Tính khoảng cách

Khoảng cách, thường ký hiệu là d, là chiều dài đo được của đường thẳng nối liền hai điểm. Khoảng cách dùng để chỉ khoảng không gian giữa hai điểm cố định (ví dụ, chiều cao của một người là khoảng cách từ lòng bàn chân tới đỉnh đầu), hoặc chỉ khoảng không gian giữa vị trí hiện tại của một vật thể chuyển động với điểm xuất phát của nó. Đa số các bài toán về khoảng cách có thể giải bằng phương trình d = s_avg × t trong đó d là khoảng cách, s_avg là vận tốc trung bình, và t là thời gian, hoặc dùng phương trình d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), trong đó (x₁, y₁) và (x₂, y₂) là tọa độ x và y của hai điểm.

Các bước

Tìm khoảng cách khi có thời gian và vân tốc trung bình

1. Tìm thời gian và vân tốc trung bình. Khi muốn tìm khoảng cách mà một vật thể đã di chuyển, có hai giá trị bạn cần phải biết là vận tốc và thời gian chuyển động của nó. Sau đó bạn có thể tìm ra khoảng cách bằng công thức d = s_avg × t.
   • Để hiểu hơn về phương pháp tính khoảng cách, ta xem xét ví dụ sau đây: giả sử chúng ta đang chạy trên đường với vận tốc 193 km/giờ và muốn biết đi được bao xa trong nửa giờ. Sử dụng 193 km/giờ làm giá trị vận tốc trung bình và 0,5 giờ làm giá trị thời gian, bước tiếp theo là giải bài toán tìm khoảng cách.
2. Nhân vận tốc trung bình cho thời gian. Một khi biết được vận tốc trung bình và thời gian di chuyển của vật thể, việc tính khoảng cách đi được trở nên rất đơn giản bằng cách nhân hai giá trị đó cho nhau.
   • Lưu ý rằng nếu đơn vị đo thời gian trong vận tốc khác với đơn vị thời gian chuyển động, bạn phải chuyển một trong hai giá trị đó ra cùng đơn vị đo về thời gian. Ví dụ, nếu chúng ta có giá trị vận tốc trung bình theo km/h và thời gian chuyển động theo phút, khi đó bạn phải chia thời gian cho 60 để chuyển thành đơn vị theo giờ.
   • Chúng ta cùng giải bài toán như sau. 193 km/giờ × 0,5 giờ = 96,5 km. Lưu ý là đơn vị trong giá trị thời gian (giờ) triệt tiêu với đơn vị thời gian của vận tốc trung bình trong phần mẫu số (giờ) nên chỉ còn đơn vị khoảng cách là km.
3. Chuyển vế phương trình để tìm các biến số khác. Vì phương trình tìm khoảng cách (d = s_avg × t) rất đơn giản nên ta dễ dàng chuyển vế để tìm các biến số khác ngoài khoảng cách. Giữ cố định biến số muốn tìm và chuyển các biến còn lại về một vế của phương trình theo nguyên tắc đại số, sau đó lồng giá trị vào hai biến đã biết để tìm ra biến số thứ ba. Nói một cách khác, để tìm vận tốc trung bình của một vật ta dùng phương trình s_avg = d/t và tìm thời gian di chuyển bằng phương trình t = d/s_avg.
   • Ví dụ, giả sử một chiếc xe ôtô đã chạy được 60 km trong 50 phút, nhưng chúng ta chưa biết vận tốc trung bình xe chạy. Như vậy ta giữ cố định biến s_avg trong phương trình tính khoảng cách để nhận được phương trình s_avg = d/t, sau đó chia 60 km/50 phút để tìm ra 1,2 km/phút.
   • Chú ý là vận tốc tìm được trong bài toán trên có đơn vị tính không phổ biến (km/phút). Để có vận tốc thường dùng là km/giờ ta nhân nó cho 60 phút/giờ và nhận được 72 km/giờ.
4. Biến số "s_avg" trong công thức tính khoảng cách chính là vận tốc trung bình. Bạn nên biết công thức tính khoảng cách cơ bản nói trên chỉ cho chúng ta cái nhìn đơn giản về chuyển động của một vật. Công thức này giả định rằng vật thể chuyển động với vận tốc không đổi, nghĩa là nó chạy ở một vận tốc duy nhất trên suốt khoảng cách cần tính. Đối với các bài toán mang tính lý thuyết thường gặp trong nhà trường, đôi khi bạn vẫn có thể mô phỏng chuyển động của một vật bằng giả định này. Tuy nhiên trong thực tế, cách mô phỏng chuyển động như vậy không chính xác vì vật thể sẽ tăng và giảm tốc độ, đôi khi dừng hay lùi lại.
   • Ví dụ, trong bài toán trên đây chúng ta cho rằng để đi được quãng đường 60 km trong 50 phút thì xe phải chạy ở vận tốc 72 km/giờ. Điều này chỉ đúng khi xe giữ được vận tốc 72 km/giờ trên suốt hành trình. Tuy nhiên, nếu ta chạy 80 km/giờ trên nửa hành trình và 64 km/giờ trên nửa còn lại, bạn vẫn đi được 60 km trong 50 phút, vậy 72 km/giờ không phải là kết quả duy nhất!
   • Các phương pháp giải bằng đạo hàm đúc kết từ tính toán thực tế là giải pháp chính xác hơn để tìm vận tốc di chuyển của vật thể trong thế giới thực, vì thực tế vận tốc rất dễ thay đổi.

Tìm khoảng cách giữa hai điểm

1. Tìm tọa độ không gian của hai điểm. Thay vì tìm khoảng cách mà một vật di chuyển được, bạn sẽ tìm khoảng cách giữa hai điểm cố định bằng cách nào? Với trường hợp này công thức tìm khoảng cách dựa trên vận tốc không giúp ích gì được. May thay chúng ta có một công thức riêng để tìm chiều dài đường thẳng nối hai điểm. Tuy nhiên bạn phải biết tọa độ của hai điểm đó. Nếu cần tìm khoảng cách trên đường thẳng một chiều duy nhất (như trên một trục tọa độ), thì tọa độ của hai điểm đó chỉ là x₁ và x₂. Nếu cần tìm khoảng cách trên mặt phẳng hai chiều, bạn cần có tọa độ (x,y) cho từng điểm, nghĩa là (x₁,y₁) và (x₂,y₂). Trong không gian ba chiều, tọa độ cần có cho mỗi điểm là (x₁,y₁,z₁) và (x₂,y₂,z₂).
2. Tìm khoảng cách trên đường thẳng một chiều bằng cách trừ tọa độ của hai điểm. Tính khoảng cách nằm trên đường thẳng nối hai điểm khi biết tọa độ của chúng bằng công thức đơn giản sau d = |x₂ - x₁|. Trong công thức này, bạn trừ x₁ cho x₂, sau đó lấy giá trị tuyệt đối là có kết quả khoảng cách giữa x₁ và x₂. Tính khoảng cách trên đường thẳng một chiều thường xảy ra khi hai điểm nằm trên một trục số hay một trục tọa độ.
   • Lưu ý là công thức này dùng giá trị tuyệt đối (ký hiệu "| |"). Giá trị tuyệt đối nghĩa là con số nằm trong ký hiệu trên sẽ trở thành số dương nếu trước đó là số âm.
   • Giả sử chúng ta dừng xe trên một con đường cao tốc thẳng tuyệt đối. Nếu có một thị trấn nhỏ nằm ở phía trước chúng ta 5 km và một thị trấn nằm phía sau 1 km, vậy hai thị trấn đó cách nhau bao xa? Nếu chúng ta đặt tọa độ cho thị trấn 1 là x₁ = 5 và thị trấn 2 là x₁ = -1, ta có khoảng cách d giữa hai thị trấn như sau:
     • d = |x₂ - x₁|
     • =|-1 - 5|
     • =|-6| = 6 km.
3. Tìm khoảng cách trên mặt phẳng hai chiều bằng định lý Pytago. Tìm khoảng cách giữa hai điểm nằm trong mặt phẳng hai chiều phức tạp hơn đường thẳng một chiều, nhưng cũng không khó. Sử dụng công thức d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). Trong công thức này bạn lấy hai tọa độ x trừ cho nhau rồi lấy bình phương kết quả, lấy hai tọa độ y trừ cho nhau rồi lấy bình phương kết quả, sau đó cộng hai kết quả lại và lấy căn bậc hai để có khoảng cách giữa hai điểm. Công thức trên áp dụng cho mặt phẳng hai chiều, ví dụ trên đồ thị x/y.
   • Công thức tính khoảng cách trên mặt phẳng 2 chiều ứng dụng định lý Pytago, theo đó cạnh huyền của một tam giác vuông bằng với căn bậc hai của tổng bình phương hai cạnh còn lại.
   • Giả sử chúng ta có hai điểm trên mặt phẳng x-y có tọa độ: (3, -10) và (11, 7) tương ứng với tâm của đường tròn và một điểm nằm trên đường tròn. Để tìm khoảng cách thẳng giữa hai điểm mày chúng ta giải như sau:
   • d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
   • d = √((11 - 3)² + (7 - -10)²)
   • d = √(64 + 289)
   • d = √(353) = 18,79
4. Tìm khoảng cách trong không gian 3 chiều bằng cách phát triển công thức dùng cho mặt phẳng 2 chiều. Trong không gian 3 chiều, ngoài hai tọa độ x và y, các điểm còn có thêm tọa độ z. Sử dụng công thức sau để tìm khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²). Công thức này được suy ra từ công thức dùng cho mặt phẳng bằng cách bổ sung thêm tọa độ z. Trừ hai tọa độ z cho nhau rồi lấy bình phương, tiếp tục làm như vậy với hai tọa độ còn lại, chắc chắn bạn sẽ có khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
   • Giả sử bạn là nhà du hành vũ trụ bay trong không gian, gần với hai thiên thể. Một thiên thể nằm phía trước bạn 8 km, lệch sang phải 2 km và lệch xuống dưới 5 km, cái còn lại nằm phía sau bạn 3 km, 3 km về bên trái và 4 km hướng lên trên. Tọa độ tương ứng của hai thiên thể như sau (8,2,-5) và (-3,-3,4), khoảng cách giữa chúng sẽ là:
   • d = √((-3 - 8)² + (-3 - 2)² + (4 - -5)²)
   • d = √((-11)² + (-5)² + (9)²)
   • d = √(121 + 25 + 81)
   • d = √(227) = 15,07 km

Bài liên quan

• Tỉ lệ logarit
• Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
• Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
• Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit
• Kẻ thất bại và kẻ siêu thất bại

• « Mới nhất
• ‹ Mới hơn
• Cũ hơn ›