Hình học 10/Chương I/§4. Hệ trục tọa độ

Lí thuyết

Trục và độ dài đại số trên trục

Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O verline{AB}= -AB</math>.

• Nếu hai điểm A và B trên trục $(O;{\vec e})$ có tọa độ lần lượt là a và b thì $\overline {AB}=b-a$ .

Hệ trục tọa độ

Trong mục này ta sẽ xây dựng khái niệm hệ trục tọa độ để xác định vị trí của điểm và của vectơ trên mặt phẳng.

Hoạt động 1	Hãy xác định vị trí quân mã trắng và quân mã đen trên bàn cờ vua (h.1.21)

Định nghĩa

Hệ trục tọa độ $(O;{\vec i},{\vec j})$ gồm hai trục $(O;{\vec i})$ và $(O;{\vec j})$ vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục $(O;{\vec i})$ được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục $(O;{\vec j})$ được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ ${\vec i}$ và ${\vec j}$ là các vectơ đơn vị trên Ox, Oy và $|{\vec i}|=|{\vec j}|=1$ . Hệ trục tọa độ $(O;{\vec i};{\vec j})$ còn được kí hiệu là Oxy (h.1.22).

Hình 1.22

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

Tọa độ của vectơ

Hoạt động 2	Hãy phân tích các vectơ ${\vec a}$ , ${\vec b}$ theo hai vectơ ${\vec i}$ và ${\vec j}$ trong hình (h.1.23) Hình 1.23

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ ${\vec u}$ tùy ý. Vẽ $\overrightarrow {OA}={\vec u}$ và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (h.1.24). Ta có $\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {OA_{1}}+\overrightarrow {OA_{2}}$ và cặp số duy nhất (x; y) để $\overrightarrow {OA_{1}}=x{\vec i},\overrightarrow {OA_{2}}=y{\vec j}$ . Như vậy ${\vec u}=x{\vec i}+y{\vec j}$ .

Hình 1.24

Cặp số duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ ${\vec u}$ đối với hệ tọa độ Oxy và viết ${\vec u}=(x;y)$ hoặc ${\vec u}(x;y)$ . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ ${\vec u}$ .

Như vậy:

${\vec u}=(x;y)\Leftrightarrow {\vec u}=x{\vec i}+y{\vec j}$

NHẬN XÉT:

Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu ${\vec u}=(x;y)$ , $\overrightarrow {u'}=(x';y')$ thì

${\vec u}=\overrightarrow {u'}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=x'\\y=y'\end{cases}}$

Như vậy, mỗi vectơ được xác định khi biết tọa độ của nó.

Tọa độ của một điểm

Hình 1.25

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM}$ đối với hệ trục tọa độ Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ đó (h.125).

Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi $\overrightarrow {OM}=(x;y)$ . Khi đó ta viết M(x; y) hoặc M = (x; y). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x_M, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y_M.

$M(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow {OM}=x{\vec i}+y{\vec j}$

Chú ý rằng, nếu $MM_{1}\perp Ox$ , $MM_{2}\perp Oy$ thì $x=\overline {OM_{1}},y=\overline {OM_{2}}$ .

Hoạt động 3	Tìm tọa độ của các điểm A, B, C trong hình 1.26. Cho ba điểm D(-2; 3), E(0; -4), F(3; 0). Hãy vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy. Hình 1.26

Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Ta có:

$\overrightarrow {AB}=(x_{B}-x_{A};\ y_{B}-y_{A})$

Hoạt động 4	Hãy chứng minh công thức trên.

Tọa độ của các vectơ ${\vec u}+{\vec v}$ , ${\vec u}-{\vec v}$ , $k{\vec u}$

Ta có các công thức sau:

Cho ${\vec u}=(u_{1};u_{2})$ , ${\vec v}=(v_{1};v_{2})$ . Khi đó: ${\vec u}+{\vec v}=(u_{1}+v_{1};u_{2}+v_{2})$ ${\vec u}-{\vec v}=(u_{1}-v_{1};u_{2}-v_{2})$ $k{\vec u}=(ku_{1};ku_{2}),\ k\in {\mathbb {R}}$

VÍ DỤ 1	Cho ${\vec a}=(1;-2)$ , ${\vec b}=(3;4)$ , ${\vec c}=(5;-1)$ . Tìm tọa độ vectơ ${\vec u}=2{\vec a}+{\vec b}-{\vec c}$ .

Lời giải	Ta có: $2{\vec a}=(2;-4)$ $2{\vec a}+{\vec b}=(5;0)$ $2{\vec a}+{\vec b}-{\vec c}=(0;1)$. Vậy ${\vec u}=(0;1)$ .

VÍ DỤ 2	Cho ${\vec a}=(1;-1)$ , ${\vec b}=(2;1)$ . Hãy phân tích vectơ ${\vec c}=(4;-1)$ theo ${\vec a}$ và ${\vec b}$ .

Lời giải	Giải sử ${\vec c}=k{\vec a}+h{\vec b}=(k+2h;-k+h)$ Ta có ${\begin{cases}\ \ k+2h=\ 4\\-k+\ h=-1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}k=2\\h=1.\end{cases}}$ Vậy ${\vec c}=2{\vec a}+{\vec b}$ .

NHẬN XÉT:

Hai vectơ ${\vec u}=(u_{1};u_{2})$ , ${\vec v}=(v_{1};v_{2})$ với ${\vec v}\neq {\vec 0}$ cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u₁ = kv₁ và u₂ = kv₂.

Tọa độ trung điểm

Cho đoạn thẳng AB có A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I(x_I; y_I) của đoạn thẳng AB là:

$x_{I}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}},\ y_{I}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}$

Hoạt động 5	Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {OG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {OA}$ , $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {OC}$ . Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B và C.

Tọa độ trọng tâm

Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C). Khi đó tọa độ trọng tâm G(x_G; y_G) của tam giác ABC được tính theo công thức:

$x_{G}={\frac {x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}},\ y_{G}={\frac {y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}}$

VÍ DỤ 3	Cho A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải	Ta có: $x_{I}={\frac {2+0}{2}}=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_{I}={\frac {0+4}{2}}=2$ $x_{G}={\frac {2+0+1}{3}}=1,\ \ \ \ y_{G}={\frac {0+4+3}{3}}={\frac {7}{3}}$.

BÀI TẬP

1. Trên hệ trục $(O;{\vec e})$ cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1, 2, 3, -2.

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục.

b) Tính độ dài đại số của $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {MN}$ . Từ đó suy ra hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {MN}$ là ngược hướng.

2. Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) ${\vec a}=(-3;0)$ và ${\vec i}=(1;0)$ là hai vectơ ngược hướng.

b) ${\vec a}=(3;4)$ và ${\vec b}=(-3;-4)$ là hai vectơ đối nhau.

c) ${\vec a}=(5;3)$ và ${\vec b}=(3;5)$ là hai vectơ đối nhau.

d) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

3. Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a) ${\vec a}=2{\vec i}$	b) ${\vec b}=-3{\vec j}$
c) ${\vec c}=3{\vec i}-4{\vec j}$	d) ${\vec d}=0,2{\vec i}+{\sqrt {3}}{\vec j}$ .

4. Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm A là tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OA}$

b) Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0.

c) Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0.

d) Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x₀; y₀).

a) Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với M qua trục Ox.

b) Tìm tọa độ của điểm B đối xứng với M qua trục Oy.

c) Tìm tọa độ của điểm C đối xứng với M qua gốc O.

6. Cho hình bình hành ABCD có A(-1;-2), B(3;2), C(4;-1). Tìm tọa độ đỉnh D.

7. Các điểm A'(-4;1), B'(2;4) và C'(2;-2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.

8. Cho ${\vec a}=(2;-2)$ , ${\vec b}=(1;4)$ . Hãy phân tích ${\vec c}=(5;0)$ theo hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ .

Xem thêm

---

<<< Hình học 10

Liên kết đến đây

• Hình học 10
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Hình học 10/Chương II/§2. Tích vô hướng của hai vectơ
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007