Đại số 8/Chương IV/§4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Với $a\neq 0\,$ , nếu $ax+b=0\,$ thì $x={\frac {-b}{a}}$ . Thế còn $ax+b<0\,$ thì $x=?\,$

Lí thuyết

Định nghĩa

	Bất phương trình dạng: $ax+b<0\,$ (hoặc $ax+b>0\,$ , $ax+b\leq 0\,$ , $ax+b\geq 0\,$ ) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Hoạt động 1	Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn: a) 2x - 3 < 0;          b) 0.x + 5 > 0; c) 5x - 15 ≥ 0;          d) x2 > 0.

Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

Quy tắc chuyển vế

Từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc chuyển vế) để biến đổi tương đương bất phương trình:

	Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

VÍ DỤ 1	Giải các bất phương trình sau: a) x - 5 < 18;          b) 3x > 2x + 5 (có biểu diễn tập nghiệm trên trục số).

Lời giải	a) Ta có: x - 5 < 18 $\Leftrightarrow$ x < 18 + 5    (Chuyển vế -5 và đổi dấu thành 5) $\Leftrightarrow$ x < 23. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\{x|x<23\}\,$ . b) Ta có: 3x > 2x + 5 $\Leftrightarrow$ 3x - 2x > 5    (Chuyển vế 2x và đổi dấu thành -2x) $\Leftrightarrow$ x > 5. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\{x|x>5\}\,$ . Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 2	Giải các bất phương trình sau: a) x + 12 > 21;          b) -2x > -3x - 5.

Quy tắc nhân với một số

Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc nhân) để biến đổi tương đương bất phương trình:

	Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương; Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

VÍ DỤ 2	Giải các bất phương trình sau: a) 0,5x < 3;          b) $-{\frac {1}{4}}x<3$ (có biểu diễn tập nghiệm trên trục số).

Lời giải

a) Ta có: 0,5x < 3 $\Leftrightarrow$ 0,5x.2 < 3.2    (Nhân cả hai vế với 2) $\Leftrightarrow$ x < 6. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\{x|x<6\,\}$ . b) Ta có: $-{\frac {1}{4}}x<3$ $\Leftrightarrow -{\frac {1}{4}}.x.(-4)>3.(-4)$    (Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều) $\Leftrightarrow$ x > -12. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\{x|x>-12\,\}$ . Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 3	Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân): a) 2x < 24;          b) -3x < 27.

Hoạt động 4	Giải thích sự tương đương: a) x + 3 < 7 $\Leftrightarrow$ x - 2 < 2;          b) 2x < - 4 $\Leftrightarrow$ -3x > 6.

Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

VÍ DỤ 3	Giải bất phương trình 2x - 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Lời giải	Ta có: 2x - 3 < 0 $\Leftrightarrow$ 2x < 3    (Chuyển -3 sang vế phải và đổi dấu) $\Leftrightarrow$ 2x:2 < 3:2    (Chia hai vế cho 2) $\Leftrightarrow$ x < 1,5. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\{x|x<1,5\}\,$ và được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 5	Giải bất phương trình -4x - 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ 3, nhưng lưu ý khi nhân hai vế với số âm.

CHÚ Ý: Để cho gọn khi trình bày, ta có thể:

• Không ghi câu giải thích;
• Khi có kết quả x < 1,5 (ở ví dụ 3) thì coi là giải xong và viết đơn giản:

"Nghiệm của bất phương trình 2x - 3 < 0 là x < 1,5".

VÍ DỤ 4	Giải bất phương trình -4x + 12 < 0.

Lời giải	Ta có: -4x + 12 < 0 $\Leftrightarrow$ 12 < 4x $\Leftrightarrow$ 12:4 < 4x : 4 $\Leftrightarrow$ 3 < x. Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3.

Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn

VÍ DỤ 5	Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7.

Lời giải	Ta có: 3x + 5 < 5x - 7 $\Leftrightarrow$ 3x - 5x < -5 - 7 $\Leftrightarrow$ -2x < -12 $\Leftrightarrow$ -2x : (-2) > -12 : (-2) $\Leftrightarrow$ x > 6. Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 6.

Hoạt động 6	Giải bất phương trình -0,2x - 0,2 > 0,4x - 2.

BÀI TẬP

8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình có cùng tập nghiệm).

a)

b)

9. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không:

a) $x+2x^{2}-3x^{3}+4x^{4}-5<2x^{2}-3x^{3}+4x^{4}-6;\,$

b) $(-0,001)x>0,003.\,$

Xem thêm

• Đại số 8/Chương IV/§3. Bất phương trình một ẩn

Tài liệu tham khảo

• Sách in: Toán 8, tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục, 2004, trang 43.

---

<<< Đại số 8

Liên kết đến đây

• Đại số 10/Chương IV/§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn