Cách nhìn mới về tiến trình dạy học khái niệm toán học

T.S Lê Văn Tiến
Trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh

Các khái niệm cơ sở

Cơ chế hoạt động của một khái niệm

Cơ chế công cụ

Một khái niệm (KN) hoạt động dưới dạng công cụ (hay cơ chế công cụ) nếu nó được sử dụng như là một phương tiện để giải quyết một vấn đề nào đó.

• Khái niệm có cơ chế “công cụ ngầm ẩn”, khi nó được sử dụng một cách không ý thức bởi chủ thể, chủ thể không thể trình bày hay giải thích được về việc dùng khái niệm.

• Ngược lại, nếu chủ thể ý thức được về việc sử dụng khái niệm và có thể trình bày hay giải thích nó, thì ta nói đến cơ chế “công cụ tường minh”.

Ví dụ: Tại Cộng hòa Pháp, trong một tình huống bàn về diện tích của một hình vuông ở lớp 7, trước câu hỏi: ”Có hay không một hình vuông diện tích là 12?”, một học sinh trả lời: ”Nếu cạnh là 3 cm thì diện tích là 9, còn nếu cạnh là 4 cm thì diện tích là 16. Do đó, khi cạnh thay đổi từ 3 đến 4, phải có một thời điểm mà diện tích là 12”.

Ở đây, học sinh đã dùng một cách ngầm ẩn khái niệm “hàm số liên tục trên một khoảng” và tính chất của nó, nhưng không ý thức về việc vận dụng này.

Cơ chế đối tượng

Khái niệm có cơ chế “đối tượng”, khi mà nó là đối tượng nghiên cứu được định nghĩa, được khai thác các tính chất,...

Hình thức thể hiện của khái niệm

Y.Chevallard (1991) phân biệt ba kiểu khái niệm khác nhau:

• Khái niệm ”protomathématique” (tạm dịch là ”tiền toán học”): đó là các khái niệm có tên, không có định nghĩa. Chúng chỉ hiện diện một cách ngầm ẩn (khái niệm hàm số liên tục ở ví dụ trên).
• Khái niệm ”paramathématique” (tạm dịch là ”gần toán học”): có tên nhưng không có định nghĩa. Chúng là công cụ của toán học, nhưng không phải là đối tượng nghiên cứu (khái niệm ”tham số”,...).
• Khái niệm ”mathématique” (tạm dịch là toán học”): có tên và có định nghĩa. Chúng vừa là đối tượng vừa là công cụ của hoạt động toán học.

Việc phân biệt các kiểu khái niệm như trên chỉ là tương đối, vì nó phụ thuộc vào cấp độ, thời gian, phạm vi toán học, vào chủ thể của hoạt động,...

Các tiến trình dạy học khái niệm

Ta phân biệt hai tiến trình chủ yếu trong dạy học các khái niệm toán học:

• ”Đối tượng → Công cụ”
• ”Công cụ → Đối tượng → Công cụ”

Tiến trình Đối tượng → Công cụ

Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện trước hết như đối tượng nghiên cứu, sau đó mới được sử dụng như là công cụ tường minh để giải quyết các vấn đề.

Cần phân biệt hai con đường khác nhau của tiến trình này.

Sơ đồ hóa tiến trình dạy học khái niệm theo con đường suy diễn.

Con đường suy diễn

Bước 1: Trình bày định nghĩa khái niệm.

Bước 2: Củng cố và vận dụng khái niệm.

Giáo viên đưa ra các ví dụ, phản ví dụ, các bài tập củng cố, các vấn đề trong đó khái niệm được sử dụng như là công cụ giải quyết hay thực hiện nghiên cứu các tính chất khác của khái niệm,...

Theo con đường này, ngay từ đầu khái niệm đã xuất hiện với cơ chế đối tượng và dưới hình thức khái niệm ”mathématique”.

Con đường quy nạp

Bước 1 Giải các bài toán và phác thảo định nghĩa khái niệm

Mục đích của bước này là hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm; khám phá thuộc tính đặc trưng của khái niệm và phác thảo định nghĩa của khái niệm.

Sơ đồ hóa tiến trình dạy học khái niệm theo con đường quy nạp.

Cụ thể hơn, giáo viên tổ chức cho học sinh làm việc trên các đối tượng (mô hình, hình vẽ, đồ thị, các ví dụ hay phản ví dụ, các bài toán,...), trong đó khái niệm xuất hiện dưới hình thức ”paramathématique”. Học sinh, với sự hướng dẫn của giáo viên, sẽ khám phá dần các thuộc tính bản chất của khái niệm thể hiện trong các trường hợp cụ thể đã cho, nhờ vào các thao tác tư duy phân tích, so sánh và tổng hợp. Từ đó, bằng thao tác khái quát hóa, trừu tượng hóa, học sinh trình bày phác thảo ban đầu về định nghĩa của khái niệm.

Như vậy, học sinh được tiếp xúc với khái niệm trước khi định nghĩa nó. Qua quan sát, phân tích các trường hợp cụ thể mà hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm.

Tên của khái niệm thường do giáo viên thông báo vào một thời điểm thích hợp ngay từ đầu, hoặc sau khi nghiên cứu các trường hợp cụ thể đã cho,...

Như vậy, trong bước này, khái niệm chuyển dần từ hình thức ”paramathématique” đến hình thức ”mathématique”.

Bước 2 Trình bày định nghĩa khái niệm

Giáo viên cùng học sinh tìm cách điều chỉnh định nghĩa vừa phác thảo, sau đó trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm và các kí hiệu liên quan.

Bước 3 Củng cố và vận dụng khái niệm

Tương tự bước 2 của con đường suy diễn (từ bước này trở đi, nhận được một khái niệm ”mathématique”).

Theo con đường này khái niệm chủ yếu xuất hiện với cơ chế đối tượng.

Tiến trình Công cụ → Đối tượng → Công cụ

Tiến trình này đặt cơ sở trên hai quan niệm có nguồn gốc khoa học luận:

• Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của các đối tượng toán học, hầu hết các khái niệm đều xuất hiện trước hết trong cơ chế công cụ ngầm ẩn sau đó mới hoạt động với cơ chế đối tượng. Khi đã có vị trí chính thức của một khái niệm, nó lại đóng vai trò công cụ tường minh.

• Trong toán học, vấn đề (cần giải quyết), ý tưởng và công cụ hình thành nên ba phần chủ yếu của hoạt động toán học. Trong đó vấn đề là động cơ của nghiên cứu, công cụ là phương tiện để giải quyết vấn đề, ý tưởng là cấu nối trung gian giữa vấn đề và công cụ. Trong mối quan hệ này, vấn đề đóng vai trò mấu chốt, công cụ chính là mầm mống nảy sinh đối tượng tri thức mới.

Sơ đồ tiến trình dạy học khái niệm theo con đường: Công cụ → Đối tượng → Công cụ

Các bước chủ yếu của tiến trình:

• Bước 1: Giải các bài toán

Vấn đề là phát hiện và trình bày các bài toán cần giải quyết, khám phá ý tưởng và công cụ giải, sau đó tiến hành giải.

Khái niệm sẽ xuất hiện dưới hình thức ”protomathématique” với vai trò công cụ ngầm ẩn để giải quyết các bài toán.

• Bước 2: Trình bày định nghĩa

Nêu tên và định nghĩa của khái niệm cùng các kí hiệu có liên quan ( từ bước 2 này, khái niệm lấy hình thức ”mathématique”).

• Bước 3: Củng cố và vận dụng

Thoạt nhìn, cấu trúc của con đường quy nạp trong tiến trình ”Đối tượng Công cụ” và cấu trúc của tiến trình ”Công cụ Đối tượng Công cụ” có vẻ giống nhau. Tuy nhiên, sự khác biệt rất cơ bản. Mặc dù, đều xuất phát từ ”Giải các bài toán”, nhưng trong pha này của con đường quy nạp, khái niệm có cơ chế đối tượng và hiện diện trước hết như là một khái niệm ”paramathématique”, sau đó mới chuyển dần sang hình thức ”mathématique”. Ngược lại, ở pha này của tiến trình thứ hai, khái niệm hoạt động với cơ chế ”công cụ ngầm ẩn” và dưới hình thức ”protomathématique”.

Ví dụ minh họa

Có nhiều ví dụ minh họa cho các tiến trình đã nêu. Ở đây, chỉ trình bày các ý tưởng cơ bản nhất của hai bước đầu trong tiến trình dạy học khái niệm đạo hàm (phần nào đã định hướng trong Sách giáo khoa: Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001).

Bước 1: Giải các bài toán

Vận tốc trung bình

Nêu (nhắc lại) bài toán vật lí tương ứng và nhấn mạnh rằng $V_{{TB}}={\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}$ biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động trong khoảng thời gian giữa t₀ và t.

Câu hỏi gợi vấn đề: Đại lượng nào biểu thị độ nhanh hay chậm của chuyển động tại chính thời điểm t₀?

Bài toán vận tốc tức thời

Bài toán: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục OS theo phương trình S = f(t). Tìm đại lượng biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại chính thời điểm t₀.

Ý tưởng: nhận xét rằng nếu khoảng thời gian giữa t và t₀ càng bé thì V_TB càng biểu thị trung thực hơn độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t₀. Điều này làm nảy sinh ý tưởng ”Chuyển qua giới hạn” biểu thức xác định V_TB.

Như vậy, giới hạn $\lim _{{t\rightarrow t_{0}}}{\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}$ (1) , nếu có, chính là đại lượng biểu thị chính xác nhất độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t₀.

Công cụ: giới hạn (1) trở thành công cụ cho phép xác định độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t₀ và được gọi là ”Vận tốc tức thời” của chuyển động tại t₀ (từ đó, nêu định nghĩa của khái niệm vận tốc tức thời và giải các bài toán vận dụng).

Câu hỏi mới: Có thể sử dụng giới hạn dạng trên để giải các bài toán nào khác?

Bài toán tiếp tuyến của đường cong

Giải quyết tương tự như trường hợp bài toán trên để đi tới khẳng định giới hạn $\lim _{{t\rightarrow t_{0}}}{\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}$ (*) là công cụ cho phép xác định tiếp tuyến (bằng cách xác định hệ số góc của nó).

Trong việc giải hai bài toán đã cho, đạo hàm đã hiện diện ngầm ẩn qua giới hạn dạng (*). Tuy nhiên bản thân thuật ngữ ”Đạo hàm” và định nghĩa của nó chưa được nêu lên.

Bước 2: Trình bày định nghĩa

Giáo viên nhấn mạnh vai trò ”công cụ” của giới hạn dạng (*) trong việc giải quyết các bài toán không chỉ trong toán học, mà cả trong vật lí, trong hóa học,... Từ đó nêu tên ”Đạo hàm” và tổ chức cho học sinh phát biểu định nghĩa.

Như vậy, khái niệm đạo hàm đã nảy sinh nhờ vào thao tác khái quát hóa các giới hạn đã được vận dụng như công cụ trong các tình huống cụ thể trước.

Chú ý

Trong bước ”củng cố và vận dụng” của các tiến trình đã nêu, các pha trong đó khái niệm hoạt động với cơ chế ”đối tượng” và các pha trong đó khái niệm có cơ chế ”công cụ”, không phải luôn luôn được đề cập một cách liên tục và tuyến tính. Chúng có thể xuất hiện xen kẽ nhau, hay được đề cập ở những thời điểm và cấp độ khác nhau. Hơn nữa, ”vận dụng” cũng có chức năng củng cố-ở đây chỉ mới nói đến củng cố bước đầu.

Tài liệu tham khảo

• Tạp chí Giáo dục, số 64 (8/2003), trang 23

Bài liên quan

• Dạy học khái niệm toán học
• Dạy học khái niệm hàm số ở trường phổ thông