Đại số 10/Chương I/§4. Các tập hợp số

Biểu diễn giao (hợp) của hai tập số trên trục số như thế nào?

Lí thuyết

Các tập hợp số đã học

Hoạt động 1	Vẽ biểu đồ minh họa quan hệ bao hàm của các tập hợp số đã học.

Tập hợp các số tự nhiên ${\mathbb {N}}$

${\mathbb {N}}=\{0,1,2,3,...\}$

${\mathbb {N^{*}}}=\{1,2,3,...\}$

Tập hợp các số nguyên ${\mathbb {Z}}$

${\mathbb {Z}}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

Các số -3, -2, -1,... là các số nguyên âm.

Tập hợp các số hữu tỉ ${\mathbb {Q}}$

Ví dụ:       ${\frac {5}{4}},\ \ \ {\frac {-2}{3}},...$

Số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Chẳng hạn:

${\frac {5}{4}}=1.25,\ \ \ {\frac {5}{12}}=0.41(6),\ \ \ {\frac {-2}{3}}=-0.(6)$

Tập hợp các số thực ${\mathbb {R}}$

Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn.

Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.

Ví dụ: $\alpha =0.101101110...\,$ là một số vô tỉ (với số chữ số 1 sau mỗi chữ số 0 tăng dần).

Ta cũng có thể nói rằng: Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và số vô tỉ.

Người ta thường dùng trục số để biểu diễn hình học các số, và ta đã biết:

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại.

Biểu diễn trên trục số giao của hai tập số

Chúng ta đã biết cách biểu diễn một tập số trên trục số, bằng cách gạch đi các điểm (phần) không thuộc tập hợp đó, chẳng hạn:

• Phần không bị gạch ở hình vẽ sau biễu diễn tập hợp $\{x|x>3\}\,$

Tất cả các điểm bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ.

• Phần không bị gạch ở hình vẽ sau biễu diễn tập hợp $\{x|x\leq 7\}$

Tất cả các điểm bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được giữ lại.

Đó là cách biểu diễn một tập số trên trục số. Thế còn, muốn biểu diễn giao của hai tập hợp số trên trục số thì ta làm thế nào?

Hoạt động 2	Biểu diễn tập hợp ${\mathbb {A}}\cap {\mathbb {B}}$ trên trục số: a) Với ${\mathbb {A}}=\{x|3<x\}\,$ và ${\mathbb {B}}=\{x|x\leq 7\}$ b) Với ${\mathbb {A}}=\{x|x\geq -7\}\,$ và ${\mathbb {B}}=\{x|x<3\}$ Hướng dẫn: Trên trục số, lần lượt "gạch" đi các điểm (phần) không thuộc tập hợp thứ nhất và không thuộc tập hợp thứ hai, phần còn lại sẽ biểu diễn giao của hai tập.

CHÚ Ý

Từ kết quả biểu diễn trên trục số (hình vẽ) của các tập ${\mathbb {A}}$ , ${\mathbb {B}}$ và ${\mathbb {A}}\cap {\mathbb {B}}$ , "gợi" cho ta cách viết các tập đó "gọn và trực quan hơn". Chẳng hạn, từ câu a):

• Thay vì viết ${\mathbb {A}}=\{x|3<x\}\,$ ta có thể viết: ${\mathbb {A}}=(3;+\infty )$
• Thay vì viết ${\mathbb {B}}=\{x|x\leq 7\}$ ta có thể viết: ${\mathbb {B}}=(-\infty ;7]$
• Thay vì viết ${\mathbb {A}}\cap {\mathbb {B}}=\{x|3<x\}\cap \{x|x\leq 7\}$ ta có thể viết: ${\mathbb {A}}\cap {\mathbb {B}}=(3;+\infty )\cap (-\infty ;7]$ .

Như vậy, ta có:

$(3;+\infty )\cap (-\infty ;7]=(3;7]$

Bằng cách biểu diễn và "viết gọn" như trên, người ta quy ước cách gọi, kí hiệu và biểu diễn trên trục số một vài tập số thường gặp sau:

Các tập con thường dùng

Tên gọi và kí hiệu	Tính chất đặc trưng	Biểu diễn trên trục số (phần không bị gạch)
Khoảng $(a;b)\,$	$\{x\in {\mathbb {R}}|a<x<b\}$
Khoảng $(a;+\infty )$	$\{x\in {\mathbb {R}}|a<x\}$
Khoảng $(-\infty ;b)$	$\{x\in {\mathbb {R}}|x<b\}$
Khoảng $(-\infty ;+\infty )$	${\mathbb {R}}$
Đoạn $[a;b]\,$	$\{x\in {\mathbb {R}}|a\leq x\leq b\}$
Nửa khoảng $[a;b)\,$	$\{x\in {\mathbb {R}}|a\leq x<b\}$
Nửa khoảng $(a;b]\,$	$\{x\in {\mathbb {R}}|a<x\leq b\}$
Nửa khoảng $[a;+\infty )$	$\{x\in {\mathbb {R}}|x\geq a\}$
Nửa khoảng $(-\infty ;b]$	$\{x\in {\mathbb {R}}|x\leq b\}$

CHÚ Ý

1. a và b được gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.
2. Các kí hiệu $+\infty$ /$-\infty$ được đọc là "dương vô cực"/"âm vô cực" (hoặc "dương vô cùng"/"âm vô cùng").
3. Toàn bộ tập ${\mathbb {R}}=(-\infty ;+\infty )$ còn được gọi là đường thẳng thực.
4. Cách đọc, ví dụ:
   • Kí hiệu $(a;b)\,$ được đọc là Khoảng a đến b;
   • Kí hiệu $[a;+\infty )$ được đọc là Nửa khoảng a đến dương vô cực.

   (Các kí hiệu còn lại cũng được đọc tương tự)

5. Giống như viết phân số, từ nay trở đi khi kí hiệu một tập số ta nên viết nó dưới dạng "viết gọn".

Hoạt động 3	Điền một trong các chữ cái: a, b, c, d vào các ô vuông có cùng nội dung. a) $x\in [1;3];$ $\Box \ 1<x\leq 3;$ $\Box$ b) $x\in (1;3];$ $\Box \ x<3;$ $\Box$ c) $x\in [3;+\infty );$ $\Box \ x\geq 3;$ $\Box$ d) $x\in (-\infty ;3);$ $\Box \ 1\leq x\leq 3;$ $\Box$   $\Box \ 1<x<3.$ $\Box$

Biểu diễn trên trục số hợp của hai tập số

Trên trục số, để biểu diễn hợp của hai tập số, ta cũng có thể dùng cách "gạch" đi các điểm (phần) không thuộc cả hai tập hợp (phần còn lại sẽ là hợp của hai tập đã cho).

Tuy nhiên, người ta thường sử dụng cách "đánh dấu", để tìm hợp của hai tập số.

Trên trục số, lần lượt đánh dấu (tô đậm/khác màu) các điểm (phần) thuộc tập thứ nhất, thuộc tập thứ hai. Phần được đánh dấu sẽ biểu diễn hợp của hai tập số đã cho.

VÍ DỤ	Biểu diễn hợp của hai tập hợp sau trên trục số và sử dụng các tập con thường dùng để viết gọn chúng. $[0;2)\cup (1;3]$

Lời giải	Đánh dấu các điểm thuộc tập $[0;2)\,$ bằng màu xanh (blue). Đánh dấu các điểm thuộc tập $(1;3]\,$ bằng màu đỏ (red). Kết quả: $[0;2)\cup (1;3]=[0;3]$

BÀI TẬP

1. Biểu diễn giao của các tập hợp sau trên trục số và sử dụng các tập con thường dùng để viết gọn chúng.
a) $(-12;3]\cap [-1;4)$	b) $(4;7)\cap (-7;-4)$
c) $(2;3)\cap [3;5)$	d) $(-\infty ;2]\cap [-2;+\infty )$

2. Biểu diễn hiệu của các tập hợp sau trên trục số và sử dụng các tập con thường dùng để viết gọn chúng.
a) $(-2;3)\setminus (1;5)$	b) $(-2;3)\setminus [1;5)$
c) ${\mathbb {R}}\setminus (2;+\infty )$	d) ${\mathbb {R}}\setminus (-\infty ;3]$

Hướng dẫn: Trên trục số, lần lượt:

• Gạch đi các điểm (phần) không thuộc tập thứ nhất.
• Gạch đi các điểm (phần) thuộc tập thứ hai.

3. Biểu diễn hợp của các tập hợp sau trên trục số và sử dụng các tập con thường dùng để viết gọn chúng.
a) $[-3;1)\cup (0;4]$	b) $(0;2]\cup [-1;1)$
c) $(-2;15)\cup (3;+\infty )$	d) $\left(-1;{\frac {4}{3}}\right)\cup [-1;2)$
e) $(-\infty ;1)\cup (-2;+\infty )$	f) $[-5;1]\cup (-3;2)$

4. Biểu diễn trên trục số và sử dụng các tập con thường dùng để viết gọn chúng.

a) $(-\infty ;3]\cap (-2;+\infty )\cap \left[{\frac 12};+\infty \right)$

b) $(-3;5]\cup [8;10]\cup (2;8)$

c) $(3;+\infty )\setminus (-\infty ;1]$

Hướng dẫn: Giải như trường hợp giao/hợp của hai tập hợp.

5. Điền dấu "x" vào ô vuông thích hợp.
a) $\forall x\in {\mathbb {R}},\ x\in (2.1;5.4)$	$\Rightarrow x\in (2;5)$	Đúng $\ \Box$	Sai $\ \Box$
b) $\forall x\in {\mathbb {R}},\ x\in (2.1;5.4)$	$\Rightarrow x\in (2;6)$	Đúng $\ \Box$	Sai $\ \Box$
c) $\forall x\in {\mathbb {R}},\ -1.2\leq x<2.3$	$\Rightarrow -1\leq x\leq 3$	Đúng $\ \Box$	Sai $\ \Box$
d) $\forall x\in {\mathbb {R}},\ -4.3<x\leq -3.2$	$-5\leq x\leq -3$	Đúng $\ \Box$	Sai $\ \Box$
e) $\forall x\in {\mathbb {R}},\ -1\leq x\leq 3.2$	$x\in (-2;3.2]$	Đúng $\ \Box$	Sai $\ \Box$
f) $\forall x\in {\mathbb {R}},\ x\in (1;4.1]$	$\Rightarrow 1<x<4.1$	Đúng $\ \Box$	Sai $\ \Box$

Hướng dẫn: Biểu diễn các tập số trên trục số, từ đó suy ra.

6. Biết $[3;12)\setminus (-\infty ;a)=\varnothing$

Có thể kết luận gì về giá trị của số a?

Xem thêm

• Cách biểu diễn một tập hợp số trên trục số.

Tài liệu tham khảo

• Sách in:
  • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 16.
  • Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 18.
  • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001, trang 17.
  • Tài liệu giáo khoa thí điểm, Đại số 10, Ban khoa học tự nhiên, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997, trang 13.

---

<<< Mục lục

Liên kết đến đây

• Đại số 10
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Đại số 10/Chương IV/§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
• Đại số 10/Chương IV/§3. Dấu của nhị thức bậc nhất
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007