Tìm phân số tương đương

Từ VLOS
(đổi hướng từ Tìm Phân số Tương đương)
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Hai phân số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng giá trị. Biết cách chuyển đổi một phân số sang các dạng thức tương đương của nó là một kỹ năng toán học cần thiết cho tất cả mọi phép toán từ đại số cơ bản đến toán cao cấp. Bài viết này sẽ giới thiệu một số cách để tính phân số tương đương từ phép nhân và chia cơ bản đến các phương pháp phức tạp hơn để giải phương trình có các phân số tương đương.

Các bước[sửa]

Tạo các Phân số Tương đương[sửa]

  1. Nhân tử số và mẫu số với cùng một số. Theo định nghĩa, hai phân số khác nhau nhưng tương đương nhau có tử số và mẫu số là bội số của nhau. Nói cách khác, nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số sẽ cho ra một phân số tương đương. Mặc dù các số ở phân số mới sẽ khác, nhưng các phân số này sẽ có cùng giá trị.
    • Ví dụ, nếu chúng ta lấy phân số 4/8 và nhân cả tử và mẫu với 2, chúng ta được (4×2)/(8×2) = 8/16. Hai phân số này tương đương nhau.
    • (4×2)/(8×2) hoàn toàn giống với 4/8 × 2/2. Hãy nhớ rằng khi nhân hai phân số, chúng ta nhân ngang, tức là tử số với tử số và mẫu số với mẫu số.
    • Lưu ý rằng 2/2 bằng 1 khi bạn thực hiện phép chia. Do đó, dễ thấy tại sao 4/8 và 8/16 bằng nhau vì 4/8 × (2/2) vẫn = 4/8. Tương tự như vậy 4/8 = 8/16.
    • Bất kỳ phân số nào đều có số lượng vô hạn các phân số tương đương. Bạn có thể nhân tử số và mẫu số với một số nguyên bất kỳ, dù lớn hay nhỏ đều cho ra một phân số tương đương.
  2. Chia tử số và mẫu số cho cùng một số. Giống như nhân, chia cũng được sử dụng để tìm phân số mới tương đương với phân số ban đầu. Đơn giản chỉ cần chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số để được một phân số tương đương. Tuy nhiên phân số đạt được phải có cả tử và mẫu đều là số nguyên.
    • Ví dụ, nhìn lại phân số 4/8. Thay vì nhân, chúng ta chia cả tử và mẫu cho 2, chúng ta có (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 và 4 đều là số nguyên, do đó phân số tương đương này hợp lệ.

Sử dụng Phép nhân Cơ bản để Xác định Tính tương đương[sửa]

  1. Tìm số mà khi nhân số đó với mẫu số nhỏ hơn ta được mẫu số lớn hơn. Nhiều bài toán về phân số liên quan đến việc xác định xem hai phân số có tương đương hay không. Bằng cách tính số này, bạn có thể đưa các phân số về cùng số hạng để xác định tính tương đương.
    • Ví dụ, lấy lại các phân số 4/8 và 8/16. Mẫu số nhỏ hơn là 8, và chúng ta sẽ phải nhân số đó với 2 để được mẫu số lớn hơn là 16. Vậy, số cần tìm trong trường hợp này là 2.
    • Đối với những số phức tạp hơn, bạn chỉ cần chia mẫu số lớn cho mẫu số nhỏ. Ở ví dụ trên 16 chia cho 8, kết quả là 2.
    • Số này không phải lúc nào cũng là số nguyên. Ví dụ, nếu hai mẫu số là 2 và 7, thì 7 chia 2 bằng 3.5.
  2. Nhân tử số và mẫu số của phân số được biểu diễn ở số hạng thấp hơn với số xác định được ở bước trên. Theo định nghĩa, hai phân số khác nhau nhưng tương đương có tử số và mẫu số là bội số của nhau. Nói cách khác, nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số sẽ cho ra phân số tương đương. Mặc dù các số trong phân số mới này sẽ khác nhưng giá trị của chúng như nhau.[1]
    • Ví dụ, nếu ta lấy phân số 4/8 từ bước một và nhân cả tử và mẫu với số 2 đã xác định lúc trước, chúng ta có (4×2)/(8×2) = 8/16. Điều đó chứng minh rằng hai phân số này là tương đương.

Sử dụng Phép chia Cơ bản để Xác định Tính tương đương[sửa]

  1. Chia mỗi phân số thành dạng thập phân. Đối với các phân số đơn giản không có biến số, bạn chỉ cần biểu diễn mỗi phân số dưới dạng số thập phân để xác định tính tương đương. Vì mỗi phân số thực chất là một phép chia, đây là cách đơn giản nhất để xác định tính tương đương.
    • Ví dụ, lấy phân số 4/8 bên trên. Phân số 4/8 tương đương với 4 chia cho 8, 4/8 = 0,5. Bạn có thể chia phân số kia như vậy, 8/16 = 0,5. Bất kể dạng thức của phân số là gì, chúng là tương đương nhau nếu hai số này bằng nhau khi biểu diễn dưới dạng thập phân.
    • Hãy nhớ rằng việc biểu diễn dưới dạng thập phân có thể cho ra nhiều chữ số trước khi kết luận là chúng không tương đương. Một ví dụ cơ bản là 1/3 = 0,333… trong khi 3/10 = 0,3. Chỉ cần nhiều hơn một chữ số, chúng ta thấy rằng hai phân số này là không tương đương.
  2. Chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số để được phân số tương đương. Đối với các phân số phức tạp hơn, phương pháp chia này đòi hỏi thêm các bước. Giống như nhân, bạn có thể chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số để được một phân số tương đương. Tuy nhiên phân số đạt được phải có cả tử và mẫu đều là số nguyên.
    • Ví dụ phân số 4/8. Thay vì nhân, chúng ta chia cả tử số và mẫu số cho 2, chúng ta được (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 và 4 đều là số nguyên nên phân số tương đương này hợp lệ.
  3. Rút gọn phân số về dạng tối giản. Hầu hết các phân số thường được biểu diễn dưới dạng tối giản, và bạn có thể đưa chúng về dạng tối giản bằng cách chia cho thừa số chung lớn nhất của tử và mẫu. Bước này hoạt động theo cùng logic là biểu diễn các phân số tương đương bằng cách chuyển chúng sang có cùng mẫu số, nhưng phương pháp này đòi hỏi rút gọn mỗi phân số về dạng tối giản.
    • Khi một phân số đã ở dạng tối giản, tử số và mẫu số của nó đều nhỏ nhất có thể. Bạn không thể chia chúng cho bất kỳ số nguyên nào để được số nhỏ hơn. Để chuyển một phân số về dạng tối giản, chúng ta chia tử số và mẫu số cho thừa số chung lớn nhất.
    • Thừa số chung lớn nhất của tử số và mẫu số là số lớn nhất mà chúng chia hết cho. Vậy, trong ví dụ 4/8, vì 4 là số lớn nhất mà cả 4 và 8 đều chia hết, chúng ta sẽ chia tử số và mẫu số của phân số này cho 4 để được dạng tối giản. (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. Trong ví dụ khác là 8/16, GCF là 8, kết quả cũng bằng 1/2.

Sử dụng Phép nhân chéo để Giải Bài toán Tìm Biến[sửa]

  1. Đặt hai phân số bằng nhau. Chúng ta sử dụng phép nhân chéo cho các bài toán mà chúng ta biết các phân số là tương đương, nhưng một trong những con số đã được thay thế bằng biến số (thường là x) mà chúng ta phải giải bài toán để tìm. Trong những trường hợp như thế này, nhân chéo là phương pháp nhanh gọn.[2]
  2. Lấy hai phân số tương đương và nhân chéo theo hình dấu "X". Nói cách khác, bạn nhân tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia và ngược lại, sau đó đặt hai kết quả này bằng nhau và giải bài toán.[2]
    • Lấy hai ví dụ là 4/8 và 8/16. Hai phân số này không chứa biến số, nhưng chúng ta có thể chứng minh là chúng tương đương. Bằng cách nhân chéo, chúng ta được 4 x 16 = 8 x 8, hay 64 = 64, hiển nhiên là đúng. Nếu hai số này không giống nhau, thì các phân số không tương đương.
  3. Đưa biến số vào. Vì nhân chéo là cách dễ nhất để xác định các phân số tương đương khi bạn phải giải bài toán tìm biến, hãy thêm biến vào.
    • Ví dụ, hãy xem xét phương trình sau 2/x = 10/13. Để nhân chéo, chúng ta nhân 2 với 13 và 10 với x, sau đó đặt hai kết quả này bằng nhau:
      • 2 × 13 = 26
      • 10 × x = 10x
      • 10x = 26. Bằng phương pháp đại số đơn giản ta có thể tìm được biến x = 26/10 = 2.6, khi đó hai phân số tương đương ban đầu là 2/2.6 = 10/13.
  4. Sử dụng phép nhân chéo cho những phương trình có nhiều biến hoặc biểu thức biến. Một trong những điều thú vị nhất về phép nhân chéo đó là dù bạn có hai phân số đơn giản (như trên) hay các phân số phức tạp hơn thì cách thức giải của nó vẫn y như nhau. Ví dụ, nếu cả hai phân số đều chứa biến, bạn chỉ cần loại bỏ các biến này ở bước cuối cùng trong quá trình giải toán. Tương tự như vậy, nếu các tử số và mẫu số của phân số chứa các biểu thức biến (chẳng hạn như x + 1), đơn giản bạn chỉ cần nhân chéo và giải như bình thường.[3]
    • Ví dụ, hãy xem xét phương trình sau ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Như trên, chúng ta giải bằng cách nhân chéo hai phân số:
      • (x + 3) × 4 = 4x + 12
      • (x + 1) × 2 = 2x + 2
      • 2x + 2 = 4x + 12, trừ hai vế cho 2x
      • 2 = 2x + 12, để tách biến chúng ta trừ hai vế cho 12
      • -10 = 2x, và chia hai vế cho 2 để tìm x
      • -5 = x

Sử dụng Công thức Nghiệm bậc hai để Giải Phương trình Tìm Biến[sửa]

  1. Nhân chéo hai phân số. Đối với các bài toán về tính tương đương đòi hỏi sử dụng công thức nghiệm bậc hai, chúng ta vẫn bắt đầu bằng cách sử dụng phép nhân chéo. Tuy nhiên, bất kỳ phép nhân chéo nào liên quan đến việc nhân số hạng chứa biến với số hạng chứa biến khác đều có khả năng cho ra một biểu thức mà không thể dễ dàng giải được bằng phương pháp đại số. Trong những trường hợp như thế này, bạn sẽ cần phải sử dụng các kỹ thuật như phân tích thành thừa số và/hoặc công thức nghiệm bậc hai.[4]
    • Ví dụ, xét phương trình sau ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Bước 1, ta nhân chéo:
      • (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
      • 4 × 3 = 12
      • 2x2 - 2 = 12.
  2. Biểu diễn phương trình dưới dạng phương trình bậc hai. Lúc này, chúng ta phải biểu diễn phương trình dưới dạng bậc hai (ax2 + bx + c = 0), trong đó chúng ta đặt phương trình bằng 0. Trong trường hợp này, chúng ta trừ cả hai vế cho 12 để được 2x2 - 14 = 0.
    • Một số giá trị có thể bằng 0. Mặc dù 2x2 - 14 = 0 là dạng phương trình đơn giản nhất, nhưng phương trình bậc hai đúng ra của nó là 2x2 + 0x + (-14) = 0. Nó sẽ giúp phản ánh đúng dạng thức của phương trình bậc hai ngay cả khi một số giá trị là 0.
  3. Giải phương trình bằng cách thay các hệ số đã biết vào trong công thức nghiệm. Công thức nghiệm bậc hai (x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a) sẽ giúp chúng ta giải bài toán tìm x vào thời điểm này.[4] Đừng sợ vì công thức có vẻ dài. Đơn giản bạn chỉ lấy các giá trị từ phương trình bậc hai ở bước hai và thay chúng vào những vị trí tương ứng trước khi giải.
    • x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a. Trong phương trình, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0, và c = -14.
    • x = (-0 +/- √(02 - 4(2)(-14)))/2(2)
    • x = (+/- √( 0 - -112))/2(2)
    • x = (+/- √(112))/2(2)
    • x = (+/- 10.58/4)
    • x = +/- 2.64
  4. Kiểm tra đáp án bằng cách thay giá trị x trở lại vào phương trình bậc hai của bạn. Bằng cách thay giá trị x đã tìm được trở lại vào phương trình bậc hai của bạn từ bước hai, bạn có thể dễ dàng xác định đáp án là đúng hay sai.[4] Trong ví dụ này, bạn sẽ thay cả 2.64 và -2.64 vào trong phương trình bậc hai ban đầu.

Lời khuyên[sửa]

  • Chuyển phân số sang các phân số có giá trị tương đương thực sự là dạng thức nhân chúng với 1. Khi chuyển đổi 1/2 sang 2/4, thực ra là chúng ta nhân tử số và mẫu số với 2 hay chính là nhân 1/2 với 2/2, chính bằng 1.
  • Nếu muốn, biến đổi hỗn số thành phân số không chính tắc để giúp cho việc chuyển đổi dễ dàng hơn. Rõ ràng là không phải phân số nào bạn gặp cũng dễ chuyển đổi như ví dụ 4/8 của chúng ta trên đây. Chẳng hạn, hỗn số (ví dụ 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, v.v.) có thể khiến quá trình chuyển đổi phức tạp hơn một chút. Nếu bạn cần chuyển đổi một hỗn số sang một phân số tương đương, bạn có thể làm điều đó bằng hai cách: đổi hỗn số sang dạng phân số không chính tắc, sau đó chuyển đổi như bình thường, hoặc giữ nguyên dạng hỗn số và xem hỗn số là đáp án.
    • Để chuyển đổi một phân số không chính tắc, nhân phần số nguyên của hỗn số với mẫu số của phần phân số sau đó cộng nó vào tử số. Ví dụ, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Sau đó, nếu muốn, bạn có thể chuyển đổi sang các phân số tương đương khi cần thiết. Ví dụ, 5/3 × 2/2 = 10/6, vẫn tương đương với 1 2/3.
    • Tuy nhiên, chúng ta không cần phải chuyển đổi sang dạng phân số không chính tắc như trên. Bỏ qua phần số nguyên, chỉ chuyển đổi phần phân số, sau đó thêm phần số nguyên trở lại vào phần phân số đã chuyển đổi. Ví dụ, đối với 3 4/16, chúng ta sẽ chỉ nhìn vào 4/16. 4/16 &chia; 4/4 = 1/4. Thêm phần số nguyên trở lại, chúng ta có hỗn số mới là 3 1/4.

Cảnh báo[sửa]

  • Nhân và chia được sử dụng để tạo ra các phân số tương đương vì nhân và chia cho dạng thức phân số của số 1 (2/2, 3/3, vv…) theo định nghĩa không ảnh hưởng gì đến giá trị phân số ban đầu. Cộng và trừ lại không làm được như vậy.
  • Mặc dù bạn nhân tử số và mẫu số với nhau khi nhân phân số, nhưng bạn không được cộng hoặc trừ mẫu số khi cộng hoặc trừ phân số.
    • Như ví dụ trên đây, chúng ta thấy rằng 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Nếu thay vào đó ta cộng cho 4/4, đáp án sẽ hoàn toàn khác. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 hay 3/2, không đáp án nào bằng với 4/8.

Nguồn và Trích dẫn[sửa]

  1. ↑ http://www.themathpage.com/arith/equivalent-fractions.htm
  2. ↑ 2,0 2,1 http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/equivalent-fractions/
  3. ↑ http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U3/S22/S22_print.html
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
  • « Mới nhất
  • ‹ Mới hơn
  • Cũ hơn ›

Liên kết đến đây

Lấy từ “https://tusach.thuvienkhoahoc.com/index.php?title=Tìm_phân_số_tương_đương&oldid=144113”