Hình học 10/Chương II/§2. Tích vô hướng của hai vectơ

Lí thuyết

Góc giữa hai vectơ

Hình 2-6

Cho hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ đều khác vectơ ${\vec 0}$ .

Từ một điểm O bất kì, ta vẽ các vectơ $\overrightarrow {OA}={\vec a}$ và $\overrightarrow {OB}={\vec b}$ (hình 2-6). Khi đó:

	Số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ .

CHÚ Ý:

• Góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ được kí hiệu là $({\vec a},{\vec b})$ .
• Từ định nghĩa ta có $({\vec a},{\vec b})=({\vec b},{\vec a})$
• Nếu $({\vec a},{\vec b})=90^{\circ }$ thì ta nói rằng hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là ${\vec a}\perp {\vec b}$ .
• Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ là vectơ-không thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).
• Số đo của góc AOB là không đổi, dù ta có chọn điểm O ở các vị trí khác nhau. Do đó, khi xác định góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ ta thường chọn điểm O trùng với điểm gốc của vectơ ${\vec a}$ hoặc vectơ ${\vec b}$ . Và theo định nghĩa ta có:

$(\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB})=\angle {AOB}$

Hoạt động 1	Vẽ và tính số đo góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ . Khi: a) Hai vectơ đó cùng hướng. b) Hai vectơ đó ngược hướng.

VÍ DỤ 1

Hình 2-7 Cho tam giác ABC vuông tại A và có $B=60^{\circ }$ (hình 2-7). Vẽ và tính các góc: a) $(\overrightarrow {BA},\overrightarrow {BC});$      b) $(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC});$ c) $(\overrightarrow {CA},\overrightarrow {CB});$      d) $(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BC});$ e) $(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {CB});$      f) $(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BA}).$

Lời giải

a) $(\overrightarrow {BA},\overrightarrow {BC})=\angle ABC=60^{\circ };$ b) $(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC})=(\overrightarrow {BD},\overrightarrow {BC})=\angle CBD=120^{\circ };$ c) $(\overrightarrow {CA},\overrightarrow {CB})=\angle ACB=30^{\circ };$ d) $(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BC})=(\overrightarrow {BE},\overrightarrow {BC})=\angle CBE=30^{\circ };$ e) $(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {CB})=(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AF})=\angle CAF=120^{\circ };$ f) $(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BA})=(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AG})=\angle CAG=90^{\circ }.$

Tích vô hướng của hai vectơ

Trong Vật lí, ta có khái niệm "công sinh bởi một lực".

Giả sử một lực không đổi $\overrightarrow {F}$ tác dụng lên một vật làm cho nó di chuyển từ điểm O đến O' (hình vẽ).

Khi đó lực $\overrightarrow {F}$ đã sinh ra một công A tính theo công thức:

$A=|\overrightarrow {F}|.|\overrightarrow {OO'}|.\cos \varphi$

trong đó:

• $|\overrightarrow {F}|$ là cường độ của lực $\overrightarrow {F}$ tính bằng Niutơn (kí hiệu là N);
• $|\overrightarrow {OO'}|$ là độ dài vectơ $\overrightarrow {OO'}$ tính bằng mét (kí hiệu là m);
• $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {F}$ và $\overrightarrow {OO'}$ .
• $A\,$ là công do lực $\overrightarrow {F}$ sinh ra, được tính bằng Jun (kí hiệu là J).

Trong Toán học, giá trị của biểu thức $A\,$ (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {F}$ và $\overrightarrow {OO'}$ . Tổng quát, ta có định nghĩa sau về tích vô hướng của hai vectơ bất kì ${\vec a}$ và ${\vec b}$ .

	Tích vô hướng của hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ là một số, kí hiệu là ${\vec a}.{\vec b}$ , được xác định bởi công thức: ${\vec a}.{\vec b}=|{\vec a}|.|{\vec b}|.\cos({\vec a},{\vec b})$       (1)

VÍ DỤ 2	Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a và $B=60^{\circ }$ (hình 2-7). Tính các tích vô hướng sau đây: $\overrightarrow {BA}.\overrightarrow {BC};\ \ \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC};\ \ \overrightarrow {CA}.\overrightarrow {CB};$ $\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BC};\ \ \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {CB};\ \ \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BA}.$

Lời giải

Hình 2-7 Theo định nghĩa, ta có: $\overrightarrow {BA}.\overrightarrow {BC}={\frac {a}{2}}.a.\cos 60^{\circ }={\frac 14}a^{2};$ $\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC}={\frac {a}{2}}.a.\cos 120^{\circ }=-{\frac 14}a^{2};$ $\overrightarrow {CA}.\overrightarrow {CB}=a{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}.a.\cos 30^{\circ }=a^{2}{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}.{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}={\frac {3}{4}}a^{2};$ $\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BC}=a{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}.a.\cos 30^{\circ }={\frac {3}{2}}a^{2};$ $\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {CB}=a{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}.a.\cos 120^{\circ }=-{\frac {{\sqrt {3}}}{4}}a^{2};$ $\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BA}=a{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}.{\frac {1}{2}}a.\cos 90^{\circ }=0.$

Hoạt động 2	Cho hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ đều khác vectơ ${\vec 0}$ . Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ: a) Bằng 0? b) Có giá trị dương? c) Có giá trị âm?

CHÚ Ý

Với ${\vec a}$ và ${\vec b}$ khác vectơ ${\vec 0}$ , ta có:

${\vec a}.{\vec b}=0\Leftrightarrow {\vec a}\perp {\vec b}.$

Hai vectơ (khác vectơ không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Bình phương vô hướng

Khi ${\vec a}={\vec b}$ thì công thức (1) trở thành:

${\vec a}.{\vec a}=|{\vec a}|.|{\vec a}|.\cos 0^{\circ }=|{\vec a}|^{2}$

Người ta kí hiệu tích vô hướng ${\vec a}.{\vec a}$ là $({\vec a})^{2}$ hay đơn giản hơn là ${\vec a}^{2}$ và gọi là bình phương vô hướng của vectơ ${\vec a}$ .

Như vậy, ta có:

${\vec a}^{2}=|{\vec a}|.|{\vec a}|.\cos 0^{\circ }=|{\vec a}|^{2}$

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Hoạt động 3	Đẳng thức $({\vec a}.{\vec b})^{2}={\vec a}^{2}.{\vec b}^{2}$ có đúng với mọi vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ không? Trong trường hợp nào đẳng thức đó đúng?

Tính chất của tích vô hướng

Với hai số thực a và b, ta có ab = ba; a(b + c) = ab + ac. Vậy với hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ , ta có các tính chất tương tự hay không?

	Với ba vectơ ${\vec a},{\vec b},{\vec c}$ tùy ý và mọi số thực k, ta có: ${\vec a}.{\vec b}={\vec b}.{\vec a}$     (Tính chất giao hoán) $(k{\vec a}).{\vec b}={\vec a}.(k{\vec b})=k({\vec a}.{\vec b})$ ${\vec a}.({\vec b}+{\vec c})={\vec a}.{\vec b}+{\vec a}.{\vec c}$     (Tính chất phân phối đối với phép cộng)

Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất 1, 2. Tính chất 3 được thừa nhận không chứng minh.

Dùng các tính chất của tích vô hướng, ta chứng minh được các hệ thức sau:

$({\vec a}+{\vec b})^{2}={\vec a}^{2}+2.{\vec a}.{\vec b}+{\vec b}^{2}$	(1)
$({\vec a}-{\vec b})^{2}={\vec a}^{2}-2.{\vec a}.{\vec b}+{\vec b}^{2}$	(2)
$({\vec a}+{\vec b}).({\vec a}-{\vec b})={\vec a}^{2}-{\vec b}^{2}=|{\vec a}|^{2}-|{\vec b}|^{2}$	(3)

Chẳng hạn, hệ thức (3) được chứng minh như sau. Theo tính chất phân phối, ta có:

$({\vec a}+{\vec b}).({\vec a}-{\vec b})$	$={\vec a}.({\vec a}-{\vec b})+{\vec b}.({\vec a}-{\vec b})$
	$={\vec a}^{2}-{\vec a}.{\vec b}+{\vec b}.{\vec a}-{\vec b}^{2}$
	$={\vec a}^{2}-{\vec b}^{2}=|{\vec a}|^{2}-|{\vec b}|^{2}$

Hoạt động 4	Hãy chứng minh các hệ thức (1) và (2).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng toạ độ $(O;{\vec i},{\vec j})$ , cho hai vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2}),{\vec b}=(b_{1};b_{2})$ .

Khi đó, ta có công thức:

${\vec a}.{\vec b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}$

Thật vậy:

1. Vì ${\vec a}=(a_{1};a_{2}),\ {\vec b}=(b_{1};b_{2})$ nên ${\vec a}=a_{1}{\vec i}+a_{2}{\vec j},\ {\vec b}=b_{1}{\vec i}+b_{2}{\vec j}$ .
2. Từ (1), suy ra:

   ${\vec a}.{\vec b}=(a_{1}{\vec i}+a_{2}{\vec j}).(b_{1}{\vec i}+b_{2}{\vec j})$.

   $=a_{1}b_{1}.{\vec i}^{2}+a_{2}b_{2}.{\vec j}^{2}+a_{1}b_{2}.{\vec i}.{\vec j}+a_{2}b_{1}.{\vec j}.{\vec i}$

3. Vì

   ${\begin{cases}|{\vec i}|=|{\vec j}|=1\\{\vec i}\perp {\vec j}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\vec i}^{2}=|{\vec i}|^{2}=1,\ {\vec j}^{2}=|{\vec j}|^{2}=1\\{\vec i}.{\vec j}={\vec j}.{\vec i}=0\end{cases}}$

4. Từ (2) và (3) suy ra: ${\vec a}.{\vec b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}$ (đpcm).

NHẬN XÉT

Hai vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2})$ và ${\vec b}=(b_{1};b_{2})$ khác vectơ ${\vec 0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}=0$

${\vec a}\perp {\vec b}\Leftrightarrow a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}=0$

Hoạt động 5	Cho hai vectơ ${\vec a}=(1;2)$ và ${\vec b}=(-1;m)$ . Tìm m để hai đó vuông góc với nhau?

Ứng dụng

Từ biểu thức tọa độ của tích vô hướng, ta suy ra một số hệ thức quan trọng sau, cho phép ta tính được: độ dài và góc của hai vectơ khi biết tọa độ của chúng và tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của hai điểm đó.

Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2})$ được tính theo công thức:

$|{\vec a}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$

Thật vậy, ta có: $|{\vec a}|^{2}={\vec a}^{2}={\vec a}.{\vec a}=a_{1}.a_{1}+a_{2}.a_{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$

Do đó $|{\vec a}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$ (đpcm).

Góc giữa hai vectơ

Với hai vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2})$ và ${\vec b}=(b_{1};b_{2})$ khác vectơ ${\vec 0}$ , từ định nghĩa của tích vô hướng và hệ thức độ dài trên, ta suy ra góc giữa hai vectơ được xác định bởi hệ thức sau:

$\cos({\vec a},{\vec b})={\frac {{\vec a}.{\vec b}}{|{\vec a}|.|{\vec b}|}}={\frac {a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}.{\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}}}$

VÍ DỤ 3	Cho hai vectơ $\overrightarrow {OM}=(-2;-1)$ và $\overrightarrow {ON}=(3;-1)$ . Tính góc $\angle {MON}$ .

Lời giải

Áp dụng hệ thức góc giữa hai vectơ ta có: $\cos(\overrightarrow {OM},\overrightarrow {ON})={\frac {\overrightarrow {OM}.\overrightarrow {ON}}{|\overrightarrow {OM}|.|\overrightarrow {ON}|}}={\frac {-2.3+(-1).(-1)}{{\sqrt {(-2)^{2}+(-1)^{2}}}.{\sqrt {3^{2}+(-1)^{2}}}}}$ $={\frac {-6+1}{{\sqrt {5}}.{\sqrt {10}}}}=-{\frac {{\sqrt {2}}}{2}}.$ Theo chú ý của định nghĩa góc giữa hai vectơ ta có: $\angle {MON}=(\overrightarrow {OM},\overrightarrow {ON})=135^{\circ }.$

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_{A};y_{A})$ và $B(x_{B};y_{B})$ được tính theo công thức sau:

$AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$

Thật vậy

1. Vì $A=(x_{A};y_{A})$ và $B=(x_{B};y_{B})$ nên $\overrightarrow {AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$
2. Từ (1) suy ra $|\overrightarrow {AB}|={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$
3. Mặt khác $AB=|\overrightarrow {AB}|$ , kết hợp với (2) ta có $AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$ (đpcm)

Hoạt động 6	Cho hai điểm $M(-2;2)$ và $N(4;1)$ . a) Tính khoảng cách: MO, NO và MN. b) Tìm tọa độ của điểm P nằm trên trục Ox sao cho P cách đều hai điểm M, N.

BÀI TẬP

Góc giữa hai vectơ

1) Cho tam giác ABC. Tổng $(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC})+(\overrightarrow {BC},\overrightarrow {CA})+(\overrightarrow {CA},\overrightarrow {AB})$ có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 90°; 180°; 270° và 360°?

2) Cho hình vuông ABCD. Tính: $\cos(\overrightarrow {AC};\overrightarrow {BA}),\sin(\overrightarrow {AC};\overrightarrow {BD}),\cos(\overrightarrow {AB};\overrightarrow {CD}).\,$

3) Cho tam giác ABC vuông ở A và B = 30°. Tính giá trị của biểu thức sau:

a) $\cos(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC})+\sin(\overrightarrow {BA},\overrightarrow {BC})+\tan {\frac {(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {CB})}{2}};$

b) $\sin(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC})+\cos(\overrightarrow {BC},\overrightarrow {BA})+\cos(\overrightarrow {CA},\overrightarrow {BA}).$

Tích vô hướng của hai vectơ

4) Cho ba điểm phân biệt O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {OA}.\overrightarrow {OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB.

b) Điểm O nằm trong đoạn AB.

5) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {CB}.$

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

6) Trong mặt phẳng tọa độ, cho ${\vec u}={\frac 12}{\vec i}-5{\vec j}$ và ${\vec v}=m{\vec i}-4{\vec j}.$

a) Tìm các giá trị của m để ${\vec u}\perp {\vec v};$

b) Tìm các giá trị của m để $|{\vec u}|=|{\vec v}|.$

7) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2;1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.

8) Trên mặt phẳng Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ trong các trường hợp sau:

a) ${\vec a}=(2;-3),\ {\vec b}=(6;4);$

b) ${\vec a}=(3;2),\ {\vec b}=(5;-1);$

c) ${\vec a}=(-2;-2{\sqrt {3}}),\ {\vec b}=(3;{\sqrt {3}}).$

Vận dụng tổng hợp

9) Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;3), B(4;2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

10) Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(-4;1), B(2;4) và C(2;-2).

a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm I, G, H.

11) Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A = (1;1), B = (2;4) và C = (10;-2).

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow {BA}.\overrightarrow {BC}$

c) Tính $\cos B$ và $\cos C.$

12) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7;-3), B(8;4), C(1;5) và D(0;-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

13) Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {DA}.\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {DB}.\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {DC}.\overrightarrow {AB}=0$

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao của một tam giác đồng quy".

14) Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {BC}.\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CA}.\overrightarrow {BE}+\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {CF}=0$

15) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là:

$\overrightarrow {BA}.\overrightarrow {BC}=AB^{2}.$

16) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.

a) Chứng minh $\overrightarrow {AI}.\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AI}.\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BI}.\overrightarrow {BN}=\overrightarrow {BI}.\overrightarrow {BA}$

b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính $\overrightarrow {AI}.\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {BI}.\overrightarrow {BN}$ theo R.

Tài liệu tham khảo

• Sách in:
  • Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 38 và 41.
  • Hình học 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 44.
  • Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001, trang 38.
  • Tài liệu giáo khoa thí điểm, Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 1996, trang 30.

---

<<< Hình học 10

Liên kết đến đây

• Hình học 10
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007
• Hình học 10/Chương II/§3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác