Giải phương trình hữu tỉ

Từ Thư viện Khoa học VLOS
(đổi hướng từ Giải Phương trình Hữu tỉ)
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Biểu thức hữu tỉ là một phân thức có một hay nhiều biến số ở tử hoặc mẫu. Phương trình hữu tỉ là phương trình có ít nhất một biểu thức hữu tỉ. Giống như các phương trình đại số thông thường, phương trình hữu tỉ được giải bằng cách thực hiện các phép toán tương tự cho cả hai vế của phương trình cho đến khi biến số được tách sang một bên của dấu bằng. Hai kỹ thuật đặc biệt là nhân chéo và tìm mẫu số chung nhỏ nhất cực kỳ hữu ích để tách biến số và giải các phương trình hữu tỉ.

Các bước

Nhân Chéo

  1. Nếu cần thiết, sắp xếp lại phương trình sao cho mỗi bên của dấu bằng có một phân số. Nhân chéo là cách dễ dàng, nhanh chóng để giải các phương trình hữu tỉ. Thật không may, phương pháp này chỉ áp dụng được cho các phương trình hữu tỉ có chứa duy nhất một biểu thức hoặc phân số hữu tỉ ở mỗi bên của dấu bằng. Nếu phương trình không ở dạng nhân chéo chính tắc, bạn có thể cần phải sử dụng các phép toán đại số để di chuyển số hạng của nó về đúng vị trí chính tắc.
    • Ví dụ, phương trình (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 có thể dễ dàng đưa về dạng nhân chéo bằng cách thêm x/(-2) vào hai vế của phương trình, ta có (x + 3)/4 = x/(-2).
      • Lưu ý rằng số thập phân và số nguyên có thể chuyển thành phân số bằng cách cho chúng mẫu số là 1. Ví dụ, (x + 3)/4 - 2.5 = 5 có thể viết lại là (x + 3)/4 = 7.5/1 để có thể nhân chéo chúng.
    • Một số phương trình hữu tỉ không thể dễ dàng rút gọn thành dạng có một phân số hoặc biểu thức hữu tỉ ở mỗi bên của dấu bằng. Trong những trường hợp này, hãy sử dụng phương pháp mẫu số chung nhỏ nhất.
  2. Nhân chéo. Nhân chéo đơn giản có nghĩa là nhân tử số của phân thức này với mẫu số của phân thức kia. Nhân tử số của phân thức bên trái dấu bằng với mẫu số của phân thức bên phải dấu bằng. Làm tương tự với tử số của phân thức bên phải và mẫu số của phân thức bên trái.
    • Nhân chéo tuân theo các nguyên lý đại số học cơ bản. Các biểu thức hữu tỉ và phân số khác có thể được đưa về dạng phi phân số bằng cách nhân chúng với mẫu của chúng. Nhân chéo về cơ bản là một bước tắt tiện dụng để nhân cả hai vế của phương trình với cả hai mẫu số của phân số. Bạn không tin ư? Hãy thử xem - bạn sẽ có kết quả tương tự sau khi giản lược.
  3. Đặt hai tích bằng nhau. Sau khi nhân chéo, bạn sẽ có hai tích. Đặt hai số hạng này bằng nhau và rút gọn để mỗi vế của phương trình ở dạng tối giản nhất.
    • Ví dụ, nếu biểu thức hữu tỉ ban đầu của bạn là (x+3)/4 = x/(-2), sau khi nhân chéo, bạn sẽ có phương trình mới là -2(x+3) = 4x. Nếu muốn, nó còn có thể được viết thành -2x - 6 = 4x.
  4. Giải phương trình tìm biến số. Sử dụng các phép toán đại số để giải phương trình tìm biến số. Hãy nhớ rằng, nếu x xuất hiện ở cả hai phía của dấu bằng, bạn sẽ cần phải cộng hoặc trừ số hạng x ở cả hai vế sao cho x chỉ còn lại ở một bên
    • Trong ví dụ này, chúng ta có thể chia cả hai vế phương trình cho -2, kết quả được x+3 = -2x. Trừ đi x ở cả hai vế ta có 3 = -3x. Cuối cùng, chia hai vế cho -3 kết quả -1 = x, hay chính là x = -1. Chúng ta đã giải xong phương trình hữu tỉ tìm x.

Tìm Mẫu số Chung Nhỏ nhất (LCD)

  1. Biết được khi nào ta nên tìm Mẫu số Chung Nhỏ nhất. Mẫu số Chung Nhỏ nhất (LCD) có thể được sử dụng để tối giản các phương trình hữu tỉ, giúp giải bài toán tìm biến số. Việc tìm LCD là một ý tưởng hay khi phương trình hữu tỉ của bạn không thể dễ dàng viết ở dạng có một (và chỉ một) phân thức hoặc biểu thức hữu tỉ ở mỗi bên của dấu bằng. Để giải các phương trình hữu tỉ có từ ba số hạng trở lên, LCD là một công cụ hữu ích. Tuy nhiên, đối với phương trình hữu tỉ hai số hạng thì nhân chéo lại nhanh hơn nhiều.
  2. Xem xét mẫu số của từng phân số. Xác định số nhỏ nhất mà đều chia hết cho mỗi mẫu số. Đây chính là LCD cho phương trình của bạn.
    • Đôi khi mẫu số chung nhỏ nhất lại rất dễ nhận biết. Ví dụ, nếu biểu thức của bạn là x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, không khó để thấy rằng số nhỏ nhất chia hết cho 3, 2 và 6 thực tế chính là 6.
    • Tuy nhiên, thông thường LCD của một phương trình hữu tỉ không dễ tìm như vậy. Trong những trường hợp này, hãy thử xem xét các bội số của mẫu số lớn hơn cho đến khi bạn tìm ra một số có tất cả các mẫu số nhỏ hơn là thừa số. Thường thì LCD là bội của hai trong số các mẫu số. Ví dụ, trong phương trình x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, LCD là 8*9 = 72.
    • Nếu một hoặc nhiều mẫu số của phân số có chứa biến số, quá trình này sẽ phức tạp hơn, nhưng không phải không thể. Trong những trường hợp này, LCD sẽ là một biểu thức (có chứa biến số) mà chia hết cho tất cả mẫu số. Ví dụ, trong phương trình 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), LCD là 3x (x-1), vì nó chia hết cho mỗi mẫu số - chia nó cho (x-1) ta được 3x, chia nó cho 3x ta được (x-1), và chia nó cho x ta được 3(x-1).
  3. Nhân mỗi phân số trong phương trình hữu tỉ với 1. Nhân từng số hạng với 1 nghe có vẻ vô nghĩa. Tuy nhiên, đây lại là một thủ thuật. 1 có thể định nghĩa là thương của bất kỳ số nào chia cho chính nó – ví dụ như 2/2 và 3/3. Phương pháp này tận dụng lợi thế của định nghĩa trên. Nhân mỗi phân số trong phương trình của bạn với 1, viết 1 là số hoặc số hạng mà nhân nó với từng mẫu số để được LCD trên chính nó.
    • Trong ví dụ cơ bản, chúng ta sẽ nhân x/3 với 2/2 để được 2x/6 và nhân 1/2 với 3/3 để được 3/6. 3x +1/6 đã có 6 là LCD, nên chúng ta có thể nhân nó với 1/1 hoặc giữ nguyên.
    • Trong ví dụ có biến số ở mẫu của phân số, quá trình sẽ rắc rối hơn một chút. Vì LCD là 3x(x-1), chúng ta nhân mỗi biểu thức hữu tỉ với số hạng mà khi nhân nó với mẫu số được 3x(x-1) trên chính nó. Chúng ta sẽ nhân 5/(x-1) với (3x)/(3x) được 5(3x)/(3x)(x-1), nhân 1/x với 3(x-1)/3(x-1) được 3(x-1)/3x(x-1), và nhân 2/(3x) với (x-1)/(x-1) được 2(x-1)/3x(x-1).
  4. Rút gọn và giải phương trình tìm x. Bây giờ mỗi số hạng trong phương trình của bạn đều có cùng mẫu số, bạn có thể loại bỏ các mẫu số ra khỏi phương trình và giải bài toán ở tử số. Sử dụng các phép toán đại số để tìm x (hoặc bất kỳ biến số nào khác).
    • Trong ví dụ về phương trình cơ bản, sau khi nhân mỗi số hạng với dạng thức thay thế của 1, chúng ta có 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Hai phân số có thể cộng với nhau nếu chúng có cùng mẫu số, vì vậy chúng ta có thể rút gọn phương trình này thành (2x + 3)/6 = (3x + 1)/6 mà không thay đổi giá trị của nó. Nhân cả hai vế với 6 để bỏ mẫu số, chúng ta được 2x + 3 = 3x + 1. Trừ đi 1 ở cả hai vế để được 2x + 2 = 3x, và trừ đi 2x ở cả hai vế để được 2 = x, hay chính là x = 2.
    • Trong ví dụ về phương trình có biến số ở mẫu, phương trình mới sau khi nhân mỗi số hạng với "1" là 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Nhân mỗi số hạng với LCD cho phép chúng ta bỏ mẫu số, ta được 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Phân tích thành 15x = 3x - 3 + 2x -2, sau đó rút gọn thành 15x = x - 5. Trừ đi x ở cả hai vế ta được 14x = -5, cuối cùng kết quả cho ra là x = -5/14.

Lời khuyên

  • Khi bạn giải xong bài toán tìm biến số, hãy kiểm tra kết quả bằng cách thay giá trị của biến số vào trong phương trình ban đầu. Nếu giá trị biến số là đúng, phương trình ban đầu của bạn sẽ được rút gọn về dạng tối giản là 1 = 1.
  • Lưu ý rằng bạn có thể viết bất kỳ đa thức nào về dạng biểu thức hữu tỉ; chỉ cần đặt nó trên mẫu số là "1." Vậy x+3 và (x+3)/1 đều có cùng giá trị, nhưng biểu thức sau được xem là biểu thức hữu tỉ vì nó được viết dưới dạng phân số.

Nguồn và Trích dẫn