Toán học là gì?
Mục lục
1. Tương quan giữa cấu trúc của lý thuyết toán học với cấu trúc của đối tượng[sửa]
Một vài kiến giải về toán:
- Ngôn ngữ ký hiệu toán học là một hệ thống phi mâu thuẫn.
- Ngôn ngữ toán học là một hệ thống ngôn ngữ hình thức hoá mang tính tượng trưng.
- Toán học là một khoa học suy diễn, loại tri thức lý thuyết.
- Hệ thống đối tượng toán học được xác định một cách tiên nghiệm nhưng lớp đối tượng được ứng dụng thành quả toán học lại phi tiên nghiệm.
- Toán học nghiên cứu các mối quan hệ về lượng, quảng tính của sự vật. Xét mệnh đề sau trong hình học Euclid: “đường thẳng là đường ngắn nhất giữa hai điểm”, mệnh đề này được suy luận từ những căn cứ: cái nhìn + trực quan + thời gian + không gian, và tất nhiên là tổng hợp.
- Toán học là loại nhận thức lý thuyết của lý tính [tức trừu tượng] có nhiệm vụ xác định đối tượng của chúng một cách định trước [hoàn toàn thuần tuý].
2. Phân tích logic thuật ngữ toán học[sửa]
Vấn đề không tương ứng của nội dung khách quan của các thuật ngữ toán học với những quan niệm hình thành trong các giai đoạn lịch sử đã được Boxano nêu lên một cách đặc biệt sắc sảo. Ông vạch rõ rằng truyền thống chứng minh các định lý của giải tích dựa trên các tính chất của những đối tượng hình học (những đối tượng này trong trường hợp may mắn nhất chỉ có thể xem là những ví dụ) là vi phạm “phương pháp tốt” bởi vì “cơ sở khách quan của chân lý đúng cho tất cả mọi dạng đại lượng không phân biệt những đại lượng này ở trong không gian hay là không, không thể nào là cái chân lý chỉ đúng cho những đại lượng ở trong không gian mà thôi”
Việc giải tích tìm thấy ứng dụng trong những lĩnh vực khác nhau về chất đã là động cơ thúc đẩy người ta xét lại những khái niệm (các thuật ngữ) toán học. Việc đó chứng tỏ rằng đối tượng của giải tích toán học không phải là những đối tượng hình học cũng không phải là những quá trình cơ học mà là một cái gì khác. Chính vì vậy mà Karl Marx đã gọi phép tính vi phân của Leibnit-Newton là thần bí. Tính chất thần bí là ở chỗ Newton và Leibnit làm không phải cái mà họ suy nghĩ và họ nói. Newton và Lepnit đã gắn liền sự xây dựng bộ máy của phép tính vi phân với những biểu tượng của một quá trình (tốc độ, gia tốc, sự tồn tại của những đại lượng vô cùng bé,…), nhưng bản thân vi phân lại không liên quan trực tiếp với chúng. Cái này, như Marx đã nói, là một ký hiệu toán tử cho phép ta căn cứ vào dạng thức của một hàm số để tìm ra một hàm số nào đó. Nhưng một khi đã ra đời, thì ký hiệu toán tử này lại được bắt đầu được sử dụng như một đối tượng trong phép tính. Quan điểm của ý thức thông thường vẫn tiếp tục sống trong khoa học và dẫn tới các suy luận như sau: nếu như trong phép tính, được sử như một đối tượng (đối tượng theo cách quan niệm của lượng, tức là của vật nào đó).
3. Ứng dụng các phương pháp toán trong khoa học hiện đại[sửa]
Khái niệm “những phương pháp toán học” được dùng trong các sách báo khoa học theo hai nghĩa khác nhau (tuy nhiên có liên hệ mật thiết với nhau).
Dưới danh từ những phương pháp toán học, người ta hiểu điều đó là, thứ nhất, những phương pháp mà toán học dùng để xây dựng các lý thuyết của nó; thứ hai, đó là việc dùng bộ máy của những lý thuyết toán khác nhau để mô tả và nghiên cứu những đối tượng cụ thể hình thành đối tượng của một ngành khoa học chuyên môn nào đó.
Việc dùng khái niệm “những phương pháp toán học” theo nghĩa thứ nhất, cần phải được chính xác hoá thêm, trong trường hợp này những phương pháp toán học được hiểu là những phương pháp logic do toán học sử dụng.
Lý thuyết toán học, với tính các là công cụ để rút ra những kết luận mới bằng phương pháp suy diễn, là một hình thức phát triển tri thức khoa học và là sơ đồ để giải các bài toán của các môn khoa học cụ thể. Nội dung chứa đựng trong hình thức hoặc sơ đồ ấy được quyết định không phải bởi bản thân lý thuyết toán học mà bởi sự tương quan thiết lập giữa các khái niệm toán học và các hiện tượng nghiêm cứu.
Như vậy, cần phân biệt cấu trúc toán học của tri thức khoa học với nội dung thực tế của tri thức đó. Bản thân cấu trúc toán học không nói gì về hiện thực cả nếu như ta chưa rõ cách lý giải các ký hiệu toán học và các phép toán, mà tuỳ theo cách lý giải chung, lý thuyết toán học có thể đem lại những kết luận rất giá trị cũng như những điều hoàn toàn vô nghĩa. Vì thế việc ứng dụng toán học có ý nghĩa là thống nhất một hiện tượng cụ thể vào một lý thuyết sâu sắc. Cần nhớ điều đó để khỏi sa vào trò chơi công thức đơn thuần vô nghĩa mà đằng sau đó chẳng có một nội dung thực tế nào cả.
Việc toán học hoá ngày càng tăng của khoa học là tính quy luật chung của sự phát triển của nhận thức khoa học.
Diễn ra sự xâm nhập nhanh chóng và không ngừng mở rộng của các phương pháp toán học vào những lính vực rất khác nhau của tri thức khoa học dẫn đến sự phân hoá của khoa học; dẫn đến sự hợp nhất của những lĩnh vực khoa học khác nhau, dẫn đến nảy sinh những bộ môn khoa học tổng quát (thí dụ như điều khiển học).
Phạm vi những lý thuyết toán học do các ngành khoa học cá biệt sử dụng đang được mở rộng cực kỳ mạnh mẽ
Toán học ngày càng trở thành ngôn ngữ của khoa học hiện đại để diễn đạt nội dung của nó; toán học là công cụ có hiệu lực biểu hiện tri thức do đặc điểm quan trọng của nó: tính phi mâu thuẫn. Thí dụ môn vật lý: những quan niệm của vật lý hiện đại phức tạp, trừu tượng và xa với cảm giác trực quan đến mức chỉ có ngôn ngữ ký hiệu của toán học với dung lượng và trình độ trừu tượng cao của nó mới có khả năng nắm bắt và “nhìn bao quát trong tư duy” những thuộc tính và quan hệ – do chúng phản ánh – của vật chất đang vận động.
Ý nghĩa gợi mở của phương pháp toán học trong khoa học hiện đại tăng lên rất nhiều [mô hình toán học]. Thí dụ: lý luận của Marwell khi ông sáng lập ra lý thuyết điện từ. Marwell đưa vào khái niệm rôto trường vectơ và sử dụng phương trình rotE=0 để biểu diễn các tính chất của trường tính điện. Sau đó giả định rằng rôto có thể nhận không những giá trị bằng không mà cả những giá trị khác nữa khi nó thay đổi tỷ lệ vi phân theo thời gian của từ trường, ông đã khái quát hoá được lý thuyết toán học đó và xây dựng được lý thuyết tổng quát về trường điện từ.
Chú thích và Liên kết ngoài[sửa]
- Bài này không nhằm đưa ra một định nghĩa về toán học hay phân tích thuật ngữ toán học. Hy vọng bài này sẽ giúp các bạn học sinh có thể hình dung đôi chút về toán học và cách học toán.
- The Importance of Mathematics, introduction by Arthur Jaffe, Timothy Gowers.
