nhớ rằng đường tiếp tuyến đi qua điểm đó và có cùng hệ số góc với đồ thị tại đó).
   • Ví dụ 1: Vẽ parabol $f(x)=0.5x^{2}+3x-1$ . Vẽ đường tiếp tuyến đi qua điểm (-6, -1).
     Dù chưa biết phương trình tiếp tuyến nhưng bạn vẫn có thể thấy rằng hệ số góc của nó là âm và tung độ gốc bé hơn 0 (nằm xa dưới đỉnh parabol với tung độ bằng -5,5). Nếu đáp án cuối cùng tìm được không phù hợp với những chi tiết này, chắc hẳn có lỗi trong tính toán và bạn cần kiểm tra lại.
2. Lấy đạo hàm bậc nhất để tìm phương trình hệ số góc của đường tiếp tuyến. Với hàm số f(x), đạo hàm bậc nhất f'(x) đại diện phương trình hệ số góc của đường tiếp tuyến tại mọi điểm trên f(x). Có rất nhiều cách để đạo hàm. Đây là một ví dụ đơn giản sử dụng quy tắc lũy thừa:
   • Ví dụ 1 (tt): Đồ thị được cho bởi hàm số $f(x)=0.5x^{2}+3x-1$ .
     Nhắc lại quy tắc lũy thừa khi lấy đạo hàm:${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{{n-1}}$.
     Đạo hàm bậc nhất của hàm số = f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0.
     f'(x) = x + 3. Thay x bằng bất kỳ giá trị a nào, phương trình sẽ cho ta hệ số góc của đường tiếp tuyến hàm số f(x) tại điểm x = a.
3. Nhập giá trị x của điểm đang xét. Đọc đề để tìm tọa độ của điểm cần tìm đường tiếp tuyến. Nhập hoành độ của điểm này vào f’(x). Kết quả thu được là hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm trên.
   • Ví dụ 1 (tt): Điểm được đề cập trong đề là (-6, -1). Dùng hoành độ -6 thế vào f’(x):
     f'(-6) = -6 + 3 = -3
     Hệ số góc của đường tiếp tuyến là -3.
4. Viết phương trình đường tiếp tuyến có dạng đường thẳng khi biết hệ số góc và một điểm nằm trên nó. Phương trình tuyến tính này được viết dưới dạng $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ . Trong đó, m là hệ số góc và $(x_{1},y_{1})$ là một điểm trên đường tiếp tuyến. Bây giờ, bạn đã có mọi thông tin cần thiết để viết phương trình đường tiếp tuyến ở dạng này.
   • Ví dụ 1 (tt): $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
     Hệ số góc của đường tiếp tuyến là -3, do đó: $y-y_{1}=-3(x-x_{1})$
     Đường tiếp tuyến đi qua điểm (-6, -1), vì vậy, phương trình cuối cùng là: $y-(-1)=-3(x-(-6))$
     Rút gọn ta được: $y+1=-3x-18$
     $y=-3x-19$
5. Xác nhận bằng đồ thị. Nếu có máy tính có chức năng vẽ đồ thị, hãy vẽ đồ thị hàm gốc và đường tiếp tuyến để kiểm tra liệu đáp án đã chính xác hay chưa. Nếu tính toán trên giấy, hãy dùng đồ thị đã vẽ trước đó để đảm bảo không có sai sót hiển nhiên nào trong đáp án của bạn.
   • Ví dụ 1 (tt): Hình vẽ ban đầu cho thấy đường tiếp tuyến có hệ số góc âm và tung độ gốc nằm dưới xa so với -5,5. Phương trình tiếp tuyến vừa tìm được là y = -3x -19, nghĩa là -3 là hệ số góc và -19 là tung độ gốc.
6. Thử giải quyết một bài toán khó hơn. Chúng ta đi qua toàn bộ các bước ở trên một lần nữa. Lúc này, mục tiêu là tìm đường tiếp tuyến của $f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1$ tại x = 2:
   • Tìm đạo hàm bậc nhất bằng quy tắc lũy thừa: $f'(x)=3x^{2}+4x+5$ . Hàm số này sẽ cho chúng ta hệ số góc của tiếp tuyến.
   • Với x = 2, tìm $f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25$ . Đây là hệ số góc tại x = 2.
   • Lưu ý rằng lần này, chúng ta không có một điểm và chỉ có tọa độ x. Để tìm tọa độ y, thay x =2 vào hàm ban đầu: $f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27$ . Điểm thu được là (2,27).
   • Viết phương trình đường tiếp tuyến đi qua một điểm và có hệ số góc xác định: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
     $y-27=25(x-2)$
     Nếu cần, rút gọn về y = 25x - 23.

Giải quyết các vấn đề liên quan

1. Tìm điểm cực trị trên đồ thị. Chúng là những điểm mà tại đó, đồ thị tiến đến điểm cực đại cục bộ (điểm cao hơn những điểm lân cận ở cả hai bên) hoặc điểm cực tiểu cực bộ (thấp hơn những điểm lân cận ở cả hai bên). Đường tiếp tuyến luôn có hệ số góc bằng 0 ở những điểm này (một đường thẳng nằm ngang). Tuy nhiên, hệ số góc bằng không chưa đủ để kết luận đó là điểm cực trị. Dưới đây là cách tìm chúng:
   • Lấy đạo hàm bậc nhất của hàm số để có f’(x), phương trình hệ số góc đường tiếp tuyến.
   • Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm điểm cực trị tiềm năng.
   • Lấy đạo hàm bậc hai để có f''(x), phương trình cho chúng ta biết tốc độ thay đổi của hệ số góc đường tiếp tuyến.
   • Tại mỗi điểm cực trị tiềm năng, thay hoành độ a vào f''(x). Nếu f''(a) dương, ta có một điểm cực tiểu cục bộ tại a. Nếu f''(a) âm, ta có một điểm cực đại cục bộ. Nếu f''(a) bằng 0, đó không phải cực trị mà là một điểm uốn.
   • Nếu đạt cực đại hoặc cực tiểu tại a, tìm f(a) để xác định tung độ.
2. Tìm phương trình đường pháp tuyến. Đường "pháp tuyến" của một đường cong tại điểm xác định a sẽ đi qua điểm đó và vuông góc với đường tiếp tuyến. Để tìm phương trình đường pháp tuyến, sử dụng điều đã biết sau: (hệ số góc đường tiếp tuyến)(hệ số góc đường pháp tuyến) = -1 khi chúng đi qua cùng một điểm trên đồ thị. Cụ thể:
   • Tìm f'(x), hệ số góc đường tiếp tuyến.
   • Nếu tại điểm đã cho, ta có x = a: tìm f'(a) để xác định hệ số góc tại điểm đó.
   • Tính ${\frac {-1}{f'(a)}}$ để tìm hệ số góc đường pháp tuyến.
   • Viết phương trình đường pháp tuyến khi biết hệ số góc và một điểm mà nó đi qua.

Lời khuyên

• Nếu cần, hãy viết lại phương trình ban đầu dưới dạng chuẩn: f(x) = ... hay y = ...

Bài liên quan

• Tỉ lệ logarit
• Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
• Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
• Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit
• Kẻ thất bại và kẻ siêu thất bại

• « Mới nhất
• ‹ Mới hơn
• Cũ hơn ›