Hàm số

Tập tin:Exec funkce2.png

Mỗi số thuộc tập X tương ứng với một số duy nhất thuộc tập Y qua hàm f

Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) được hiểu tương tự như khái niệm ánh xạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một quy tắc tương ứng áp dụng lên hai tập hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và tập đích đều là tập hợp số.

Ví dụ một hàm số f xác định trên tập hợp số thực R bằng biểu thức: y = x² - 5 sẽ cho tương ứng mỗi số thực x với một số thực y duy nhất nhận giá trị là x² - 5, như vậy 3 sẽ tương ứng với 4. Khi hàm f được xác định, ta có thể viết f(3) = 4.

Đôi khi chữ hàm được dùng như cách gọi tắt thay cho hàm số. Tuy nhiên trong các trường hợp sử dụng khác, hàm mang ý nghĩa tổng quát là ánh xạ, như trong lý thuyết hàm. Các hàm hay ánh xạ tổng quát có thể là liên hệ giữa các tập hợp không phải là tập số. Ví dụ có thể định nghĩa một hàm là quy tắc cho tương ứng mỗi hãng xe với tên quốc gia xuất xứ của nó, chẳng hạn có thể viết Xuất_xứ(Honda) = Nhật.

Khái niệm

Định nghĩa

Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất thuộc Y.

Ký hiệu

$f\colon X\to Y$ hoặc $f\colon x\mapsto f(x)$ hoặc $y=f(x)\,\!$

Với:

• Tập X gọi là miền xác định.
• Tập Y gọi là miền giá trị.
• x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
• y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số.
• f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x.

Cách cho hàm số

Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng biểu thức.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm $f:X\to Y$ được cho bảng sau:

x	1	2	3	4	5
y	5	5	6	7	8

Các hàm cho bằng biểu thức như $y=2x+3$ , $y=x^{2}$ , $y=\sin x$ ...

Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng:

• Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.

Ví dụ: Hàm số $y={\log }_{2}x$ có miền xác định là $\{x\in {\mathbb R}|x>0\}$

Hàm số $y={\sqrt {(x-1)(3-x)}}$ là $[1;3]$

• Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của $f(x)$ , nghĩa là $f(X)$ .

Ví dụ: Miền giá trị của hàm số $y={\sqrt {x(5-x)}}$ là $[0;5]$ .

• Nếu X,Y $\subset {\mathbb R}$ thì hàm số được gọi là hàm số thực.

Ví dụ: Hàm lượng giác $y=\sin x$ ,hàm mũ $y=2^{x}$ ,...

• Nếu X,Y $\subset {\mathbb C}$ thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức.

Ví dụ: Hàm dao động $y=\cos \varphi +i\;\sin \varphi$ ;

• Nếu X $\subset {\mathbb N}$ thì hàm số được gọi là hàm số số học.

Ví dụ: Hàm Euler $\phi (n)$ biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma $\sigma (n)$ biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n...

Các dạng của hàm số

Đơn ánh, song ánh, toàn ánh

Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh.

Đơn ánh

Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau.

Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá trị trong Y, là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi x₁ và x₂ thuộc X và nếu x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:

$\forall x_{1},x_{2}\in {\mathit {X}}\,\!;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm

Toàn ánh

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu như với mọi số y thuộc Y ta luôn tìm được ít nhất một số x thuộc X sao cho f(x) = y. Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử y thuộc Y đều là tạo ảnh của ít nhất một mẫu x thuộc X qua ánh xạ f.

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

$\forall y\in Y,\exists x\in X:f(x)=y$ cũng tức là ${\mathit {f(X)=Y}}\,\!$

Đồ thị hàm $y=f(x)\,$ cắt đường thẳng $y=y_{0}\forall y_{0}$

Song ánh

Trong toán học, song ánh, hoặc hàm song ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, đối với mỗi y thuộc Y, có duy nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y.

Nói cách khác, f là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là tương ứng một-một giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là đơn ánh và vừa là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm fxác định trên tập hợp số nguyên  vào, được định nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (x,y) hàm f xác định bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh

Hàm song ánh đôi khi còn gọi là hoán vị.

Tập hợp tất cả các song ánh từ tập X vào tập Y được kí hiệu là X ↔ Y. Thông thường tập các hoán vị của tập X được kí hiệu làX!.

Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và những khái niệm liên quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác

Minh hoạ

170px		170px		170px
Đơn ánh nhưng không phải toàn ánh		Toàn ánh nhưng không phải đơn ánh		Vừa đơn ánh vừa toàn ánh (= song ánh)

Hàm hợp và hàm ngược

Hàm hợp

Cho các hàm số:

$f_{1}\colon X\to Y$

$f_{2}\colon Y\to Z$

trong đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp của f₁ và f₂ là hàm số:

$f\colon X\to Z$

được định nghĩa bởi:

${\mathit {f(x)=f_{2}(f_{1}(x));x}}\in X$

Có thể ký hiệu hàm hợp là:

$f=f_{2}\circ f_{1}$

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x²+1) là hàm số hợp f₂(f₁(x)), trong đó f₂(y) = sin(y), f₁(x) = (x² +1).

Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn.

Hàm ngược

Cho hàm số song ánh:

$f\colon X\to Y$

trong đó X, Y là tập hợp số nói chung. Khi đó mỗi phần tử y = f(x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong X. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được kí hiệu là:

$f^{{-1}}\colon y\mapsto x=f^{{-1}}(y)$

Nếu f⁻¹(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược f⁻¹(x) và ngược lại.

Đồ thị của hàm số

Thông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu thức tổng quát y = f(x) nào đó, ví dụ như y = x² - 5. Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng x với y của nó không theo bất kỳ một quy luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số x và các giá trị hàm số y tương ứng với chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một cách triệt để bằng đồ thị của nó.

Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định thực), đồ thị hàm số được định nghĩa như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng R² có tọa độ [x, f(x)].

Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là:

$graphf\equiv {\begin{Bmatrix}(x,y)\in R^{2}\mid y=f(x)\end{Bmatrix}}$

Xem thêm

• Ánh xạ
• Hàm số đơn điệu

Liên kết ngoài

• The Wolfram Functions Site
• Theory of Functions and related areas
• Notes on functions

Liên kết đến đây

• Đại số 10/Chương II
• Đại số 10/Chương II/§1. Hàm số
• Đại số 7/Chương II/§5. Hàm số
• MatLab
• Phép tính lambda
• Đại số
• Giải tích toán học
• Leonhard Euler
• Lý thuyết tập hợp
• Toán học