Đại số 10/Chương IV/§1. Bất đẳng thức

Lí thuyết

Ôn tập bất đẳng thức

Bất đẳng thức là gì?

Hoạt động 1	Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) 3,25 < 4      b) $-5>-4{\frac {1}{4}}$      c) $-{\sqrt {2}}\leq 3$

Hoạt động 2	Chọn dấu thích hợp (<, =, >) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng. a) $2{\sqrt {2}}\ \Box \ 3$    b) ${\frac {4}{3}}\ \Box \ {\frac {2}{3}}$    c) $3+2{\sqrt {2}}\ \Box \ (1+{\sqrt {2}})^{2}$    d) $a^{2}+1\ \Box \ 0$   với a là một số đã cho.

	Các mệnh đề dạng "a < b", "a > b", "a ≤ b" và "a ≥ b" được gọi là bất đẳng thức. Trong đó các kí hiệu a và b có thể là các biểu thức của các biến.

Các bất đẳng thức dạng: "a < b" và "a > b" được gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt, còn các bất đẳng thức dạng: "a ≤ b" và "a ≥ b" được gọi là bất đẳng thức không nghiêm ngặt.

Một bất đẳng thức có thể đúng, có thể sai. Việc chứng minh một bất đẳng thức nào đó là đúng với các giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước được gọi là bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Ta nói: bất đẳng thức a < c là hệ quả của bất đẳng thức a < b và b < c. Vì:

Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).

Ta nói: bất đẳng thức a + c < b + c là hệ quả của bất đẳng thức a < b với c tùy ý. Vì:

Nếu a < b thì a + c < b + c với c tùy ý (tính chất cộng của hai vế bất đẳng thức với một số).

Tổng quát, ta có định nghĩa

	Nếu mệnh đề "a < b $\Rightarrow$ c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b. Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a < b $\Leftrightarrow$ c < d.

Hoạt động 3	Chứng minh rằng: a < b $\Leftrightarrow$ a - b < 0(*).

Từ đó suy ra, để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh hiệu a - b < 0.

VÍ DỤ 1	Chứng minh rằng: $x^{2}>2(x-1)\,$ với mọi x.

Lời giải	Xét dấu của hiệu $x^{2}-2(x-1)\,$ . Ta có: $x^{2}-2(x-1)=x^{2}-2x+2\,$ $=(x^{2}-2x+1)+1=(x-1)^{2}+1>0\,$ (dễ thấy) Vậy, $x^{2}>2(x-1)\,$ .

Một cách khác, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất sau của các bất đẳng thức nghiêm ngặt. Các tính chất này cũng đúng cho các bất đẳng thức không nghiêm ngặt.

Tính chất của bất đẳng thức

Để thuận tiện, ta quy ước cách gọi:

• Hai bất đẳng thức dạng a > b và c > d được gọi là cùng chiều (với nhau).
• Hai bất đẳng thức dạng a > b và c < d được gọi là ngược chiều (với nhau).

TT	Tính chất	Điều kiện	Phát biểu
1.	a < b $\Leftrightarrow$ a + c < b + c	với c tùy ý	Cộng hai vế của bất đẳng với một số ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
2.	a < b $\Leftrightarrow$ ac < bc	với c > 0	Nhân hai vế của bất đẳng với một số dương ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
3.	a < b $\Leftrightarrow$ ac > bc	với c < 0	Nhân hai vế của bất đẳng với một số âm ta được một bất đẳng thức ngược chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
4.	a < b và c < d $\Rightarrow$ a + c < b + d		Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
5.	a < b và c < d $\Rightarrow$ a.c < b.d	với a > 0, c > 0	Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều có tất cả các vế đều dương, ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
6.	$a<b\Leftrightarrow a^{{2n+1}}<b^{{2n+1}}$	với n nguyên dương	Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa lẻ, nguyên dương ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
7.	$0<a<b\Rightarrow a^{{2n}}<b^{{2n}}$	với n nguyên dương	Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa chẵn, nguyên dương ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
8.	$a<b\Leftrightarrow {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}}$	với a > 0	Lấy căn bậc hai hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
9.	$a<b\Leftrightarrow {\sqrt[ {3}]{a}}<{\sqrt[ {3}]{b}}$		Lấy căn bậc ba hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.

VÍ DỤ 2	Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh hai số ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\$ và 3.

Lời giải

Cách 1: Giả sử ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\leq 3.$ Do hai vế của bất đẳng thức đều dương nên bình phương hai vế ta được: ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\leq 3\Leftrightarrow ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}\leq 9$    (tính chất 7) $\Leftrightarrow 5+2{\sqrt {6}}\leq 9\Leftrightarrow 2{\sqrt {6}}\leq 4$    (tính chất 1) $\Leftrightarrow {\sqrt {6}}\leq 2\Leftrightarrow 6\leq 4$ vô lí.    (tính chất: 2 và 7) Vậy ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}>3.$ Cách 2: Đặt $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\$ và b = 3. Ta có: $a^{2}=({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}=5+2{\sqrt {6}}$ $b^{2}=9=5+2{\sqrt {4}}$ Dễ thấy $a^{2}>b^{2}$ , nên theo tính chất 8 ta có: a > b.

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Hoạt động 4	Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau: a) 0     b) 1,25     c) $-{\frac {3}{4}}$     d) $-\pi$

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau:

$|x|\geq 0,\ |x|\geq x,\ |x|\geq -x$ $|x|\leq a\Leftrightarrow -a\leq x\leq a$     với a > 0     (Bất đẳng thức kép) $|x|\geq a\Leftrightarrow x\leq -a$ hoặc $x\geq a$     với a > 0     (Bất đẳng thức kép) $|a|-|b|\leq |a+b|\leq |a|+|b|$     (Bất đẳng thức kép, Bất đẳng thức tam giác)

VÍ DỤ 3	Cho $x\in [-2;0].$ Chứng minh rằng $|x+1|\leq 1$ .

Lời giải	Ta có: $x\in [-2;0]\Rightarrow -2\leq x\leq 0$ $\Rightarrow -2+1\leq x+1\leq 0+1$ $\Rightarrow -1\leq x+1\leq 1\Rightarrow |x+1|\leq 1$ (đpcm).    (tính chất 2)

VÍ DỤ 4	Tìm tập xác định của hàm số $y={\sqrt {x^{2}-9}}$ .

Lời giải	Hàm số xác định khi $x^{2}-9\geq 0\Rightarrow x^{2}\geq 9$     (tính chất (*)) $\Rightarrow {\sqrt {x^{2}}}\geq {\sqrt {9}}$    (tính chất 8) $\Rightarrow |x|\geq 3\Rightarrow x\leq -3$ hoặc $x\geq 3$ .    (tính chất 3) Vậy $D=(-\infty ;-3]\cup [3;+\infty )$

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân hay còn được gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy).

Bất đẳng thức Cô-si

Định lí

	Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. Trung bình nhân của hai số không âm bằng trung bình cộng của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. ${\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}},\quad \forall a,b\geq 0.$    (1) Đẳng thức ${\sqrt {ab}}={\frac {a+b}{2}}$ xảy ra khi và chỉ khi a = b.

CHỨNG MINH

Xét dấu của hiệu: ${\sqrt {ab}}-{\frac {a+b}{2}}$ . Ta có:

${\sqrt {ab}}-{\frac {a+b}{2}}=-{\frac {1}{2}}(a+b-2{\sqrt {ab}})=-{\frac {1}{2}}({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}\leq 0.$

Vậy ${\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}=0\Leftrightarrow a=b$ .

CHÚ Ý: Có thể chứng minh bất đẳng thức Cô-si bằng hình học như sau:

Xét nửa đường tròn đường kính AC = a + b. Các đoạn thẳng AB, BC, BH có độ dài lần lượt là a, b, h (hình vẽ).

Khi đó, ta có $h={\sqrt {ab}}$ và rõ ràng h = BH không thể vượt quá bán kính của nửa đường tròn, tức là:

$h={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}$

Đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi B là tâm của đường tròn, tức là khi a = b.

VÍ DỤ 5	Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: $a)\ {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\geq 2;\qquad \qquad \qquad \qquad b)\ (a+b)(ab+1)\geq 4ab$

Lời giải

a) Vì a > 0, b > 0 nên ${\frac {a}{b}}>0,\ {\frac {b}{a}}>0$ . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ${\frac {a}{b}}\$ và ${\frac {b}{a}}$ , ta có: ${\sqrt {{\frac {a}{b}}.{\frac {b}{a}}}}\leq {\frac {{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}}{2}}\quad \Rightarrow \quad 1\leq {\frac {{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}}{2}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\geq 2$ (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}\Leftrightarrow a=b.$ b) Vì a > 0, b > 0 nên ab > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số a với b và 1 với ab, ta có: ${\begin{cases}{\cfrac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {a.b}}\\{\cfrac {ab+1}{2}}\geq {\sqrt {(ab).1}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}a+b\geq 2{\sqrt {ab}}\\ab+1\geq 2{\sqrt {ab}}\end{cases}}$ Vì các vế của hai bất đẳng thức đều dương nên áp dụng tính chất 5, ta có: $(a+b)(ab+1)\geq 2{\sqrt {ab}}.2{\sqrt {ab}}=4ab$ (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b và ab = 1 hay a = b = 1.

Từ bất đẳng thức Cô-si ta suy ra ba hệ quả sau:

Các hệ quả

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2. Tức là: $a+{\frac {1}{a}}\geq 2,\quad \forall a>0$.

Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

CHỨNG MINH

Đặt S = x + y và áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta có:

${\sqrt {xy}}\leq {\frac {x+y}{2}}={\frac {S}{2}}$, do đó $xy\leq {\frac {S}{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y={\frac {S}{2}}$ .

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất (hình 26).

Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

CHỨNG MINH

Cách chứng minh tương tự như cách chứng minh hệ quả 2 ở trên.

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất (hình 27).

VÍ DỤ 6	Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+{\frac {3}{x}}$ với x > 0.

Lời giải

Cách 1: Do x > 0 nên ${\frac {3}{x}}>0\$ . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và ${\frac {3}{x}}\$ . Ta có: $f(x)=x+{\frac {3}{x}}\geq 2{\sqrt {x.{\frac {3}{x}}}}=2{\sqrt {3}}\$ và $f(x)=2{\sqrt {3}}\Leftrightarrow x={\frac {3}{x}}\Leftrightarrow x={\sqrt {3}}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+{\frac {3}{x}}$ với x > 0 là $f({\sqrt {3}})=2{\sqrt {3}}$ . Cách 2: Dễ thấy x > 0; ${\frac {3}{x}}\ >0$ và tích của chúng: $x.{\frac {3}{x}}=3\$ -không đổi. Nên theo hệ quả 3, ta có: tổng $f(x)=x+{\frac {3}{x}}\$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $x={\frac {3}{x}}\Rightarrow x={\sqrt {3}}$ Vậy hàm số trên đạt giá trị nhỏ nhất bằng: $f({\sqrt {3}})=2{\sqrt {3}}.$

BÀI TẬP

1. Không dùng bảng hoặc máy tính hãy so sánh các số sau:

${\sqrt {7}}+{\sqrt {15}}$   và ${\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}$

2. Bằng cách xét hiệu hoặc biến đổi tương đương, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) Với a, b bất kì, chứng minh rằng:

• $a^{2}-ab+b^{2}\geq ab$

• $b(a-b)\leq a(a-b)$

• $\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}$

b) Với $0\leq a\leq b$ , chứng minh rằng: $a\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}\leq b$

c) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: $(b-c)^{2}<a^{2}$

d) Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2},\quad \quad \forall x\geq 0,\ \forall y\geq 0$

3. Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối. Hãy:

a) Chứng minh rằng: $|a-b|\geq |a|-|b|$

b) Chứng minh rằng: $|a-b|+|b-c|\geq |a-c|$

c) Tìm tập xác định của hàm số: $y={\frac {{\sqrt {x^{2}-16}}}{{\sqrt {9-x^{2}}}+1}}$

4. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

a) Cho ba số a, b, c dương. Chứng minh rằng:

${\frac {a+b}{c}}+{\frac {b+c}{a}}+{\frac {c+a}{b}}\geq 6.$

b) Cho ba số dương a, b và c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8.$

c) Cho ba số dương a, b và c thỏa mãn $a+b+c=1.$ Chứng minh rằng:

$\left({\frac {1}{a}}-1\right)\left({\frac {1}{b}}-1\right)\left({\frac {1}{c}}-1\right)\geq 8.$

d) Để chứng minh bất đẳng thức: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\geq 8a^{2}b^{2}c^{2},\quad \forall a,b,c.$

Một học sinh đã giải như sau:

$\forall x,y$ ta có: $x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2xy.$ Do đó:

$a^{2}+b^{2}\,$	$\geq 2ab$
$b^{2}+c^{2}\,$	$\geq 2bc$
$c^{2}+a^{2}\,$	$\geq 2ca$
______________________________________________________
$(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\,$	$\geq 8a^{2}b^{2}c^{2}$ (đpcm)

Sai lầm ở đâu? Hãy giải lại cho đúng!

5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: $y=(x+3)(5-x)$ với $-3\leq x\leq 5$ .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

• $y=x^{2}+{\frac {3}{x^{2}}}$   với x ≠ 0.

• $y=x+{\frac {2}{x-1}}$   với x > 1.

Xem thêm

• Đại số 8/Chương IV/§1. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
• Đại số 8/Chương IV/§2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Liên kết ngoài

• Bất đẳng thức trên Wikipedia:
  • Bất đẳng thức
  • Bất đẳng thức Cauchy
  • Bất đẳng thức tam giác

---

<<< Đại số 10

Liên kết đến đây

• Đại số 10
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Đại số 10/Chương IV/§3. Dấu của nhị thức bậc nhất
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007