
Sách:Điện từ sinh học/Mô hình nguồn trường
Chương 8: Các mô hình nguồn trường
Mục lục
[ẩn]
Giới thiệu
Trong chương này, chúng ta sẽ phát triển các hình thức biểu diễn của các nguồn điện trong cơ sở điện sinh học. Các nguồn này được phát sinh bởi các dòng điện xuyên qua màng tế bào của các tế bào kích thích, các tế bào này có thể là các tế bào thần kinh hay các tế bào cơ. Chúng ta xét các mô dễ bị kích thích bằng những mô hình rất đơn giản - chủ yếu là các sợi trục hình trụ đơn. Nhưng những kết quả hữu ích thu được trong các chương tiếp theo khi xét toàn bộ các cơ quan, mà chúng có thể được xem như là tập hợp của rất nhiều các phần tử ở trên. Chúng ta coi các nguồn điện sinh học được mô tả như một phân bố bề mặt hay khối của 2 loại thành phần nguồn, đó là đơn cực và lưỡng cực. Vì nền tảng quan trọng của nguốn đơn cực và lưỡng cực, trước tiên chúng ta bắt đầu với sự mô tả của các trường được hình thành bởi mỗi thành phần nguồn trên.
Các mô hình nguồn
Đơn cực
Điều kiện đầu:
Nguồn: Đơn cực trong vùng cố định
Bộ dẫn: Vô hạn, thuần nhất
Cấu hình nguồn đơn giản nhấtlà nguồn điểm hay đơn cực. Nếu chúng ta coi một nguồn dòng điểm của đại lượng Io nằm trong một môi trường dẫn điện đồng chất vô hạn và có độ dẫn σ, thì khi đó các dòng chảy phải đồng đều và hướng tỏa ra. Do đó, đối với một mặt cầu đồng tâm có bán kính bất kì r, mật độ dòng J ngang qua bề mặt này phải đồng đều và sẽ bằng Io chia đều trên diện tích bề mặt. Đó là:

Bởi vì dòng luôn cùng phương với bán kính nên mật độ dòng được biểu diễn dưới dạng vector là:

Trong
đó
là
vector
đơn
vị
theo
hướng
bán
kính
r,
có
gốc
tại
nguồn
điểm.
Liên
quan
đến
trường
dòng
điện
được
xác
định
bằng
công
thức
8.2
là
một
trường
điện
thế
vô
hướng
Φ.
Bởi
vì
các
dòng
điện
hướng
tâm
tại
mọi
vị
trí
nên
tại
mỗi
vị
trí
không
có
sự
biến
thiên
của
điện
thế
dọc
theo
phương
nằm
ngang,
như
vậy
điện
thế
tại
những
điểm
cùng
cách
điểm
nguồn
một
bán
kính
r
là
bằng
nhau.
Những
mặt
đẳng
thế
là
các
mặt
cầu
đồng
tâm
xung
quanh
nguồn
điểm,
điện
thế
giảm
dần
theo
sự
tăng
lên
của
giá
trị
r.
Sự
biến
thiên
của
điện
thế
vô
hướng
tạo
ra
điện
trường
:

Theo định luật Ohm,ta có:

Áp dụng công thức 8.3 và 8.4 vào công thức 8.2 ta được:

Để
thỏa
mãn
công
thức
8.5,
chỉ
có
thành
phần
theo
phương
của
r
của
có
thể
đáp
ứng.
Ta
có:

Lấy tích phân theo r ta được:

Theo công thức trên ta thấy, Φ là hằng số trên bề mặt khi mà r không đổi. Giá trị điện thế tỉ lệ nghịch với bán kính (với gốc tại nguồn đơn cực) và khi r tiến tới ∞ thì điện thế bằng 0.
Không
phải
luôn
luôn
thuận
tiện
nếu
đặt
gốc
tọa
độ
tại
nguồn
điểm
(ví
dụ
như
xét
nhiều
nguồn).
Trong
trường
hợp
này,
việc
cần
làm
là
phân
biệt
sự
kết
hợp
của
các
nguồn
điểm,
chúng
ta
làm
điều
này
bằng
cách
sử
dụng
các
điểm
trường.
Khi
đó
trong
công
thức
8.7,
r
được
cho
bởi:

Trong đó mỗi nguồn đơn cực được đinh vị tại (x,y,z) trong khi điểm trường tại (x’,y’,z’).
Trường
được
mô
tả
bởi
công
thức
8.7
cho
một
điểm
nguồn
dòng
là
đồng
nhất
với
trường
tĩnh
điện
của
một
điện
tích,
thay
thế
Io
bởi
Qo
(đại
lượng
điện
tích),
σ
thay
thế
bởi
ε
(hằng
số
điện
môi)
và
thay
thế
bởi
.
Kết
quả
này
không
có
gì
đáng
ngạc
nhiên
bởi
vì
nếu
những
sự
chuyển
đổi
trên
được
thực
hiện
thì
những
công
thức
áp
dụng
cho
dòng
điện
chuyển
đổi
ăn
khớp
với
những
công
thức
trong
tĩnh
điện.
Những
giải
thích
cho
các
vấn
đề
trong
tĩnh
điện
có
thể
được
chuyển
đổi
để
giải
thích
cho
các
vấn
đề
tương
đương
cho
dòng
điện.
Những
điều
đã
nêu
ở
trên
là
một
ví
dụ
của
tính
đối
ngẫu.
Nó
có
thể
là
một
công
cụ
hữu
hiệu
khi
đã
có
một
tài
liệu
tổng
quát
tồn
tại.
Đôi
khi
nó
có
thể
có
những
hạn
chế.
Ví
dụ,
một
chất
có
độ
dẫn
suất
bằng
0
nhưng
hằng
số
điện
môi
có
thể
không
bao
giờ
nhỏ
hơn
hằng
số
điện
môi
của
chân
không.
Ngoài
ra,
một
hệ
có
thể
thể
có
một
điện
tích
điểm,
còn
có
hệ
thậm
chí
không
có
một
nguồn
điểm
vật
lý.
Người
đọc
có
thể
ngạc
nhiên
vì
sao
lại
có
một
sự
quan
tâm
đối
với
một
điểm
nguồn
dòng
khi
mà
nó
không
có
ý
nghĩa
thực
tế.
Một
lý
do
đó
là
trong
một
khu
vực
có
giới
hạn,
các
trường
có
thể
hoạt
động
như
khi
chúng
bắt
nguồn
từ
một
nguồn
(nguồn
này
được
gọi
là
nguồn
tương
đương,
tức
là
không
có
thật).
Thứ
hai,
một
hệ
thực
tế
có
2
điểm
nguồn
của
2
cực
đối
nhau,
trong
trường
hợp
này,
trường
được
quan
tâm
có
thể
được
tìm
thấy
bằng
cách
xếp
chồng
các
điểm
nguồn
trường.
Trường
hợp
này
sẽ
được
xem
xét
trong
phần
sau.
Lưỡng cực
Điều kiện đầu:
Nguồn: Lưỡng cực trong miền cố định
Bộ dẫn: Vô hạn, đồng chất
Trong
điện
sinh
học
có
thể
không
bao
giờ
tồn
tại
nguồn
dòng
đơn
cực
vì
sự
bảo
toàn
điện
tích.
Nhưng
việc
kết
hợp
nguồn
đơn
cực
âm
và
dương
là
có
thể
thực
hiện
được
nếu
như
tổng
của
chúng
có
giá
trị
bằng
0.
Cách
kết
hợp
đơn
giản
nhất
và
phản
ánh
bản
chất
của
điện
sinh
học,
đó
là
nguồn
lưỡng
cực.
Nguồn
lưỡng
cực
gồm
2
đơn
cực
trái
dấu
nhưng
bằng
nhau
về
trị
số
Io
được
tách
biệt
bới
một
khoảng
cách
rất
nhỏ
d.
Thật
ra,
định
nghĩa
chặt
chẽ
đòi
hỏi
d→0,Io→0
và
p=Iod
là
hữu
hạn.Đại
lượng
p
là
moment
lưỡng
cực
hay
đại
lượng
lưỡng
cực.Lưỡng
cực
là
một
vector
có
hướng
từ
nguồn
điểm
âm
đến
nguồn
điểm
dương.
Thật
ra,
nếu
là
chuyển
vị
từ
điểm
nguồn
âm
sang
điểm
nguồn
dương
và
là
một
vector
đơn
vị
theo
phương
đó,
ta
có:

Một
lưỡng
cực
có
hướng
bất
kì
được
minh
họa
trong
hình
8.1,
ở
đó
điểm
gốc
hệ
trục
tọa
độ
được
đặt
tại
đơn
cực
âm.
Nếu
đơn
cực
dương
cũng
ở
điểm
gốc
thì
trường
sẽ
bằng
0.
Bởi
vậy,
trường
xuất
hiện
từ
sự
chuyển
dời
của
đơn
cực
dương
từ
điểm
gốc
tới
vị
trí
thực
của
nó
(như
trong
hình
8.1),
đó
là
trường
lưỡng
cực.
Nhưng
điều
này
có
thể
được
tìm
ra
bằng
cách
kiểm
tra
biểu
thức
điện
thế
của
đơn
cực
dương
và
đánh
giá
sự
thay
đổi
điện
thế
gây
ra
bởi
sự
dịch
chuyển
đơn
cực
từ
điểm
gốc
tới
vị
trí
lưỡng
cực
của
nó.
Và
điều
này
có
thể
được
tính
xấp
xỉ
bằng
cách
lấy
đạo
hàm
bậc
nhất
của
trường
điện
thế
đơn
cực
theo
hệ
tọa
độ
nguồn
được
xem
xét
tại
điểm
gốc
(như
trong
khai
triển
chuỗi
Taylor).
Cụ
thể,
để
tìm
được
trường
lưỡng
cực,
lấy
tích
phân
của
Φ
(như
cho
bởi
công
thức
8.7)
theo
hướng
(
tích
phân
có
hướng)
và
sau
đó
nhân
với
độ
lớn
của
d.
Như
vậy
thể
hiện
trường
lưỡng
cực
Φd
và
căn
cứ
vào
công
thức
8.7,ta
có:


Hình
8.1.
Lưỡng
cực
của
–Io
tại
gốc
và
nguồn
Io
tại
vector
bán
kính
,
trong
đó
d→0.
Ngoài
ra
còn
minh
họa
một
điểm
trường
tại
vector
bán
kính
và
góc
lệch
θ.
Đạo
hàm
có
hướng
trong
công
thức
8.10
bằng
với
thành
phần
của
gradient
theo
phương
:

Và cuối cùng, từ Iod=p, ta có:

Độ chính xác của công thức 8.10 được nâng cao khi d→0, và thực tế, p thường được xác định trong giới hạn là d→0, I→∞, và p=Iod. Do đó, công thức 8.12 là một biểu thức chặt chẽ cho một lưỡng cực được xác định bằng toán học.
Nếu các trục tọa độ được định hướng sao cho lưỡng cực hướng dọc theo trục z và lưỡng cực được đặt tại gốc, sau đó mang phép toán gradient trong công thức 8.12 ra ngoài:

Trong
đó
là
hướng
từ
điểm
nguồn
tới
điểm
trường,
chúng
ta
thu
được
trường
cho
1
lưỡng
cực:

và:

Trong công thức 8.15, góc lệch θ là góc lệch có định hướng. Các phương trình sau có thể được xác thực bằng cách chú ý rằng phép toán gradient (trong công thức 8.13) thực hiên trên hệ tọa độ nguồn trong công thức 8.8.
Một
sự
so
sánh
của
trường
lưỡng
cực
với
trường
đơn
cực,
bằng
sự
đối
chiếu
công
thức
8.15
với
công
thức
8.7,
thấy
rằng
trường
lưỡng
cực
thay
đổi
theo
(1/r2)
trong
khi
trường
đơn
cực
biến
đổi
theo
(1/r).
Ngoài
ra,
các
mặt
đẳng
thế
của
trường
lưỡng
cực
không
phải
là
những
mặt
cầu
đồng
tâm,
đúng
hơn
là
nó
phức
tạp
hơn
bới
có
nhân
tử
cosθ.
Điện
thế
lưỡng
cực
tối
đa
cho
một
giá
trị
của
r
nằm
trên
trục
có
cực
(trục
z).
Mô hình sợi đơn độc lập: Nguồn dòng màng (Transmembrane Current Source)
Điều kiện đầu:
Nguồn: Sợi hoạt động có chiều dài hữu hạn hoặc vô hạn với tiết diện tròn.
Bộ dẫn: Vô hạn, đồng nhất.
Hình 8.2 minh họa một sợi dây hoạt động dài, mảnh nằm trong môi trường dẫn điện đồng chất với độ dẫn σo và kích thước không giới hạn. Nếu chúng ta giả sử có một xung thần kinh lan truyền, thì những dòng điện hoạt động được kết hợp với một phân bố dòng màng im(x). Do sợi rất mỏng và có trục đối xứng, chúng ta có thể mô tả dòng màng như một hàm của biến x. Như vậy nguồn mô tả là nguồn một chiều. Đơn vị của im(x) là dòng cho mỗi đơn vị chiều dài. Một phần nhỏ của dòng im(x)dx có thể được xem như một nguồn dòng điểm (nguồn đơn cực) trong môi trường ngoại bào. Vì vậy, từ công thức 8.7, ta có:

Trong đó r được cho bởi công thức 8.8, Φo là trường điện thế và σo là độ dẫn phía bên ngoài sợi (độ dẫn ngoại bào). Lấy tích phân toàn bộ sợi dây (theo x) cho ta trường tổng như sau:

Ở đây nguồn được giả sử nằm trên trục của sợi, tại tọa độ (x,0,0) và điểm trường có tọa độ (x’,y’,z’).
Chúng
ta
có
thể
sử
dụng
công
thức
suy
ra
trong
chương
3,
phần
3.4.2
cho
sợi
trong
hình
8.2.
Chúng
ta
có
thể
coi
gần
đúng
rằng
điện
trở
của
môi
trường
giữa
các
điểm
ro≈0
và
tương
tự
như
vậy
điện
thế
trong
môi
trường
giữa
các
điểm
Φo≈0.
Sử
dụng
những
sự
xấp
xỉ
trên,
công
thức
3.42
và
chú
ý
rằng
Φi-Φo≈Vm,
ta
được:


Công thức 8.17 có thể được viết như sau:

Trong công thức 8.19, r được cho bởi:

Sử dụng biểu thức điện trở của hình trụ với ri=1/(πa2σi) căn cứ trên một độ dẫn σi bên trong tế bào, chuyển đổi công thức 8.19 thành:

Trong đó a = bán kính sợi.
Người đọc sẽ chú ý rằng ban đầu Φo được đưa về 0 và bây giờ lại tìm thấy một kết quả cho Φo, và tất nhiên, nó khác 0. Sự giải thích của nghịch lý này là do Φo được bỏ qua khi dẫn dắt công thức 8.18 trong sự so sánh với Φi. Do nhỏ hơn khoảng 100 lần nên Φo có thể được bỏ qua. Người đọc quan tâm có thể theo dõi vấn đề này bằng cách thay thế giá trị Φo tìm được trong công thức 8.21 vào trong dạng đầy đủ của công thức 8.18, đó là:

Và sau đó tính toán lại Φo. Việc làm này sẽ cho ra một Φo chính xác hơn. Thực tế, phương pháp này có thể được lặp đi lặp lại đến khi đạt được kết quả mong muốn. Một phương pháp của Henriquez và Plonsey (1988) có thể tìm kết quả rất nhanh, chứng minh được rằng phép tính gần đúng (cho bởi công thức 8.21) là hoàn toàn thỏa đáng.
Công
thức
8.21
có
thể
được
kết
hợp
bởi
nhiều
phần.
Ở
vị
trí
giới
hạn
của
không
gian
hoạt
động,
các
điều
kiện
nghỉ
tồn
tại,
=0
và
các
lớp
kết
hợp
được
nhặt
ra
ngoài.
Vì
vậy:

Hoặc:

Ở
đây
là
vector
đơn
vị
trong
trục
x.
Vì hai công thức 8.23 và 8.21 có cùng dạng toán học nên chúng nhất thiết phải đánh giá giống nhau về trường Φo. Trong công thức 8.21 thể hiện nguồn là mật độ dòng nằm trên trục, trong khi đó trong công thức 8.23 thể hiện nguồn là một lưỡng cực cũng nằm dọc trục. Tất nhiên, đó là 2 nguồn tương đương. Nguồn nào được thích sử dụng hơn phụ thuộc vào dạng của Vm(x), điều này sẽ được nói rõ hơn trong các phần sau.
Nhận xét về nguồn dòng màng
Công thức 8.17 mô tả một trường trong khối ngoại bào hình thành từ các thành phần dòng màng. Nó giới hạn cho sự đánh giá về điện thế bên ngoài tế bào và không phù hợp cho sự mô tả các trường bên trong nội bào.
Có
2
phép
tính
gần
đúng
làm
cơ
sở
cho
công
thức
8.17
và
cần
phải
nhớ.
Đầu
tiên,
mỗi
thành
phần
dòng
được
xem
gần
đúng
như
một
nguồn
điểm,
nhưng
dòng
thực
tế
xuất
hiện
từ
bề
mặt
màng
không
chỉ
là
một
điểm
(xem
hình
8.2),
và
một
bộ
phận
trục
có
thể
được
coi
như
một
“nguồn
vòng”.
Đối
với
các
sợi
mảnh
thì
sự
đơn
giản
hóa
này
có
thể
chấp
nhận
được.
Thứ
hai,
biểu
thức
trường
trong
công
thức
8.17
là
chính
xác
cho
một
trường
trong
một
không
gian
vô
hạn,
trong
khi
trên
thực
tế
không
gian
lại
bị
giới
hạn
bởi
chính
sợi
đó.
Phép
tính
gần
đúng
này
là
hoàn
toàn
thỏa
đáng.
Tuy
nhiên,
môi
trường
ngoại
bào
tự
bản
thân
nó
giới
hạn,
vì
vậy
có
lẽ
không
thể
bỏ
qua
sợi
dây
và
vấn
đề
giá
trị
giới
hạn
thực
tế
phải
được
giải
quyết
(Rosenfalck,1969).
Không
gian
ngoại
bào
vô
hạn
là
quan
trọng
để
đảm
bảo
không
chỉ
sử
dụng
trường
nguồn
điểm
“không
gian
tự
do”
trong
công
thức
8.7
nhưng
ngoài
ra
biểu
thức
dòng
dẫn
trong
công
thức
8.18
là
cơ
sở
cho
việc
giả
thiết
rằng
r0≈0
và
Φi-Φo≈Vm.
Đối
với
sợi
dây
đơn
bán
kính
nhỏ,
công
thức
8.21
và
8.23
được
đưa
ra
để
hoàn
chỉnh
hơn
(Trayanova,Henriquez
và
Plonsey,1990).
Mật độ nguồn khối tương đương
Điều kiện đầu:
Nguồn: Sợi hoạt động hữu hạn hoặc vô hạn với tiết diện tròn
Bộ dẫn: vô hạn, thuần nhất
Mật độ nguồn đơn cực tương đương
Sự
giải
thích
vật
lý
cho
công
thức
8.21
có
thể
được
đưa
ra
dựa
trên
sự
mô
tả
trường
của
một
nguồn
đơn
cực
cho
bởi
công
thức
8.7.
Chúng
ta
chú
ý
rằng
thể
hiện
như
một
nguồn
dòng
điểm.
Do
vậy,
là
giá
trị
của
dòng
trên
mỗi
đơn
vị
chiều
dài.
Nói
chung,
đây
là
một
hàm
của
x,
sự
biến
thiên
theo
x
tạo
nên
một
sự
mô
tả
của
mật
độ
nguồn.
Vì
vậy,
nguồn
được
tạo
thành
như
nằm
trên
trục,
nó
có
thể
giải
thích
như
một
mật
độ
nguồn
dải
(line
source
density).
Đây
là
một
khái
niệm
định
lượng
cho
các
điểm
nguồn
của
trường
dẫn
khối
(xuất
phát
từ
điện
thế
hoạt
động
mô
tả
bằng
Vm(x)).
Có thể tập hợp các số hạng trong công thức 8.21 như sau:

Và
bây
giờ
là
giá
trị
của
một
mật
độ
nguồn
khối
(mật
độ
nguồn
dòng)
bởi
vì
πa2dx
là
một
phần
tử
khối.
Thực
tế,
sự
giải
thích
của
công
thức
8.24
là
nguồn
được
điền
đầy
vào
khối
bên
trong
sợi
dây,
ở
đó
mỗi
phần
tử
nguồn
là
một
vành
tròn
(disk)
của
khối:
πa2dx.
Mật
độ
nguồn
là
đồng
nhất
qua
bất
kì
tiết
diện
ngang
nào
của
vành
tròn
(disk).
Tất
nhiên,
nguồn
như
trên
là
không
có
thật.
Các
nguồn
này
được
xác
định
như
là
các
nguồn
tương
đương.
Tức
là,
chúng
tương
đương
với
các
nguồn
thực,
việc
tính
toán
cho
các
nguồn
thực
trong
môi
trường
bên
ngoài
(sợi)
từ
những
nguồn
tương
đương
là
chính
xác.
Để
tính
toán
cho
các
nguồn
thực
trong
môi
trường
bên
trong
(sợi)
(hoặc
một
số
các
nguồn
tương
đương
khác),
chúng
ta
sẽ
đi
đến
các
phần
tiếp
theo
của
chương
này.
Mật độ nguồn lưỡng cực tương đương
So sánh công thức 8.23 với công thức 8.12 phát hiện ra nguồn tương đương (của nguồn được mô tả bằng công thức 8.23) như một dải mật độ nguồn lưỡng cực. Sự kết hợp này được nêu bật bằng cách viết lại công thức 8.23 như sau:

Bây
giờ
có
thể
định
nghĩa
một
phần
tử
lưỡng
cực
bằng
.
Lưỡng
cực
được
định
hướng
theo
chiều
(+)
trục
x
và
mật
độ
dải
lưỡng
cực
là
.
Tùy
theo
lựa
chọn,
nguồn
lưỡng
cực
có
thể
được
kết
hợp
như
,
như
một
mật
độ
khối
lưỡng
cực
(volume
dipole
density),
nó
điền
đầy
không
gian
bên
trong
sợi,
được
định
hướng
theo
trục
x
và
đồng
nhất
trên
mọi
tiết
diện
ngang.
Do
đó,
một
phần
tử
lưỡng
cực
cũng
có
thể
được
xem
như
một
vành
tròn
(disk)
của
khối
(πa2dx)
với
dạng
vector
là
.
Nguồn tương đương tổng hợp: Mô hình ba cực (Tripole model)
Bây
giờ
xét
điện
thế
hoạt
động
Vm(x)
(điện
thế
màng
trong
khi
hoạt
động),
lấy
đạo
hàm
bậc
2
với
x.
Như
ta
đã
biết,
mật
độ
nguồn
khối
tương
đương
tỉ
lệ
với
,
được
minh
họa
trong
hình
8.3.
Chú
ý
rằng
các
nguồn
dương
nằm
trong
khoảng
x1<x<x2
và
x3<x<x4
trong
đó
>0
,
trong
khi
đó
các
nguồn
âm
nằm
trong
khoảng
x2<x<x3,
trong
đó
<0.
Tổng
các
nguồn
dương
bằng
tổng
các
nguồn
âm.
Trường
bên
ngoài
tế
bào
được
phát
sinh
bởi
nguồn
này,
được
quan
sát
theo
3
pha
(2
miền
của
1
phân
cực
được
tách
biệt
bởi
1
miền
của
phân
cực
còn
lại).
Khi
khoảng
cách
tới
điểm
trường
lớn
hơn
so
với
khoảng
cách
hướng
trục
của
mỗi
vùng
nguồn
âm
hoặc
dương,
khi
đó
mỗi
nguồn
kể
trên
có
thể
được
coi
như
một
nguồn
đơn
cực
tại
trọng
tâm
(“center
of
gravity”)
của
sự
phân
bố
nguồn
tương
ứng.
Điều
này
được
minh
họa
trong
hình
8.3.
Mô
hình
tổng
hợp
được
mở
rộng
như
một
mô
hình
nguồn
3
cực
(bao
gồm
3
đơn
cực).
Bằng
trực
giác,
chúng
ta
hi
vọng
điều
đó
hợp
lý,
khoảng
cách
từ
mỗi
phân
bố
nguồn
tới
điểm
trường
ri
thỏa
mãn:

Ở đây r1, r2,r3 giống như x1, x2, x3 được minh họa trong hình 8.3. Dựa trên công thức 8.24, chúng ta có thể biểu diễn trường 3 cực như sau:


Hình
8.3.
Điện
thế
hoạt
động
1
pha
Vm(x)
và
đạo
hàm
bậc
2
của
nó
.
Như
đã
nói
ở
trên,
mật
độ
nguồn
khối
tỉ
lệ
với
.
Vì
vậy,
các
nguồn
dương
nằm
trong
khoảng
x1<x<x2
và
x3<x<x4
trong
khi
các
nguồn
âm
nằm
trong
khoảng
x2<x<x3.
Các
nguồn
bên
trong
sợi
được
minh
học
ở
phía
dưới.Khi
khoảng
cách
của
mỗi
phân
bố
nguồn
nhỏ
hơn
so
với
khoảng
cách
tới
trường,
mỗi
sự
phân
bố
có
thể
được
kết
hợp
thành
nguồn
tổng
hợp.
r1,r2,
r3
là
các
khoảng
cách
từ
mỗi
nguồn
tổng
đến
điểm
trường
P.
Cơ sở toán học cho nguồn lớp kép (bó sợi đồng chất)
Điều kiện đầu :
Nguồn: Bó sợi hoạt động chiều dài hữu hạn hoặc vô hạn với tiết diện tròn
Bộ dẫn: Vô hạn, thuần nhất
Biểu
thức
cho
mật
độ
khối
nguồn
lưỡng
cực
trong
phần
8.3.2
được
cho
bởi
nhưng
điều
này
được
suy
ra
cho
một
sợi
độc
lập.
Đối
với
bó
sợi,
có
thể
được
đưa
ra
là
(Plonsey
và
barr,
1987),
trong
đó
C
là
một
hệ
số
phụ
thuộc
vào
độ
dẫn
bên
trong
và
bên
ngoài
tế
bào
và
hình
dáng
của
bó
sợi.
Giá
trị
của
nó
bình
thường
vào
khoảng
0.4.
Hình
8.4
minh
họa
sự
lan
truyền
của
giai
đoạn
tăng
lên
của
một
điện
thế
hoạt
động
dọc
một
bó
sợi
đồng
chất.
Trong
hình
này,
vùng
bờ
giới
hạn
đầu
tiên
và
tiếp
theo
của
vùng
hoạt
động
(nơi
mà
≠0)
được
giả
sử
là
phẳng.
Tất
cả
các
sợi
dây
trong
bó
được
giả
sử
là
song
song
và
mang
những
điện
thế
hoạt
động
như
nhau.
Vì
vậy,
mỗi
sợi
dây
sẽ
bao
gồm
một
mật
độ
nguồn
tương
đương
như
nhau.
Điều
này
được
xem
như
một
mật
độ
nguồn
lưỡng
cực
và
vì
vậy
tỉ
lệ
với
-
.
Chú
ý
rằng
trong
vùng
đã
kể
trên,
hàm
-
là
một
pha,
và
vì
vậy
các
nguồn
lưỡng
cực
được
định
hướng
hết
theo
một
hướng
như
nhau.
Khi
khoảng
cách
của
quá
trình
tăng
lên
của
điện
thế
hoạt
động
x2-x1
trong
hình
8.4)
nhỏ
so
với
khoảng
cách
tới
điểm
trường
P,
khi
đó
sự
phân
bố
lưỡng
cực
theo
trục
trong
một
tiết
diện
ngang
có
thể
được
thay
thế
bởi
một
lưỡng
cực
tổng.
Trong
trường
hợp
này,
nguồn
phát
sinh
trong
bó
sợi
như
một
khối
toàn
bộ
có
thể
được
xem
xấp
xỉ
như
một
bản
lưỡng
cực,
hay
lớp
kép
(double
layer).
Đối
với
cơ
tim,
bởi
vì
các
tế
bào
liên
kết
chặt
chẽ,
bó
sợi
trong
hình
8.4
là
một
phép
tính
xấp
xỉ
tốt
cho
việc
thể
hiện
sự
lan
truyền
sóng
trong
tất
cả
các
vùng
cơ
tim
không
phụ
thuộc
sự
định
hướng
các
sợi.
Các
phép
đo
trên
động
vật
thí
nghiệm
cho
phép
xác
định
một
cách
liên
tục
theo
thời
gian
và
theo
bề
mặt
tạo
ra
sự
tăng
lên
xa
nhất
của
sự
lan
truyền.
Theo
những
điều
đã
nêu
trên,
những
“bề
mặt
đẳng
thời”
(isochronal
surfaces)
có
thể
cũng
được
nhìn
thấy,
tại
mỗi
thời
điểm,
như
vị
trí
của
nguồn
lớp
kép.
Do
bề
dày
của
giai
đoạn
tăng
lên
của
sự
lan
truyền
xung
hoạt
động
tim
chỉ
khoảng
0.5
mm,
điều
kiện
để
mà
nó
là
nhỏ
so
với
khoảng
cách
tới
điểm
trường
gần
như
luôn
luôn
được
thỏa
mãn
khi
phép
đo
điện
tim
được
thực
hiện
trên
bề
mặt
cơ
thể.
Mô
hình
nguồn
lớp
kép
được
nghiên
cứu
rất
nhiều
để
làm
cơ
sở
cho
phép
đo
điện
tim.

Hình
8.4.
Giai
đoạn
tăng
lên
của
sự
lan
truyền
lý
tưởng
điện
thế
hoạt
động
qua
màng
đối
với
một
tế
bào
cơ
tim
được
kí
hiệu
Vm.
Sóng
được
lan
truyền
theo
hướng
từ
trái
qua
phải.
Nguồn
mật
độ
lưỡng
cực
tương
đương
tỉ
lệ
với
-
,
như
được
minh
họa.
Một
sự
biểu
diễn
vật
lý
của
sự
phân
bố
lưỡng
cực
cũng
được
nhìn
chỉ
rõ.
Các
lưỡng
cực
nằm
trong
khoảng
x1<x<x2.
Công thức hoàn chỉnh
Trường của một tế bào đơn có hình dạng bất kì
Điều kiện đầu:
Nguồn: Tế bào đơn có hình dạng bất kì
Bộ dẫn: vô hạn, thuần nhất
Mối quan hệ nguồn - trường đối với một sợi độc lập được mô tả bằng công thức 8.17, là công thức xác định mật độ nguồn như một dòng xuyên màng. Nó hướng ra ngoài để khi đạt được biểu thức này, nguồn được tính xấp xỉ như một điểm (đúng hơn là một vòng), và do đó ảnh hưởng của chính sợi dây trong phạm vi độ dẫn khối được bỏ qua. Đối với sợi độc lập, ở đó kích thước của xung thần kinh là lớn hơn so với bán kính của sợi, nó có thể được chỉ ra để phương trình dòng - nguồn của công thức 8.17 thỏa mãn (Trayanova,Henrique và Plonsey, 1989).
Khi
các
điều
kiện
này
chưa
được
thỏa
mãn,
nó
được
mô
tả
để
có
một
biểu
thức
nguồn
chặt
chẽ.
Có
thể
chỉ
ra
được
rằng
đối
với
một
tế
bào
hoạt
động
hình
dạng
bất
kì
với
bề
mặt
S,
trường
phát
sinh
từ
một
điểm
P,
bên
ngoài
hay
bên
trong
tế
bào,
đó
là:

Trong
đó :
Фp=trường
tại
điểm
P
Фi=điện
thế
ngay
bên
trong
màng
Фo=điện
thế
ngay
bên
ngoài
màng
Nguồn
được
định
nghĩa
bởi
công
thức
8.28
là
một
lớp
kép
nằm
trên
bề
mặt
tế
bào,
cường
độ
của
nó
là
và
hướng
của
nó
dọc
theo
bề
mặt
bên
ngoài
(Plonsey,1974).
Điểm
trường
P
trong
công
thức
8.28
có
thể
áp
dụng
cho
môi
trường
bên
trong
và
bên
ngoài
tế
bào.
Trường của một sợi trụ độc lập
Điều kiện đầu:
Nguồn: Sợi trụ độc lập
Bộ dẫn: Vô hạn, thuần nhất
Nếu áp dụng công thức 8.28 cho một sợi trụ độc lập thì giả thiết Фo≈0 (khi đó Фi- Фo≈Vm), cho ra:

Trong
đó
phép
lấy
tích
phân
tiến
hành
trên
tiết
diện
ngang
có
diện
tích
A.
Nếu
điểm
trường
nằm
tại
khoảng
cách
xa
so
với
bán
kính
thì
công
thức
8.29
được
rút
gọn
thành
công
thức
8.21
và
công
thức
8.17,
vì
vậy
công
việc
sẽ
dễ
dàng
hơn
khi
các
phép
tính
xấp
xỉ
này
được
thỏa
mãn.
Cơ sở toán học cho mật độ nguồn khối vĩ mô (mật độ nguồn dòng) và mật độ dòng tác động
Điều kiện đầu:
Nguồn:
Lớp
của
các
phần
tử
nguồn
lưỡng
cực
Bộ dẫn: Vô hạn, thuần nhất
Trong
phần
này
chúng
ta
thảo
luận
vê
cơ
sở
toán
học
của
các
định
nghĩa
của
mật
độ
nguồn
khối
(mật
độ
nguồn
dòng),
IF
và
mật
độ
dòng
tác
động,
.
Vì
là
một
hệ
quả
của
quá
trình
kích
thích
trong
mô
tim,
tim
thể
hiện
như
một
nguồn
của
các
dòng
và
sinh
ra
các
điện
thế
trong
độ
dẫn
khối
xung
quanh.
Các
nguồn
này
bao
gồm
các
lớp
của
các
phần
tử
nguồn
lưỡng
cực,
nằm
trong
các
bề
mặt
hoạt
động
đẳng
thời,
như
đã
trình
bày
ở
trước.
Sự
mô
tả
này
chỉ
là
một
phép
xấp
xỉ,
vì
nó
dựa
trên
giả
thiết
rằng
mô
tim
là
đồng
nhất
và
đẳng
hướng.
Theo
nguyên
lý,
công
thức
8.28
có
thể
được
áp
dụng
cho
mỗi
tế
bào
trong
tim.
Vì
một
tế
bào
tim
là
rất
nhỏ
so
với
kích
thước
có
thể
quan
sát
được,
vector
bán
kính
trong
công
thức
8.28
có
thể
được
giả
sử
là
hằng
số
trong
phép
tính
tích
phân
trên
mỗi
tế
bào.
Vì
vậy
mỗi
tế
bào
có
thể
có
thể
được
xem
như
một
nguồn
lưỡng
cực
tổng
hợp
đơn,
hay
đơn
giản
là
tổng
vector
của
nó
là
các
phần
tử
bề
mặt
lớp
kép.
Đó
là
lưỡng
cực
cho
tế
bào
thứ
j,
được
cho
bởi:

Vì tim có khoảng 5.1010 tế bào, có lẽ 5% trong số đó được kích thích tại mọi thời điểm trong suốt quá trình khử cực nên độ số lượng của các phần tử nguồn lưỡng cực là rất lớn. Dưới các điều kiện này có thể định nghĩa một hàm mật độ moment khối lưỡng cực (tức là, một lưỡng cực cho một đơn vị khối) bằng cách lấy trung bình các phần tử lưỡng cực trong mỗi khối nhỏ. Đó là:

trong
đó
mẫu
số
là
tổng
khối
đang
sử
dụng
bằng
một
nhóm
N
tế
bào,
và
dSj
là
bề
mặt
của
mỗi
phần
tử
khối
dvj.
N
đủ
nhỏ
để
có
thể
đạt
được
một
“độ
phân
giải”(resolution)
tốt,
nhưng
đủ
lớn
để
hàm
liên
tục
từ
điểm
tới
điểm.
Công
thức
8.31
đôi
khi
được
mô
tả
như
trung
bình
các
“hạt
thô”
(coarse-grained
average),
vì
chúng
ta
không
để
cho
khối
mà
ta
lấy
trị
trung
bình
trên
đó
tiến
tới
0.
Các
sự
xem
xét
tương
tự
được
áp
dụng,
ví
dụ,
trong
tĩnh
điện,
trong
đó
mật
độ
điện
tích
được
xem
xét
một
cách
thông
thường
để
là
một
hàm
trơn.
Hàm
nguồn
là
một
hàm
mật
độ
lưỡng
cực
(khối).
Vì
vậy,
trường
nó
sinh
ra
có
thể
được
tìm
thấy
bằng
phương
pháp
chồng
chất,
ở
đây
dv
là
một
lưỡng
cực
đơn
được
áp
dụng
trong
công
thức
8.12.
Do
đó,
trường
tổng
từ
tất
cả
các
thành
phần
trên
là:

Nếu
áp
dụng
phép
đồng
nhất
vector
cho
công
thức
8.32
thì
có:

Định
luật
Gauss
có
thể
được
áp
dụng
cho
vế
phải
của
công
thức
8.33,
và
từ
=0
tại
S
(tất
cả
các
phần
tử
nguồn
nằm
bên
trong
tim,
ko
có
phần
tử
nào
nằm
trên
bề
mặt
của
phép
lấy
tích
phân),
ta
được:

Đối chiếu với công thức 8.7 cho ta:

là một mật độ nguồn khối (nguồn dòng).
Như
đã
trình
bày
trong
phần
7.2.2,
có
thể
giải
thích
như
một
mật
độ
dòng
tác
động.
Mật
độ
dòng
này
được
tồn
tại
bằng
cách
sử
dụng
năng
lượng
hóa
học
(tức
là
sự
di
chuyển
của
các
ion
là
nhờ
có
bậc
thang
nồng
độ).
Đó
là
nguyên
nhân
chính
cho
sự
hình
thành
của
một
điện
trường.
Ngược
lại,
chúng
ta
chú
ý
rằng
mật
độ
dòng,
=
σ
,
đã
được
mô
tả
bằng
định
luật
Ohm
trong
Công
thức
8.4,
đã
bị
suy
giảm.
Các
dòng
tác
động
không
phải
được
tạo
ra
bởi
điện
trường
,
bởi
vậy
nó
được
tạo
ra
bởi
một
nguồn
năng
lượng
không
có
bản
chất
điện.
Tổng kết về các mô hình nguồn trường


trang trước | Mô hình nguồn trường | Trang tiếp |