Câu chuyện hấp dẫn về Giả thuyết Poincare
Đã hơn 10 năm kể từ ngày Wiles chứng minh định lý lớn Fermat, toán học mới lại có một câu chuyện lí thú xuất hiện rộng rãi trên các phương tiện truyền thông. Đầu tiên là sự phức tạp của Poincare conjecture, sau đó là tính tình cổ quái của Perelman, rồi tiếp nữa là đầu óc "đại hán" của "thừa tướng" Yau, và cuối cùng là giới luật sư vào cuộc. Tất cả những yếu tố trên khiến cho toán học trở thành một vấn đề thời sự, một điều rất hiếm đối với môn khoa học mà đa số vẫn cho là "ăn hại, tự sướng".
Tối ngày 20 tháng 6 (năm 2006), hàng trăm nhà vật lý, trong đó có 1 người đọat giải Nobel, tập trung tại một thính phòng cùa Friendship Hotel (FH) ở Bắc Kinh để nghe bài giảng của một nhà toán học TQ là Shing-Tung Yau. Vào cuối những năm 1970s, ở độ tuổi 20, Yau đã có một loạt các phát minh đột phá, mở đầu cuộc cách mạng của lý thuyết dây trong vật lý. Những thành tựu này đã mang lại cho Yau huy chương Fields – giải thưởng cao quý nhất trong Toán học – cùng với danh tiếng của một nhà toán học vô song.
Yau trở thành giáo sư toán học tại Đại học Havard, viện trưởng viện toán học tại Bắc Kinh và Hồng Kông, và thường xuyên đi lại giữa Mĩ và TQ. Bài giảng của Yau tại FH là 1 phần của một hội nghị quốc tế về lý thuyết dây do chính Yau tổ chức với sự hỗ trợ của chính phủ Trung Quốc. Một trong những mục đích của hội thảo là quảng bá những khám phá gần đây trong lĩnh vực vật lý lý thuyết của TQ. (Hơn 6000 sinh viên đã đến nghe bài giảng chính của hội nghị do người bạn thân của Yau, Stephan Hawking, trình bày tại Great Hall of the People). Chỉ một vài người tham dự có thể hiểu được nội dung bài giảng của Yau: Giả thuyết Poincare (Poincare Conjecture – PC). Đây là một bài toán 100 tuổi cực kì phức tạp, liên quan đến đặc điểm của những mặt cầu 3 chiều. PC được các nhà toán học xem như “ chén thánh” (Holy Grail) (muốn biết chén thánh là gì có thể đọc Tân ước hoặc Da Vinci Code – ND) vì tầm quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ học; và cũng bởi vì mọi nỗ lực chứng minh PC trong quá khứ đều thất bại.
Yau, một người đàn ông nhỏ bé 57 tuổi, đứng trên bục giảng với 1 tay bỏ trong túi quần cùng với cặp kính gọng đen giản dị, trình bày với các thính giả một cách chứng minh PC do hai học trò của ông là Xi-Ping Zhu và Huai-Dong Cao hoàn thành cách đây vài tuần. “Tôi rất hài lòng về công trình của Zhu và Cao”, Yau nói, “Các nhà toán học Trung Quốc có lý do để tự hào về thành tựu lớn lao trong việc giải quyết trọn vẹn siêu bài toán này”. Yau nói rằng Zhu và Cao mắc nợ người đồng sự lâu năm của ông là Hamilton, cũng là người có công lớn nhất nhất trong việc giải quyết PC. Yau cũng nhắc đến Grigory Perelman, một nhà toán học Nga, người mà Yau thừa nhận là có những đóng góp quan trọng. Tuy nhiên, Yau nói: “trong công trình tuyệt diệu của Perelman, rất nhiều ý tưởng chìa khoá của chứng minh chỉ được phác thảo và trình bày sơ lược. Chúng chưa hoàn thiện”. Yau cũng nói thêm: “Chúng tôi mong muốn Perelman sẽ bình luận về chứng minh này. Nhưng Perelman đang ở St. Petersburg và từ chối giao tiếp với mọi người”
Trong 90 phút, Yau thảo luận về những chi tiết kĩ thuật trong chứng minh của các học trò. Khi ông kết thúc, không ai đưa ra câu hỏi nào. Tuy nhiên, trong tối hôm đó, một nhà vật lý Brazil đã viết thông báo về bài giảng của Yau lên blog của mình. “Có thể chẳng bao lâu nữa, Trung Quốc sẽ đứng đầu cả trong toán học” anh viết.
Grigory Perelman một ẩn sĩ thực sự. Cuối tháng 12 năm 2005, anh đã bỏ công việc nghiên cứu của mình tại Viện Toán Steklov, St. Petersburg. Anh chỉ có vài người bạn và sống với mẹ trong một khu chung cư ở ngoại ô thành phố. Dù chưa bao giờ đồng ý phỏng vấn trước đây, nhưng anh đã cư xử thân thiện và thẳng thắn khi chúng tôi đến thăm anh vào cuối tháng 6 ngay sau cuộc hội thảo của Yau. Anh đưa chúng tôi đi bộ dạo quanh thành phố. “Tôi đang tìm kiếm một vài người bạn, và họ không cần phải là những nhà toán học” anh nóí. Trước hội nghị của Yau một tuần, Perelman đã dành nhiều thời gian để thảo luận về PC với ngài John M. Ball, vị chủ tịch 58 tuổi của hội toán học thế giới (I.M.U), một tổ chức có nhiều ảnh hưởng trong cộng đồng toán học. Cuộc gặp tại một trung tâm hội thảo trong một lâu đài trang nghiêm nhìn ra sông Neva, đã diễn ra không bình thường. Vào cuối tháng 5, một hội đồng gồm 9 nhà toán học kiệt xuất đã bỏ phiếu chọn Perelman là người được nhận huy chương Fields vì công trình của anh về PC; và Chủ tịch Ball đã đến St. Petersburg để thuyết phục Perelman đến nhận giải thưởng trong lễ trao giải tại Đại hội Toán học thế giới (cứ 4 năm lại tổ chức 1 lần) vào ngày 22 tháng 8 tại Madrid.
Một ý nghĩa của huy chương Fields, cũng như giải Nobel, là mong muốn đưa khoa học vượt lên trên những cuộc đối đầu giữa các quốc gia. Các nhà toán học Đức bị cấm cửa trong đại hội lần đầu tiên của I.M.U tổ chức vào năm 1924. Cho dù việc cấm này đã bị bãi bỏ trong các đại hội lần sau, những tổn thương do nó gây ra đã đưa đến việc đặt ra giải thưởng Fields - năm 1936 - với tiêu chí "mang tính quốc tế và khách quan ở mức tối đa có thể được".
Tuy vậy, huy chương Fields chỉ được trao 4 năm một lần cho 2 đến 4 nhà toán học, không chỉ để tôn vinh những thành tựu trong quá khứ, mà còn để khuyến khích các nghiên cứu trong tương lai. Vì thế, chỉ những nhà toán học không quá 40 tuổi mới được nhận huy chương cao quý này. Trong những thập niên gần đây, khi số lượng các nhà toán học chuyên nghiệp càng ngày càng nhiều, uy tín của huy chương Fields ngày càng tăng. Trong gần 70 năm, chỉ có 44 huy chương được trao, trong đó có 3 huy chương dành cho các công trình liên quan mật thiết với PC, và không có nhà toán học nào từ chối giải thưởng. Vậy mà trong buổi gặp gỡ kể trên, Perelman đã nói với Ball rằng anh không có ý muốn nhận giải thưởng này. “Tôi từ chối”, anh nói một cách đơn giản.
Trong vòng 8 tháng bắt đầu từ tháng 11 năm 2002, Perelman đã post chứng minh cho PC – gồm 3 phần - lên Internet. Cũng giống như một bản sonnet hay aria, một chứng minh toán học được trình bày rõ ràng trong khuôn khổ các quy ước. Nó được bắt đầu với những tiên đề, hoặc các chân lý được thừa nhận, và sử dụng một loạt các suy luận logic để đưa ra kết luận cuối cùng. Nếu những suy luận logic là chặt chẽ thì kết quả sẽ trở thành định lý. Không giống như các chứng minh trong luật hay khoa học, vì dựa trên các chứng cứ nên luôn cần phải thẩm định và tu chỉnh, một chứng minh toán học chính xác cần phải mang tính hoàn hảo. Sự chính xác của chứng minh được quyết định bởi các tạp chí có phản biện. Để đảm bảo công bằng, những người phản biện được người chủ biên lựa chọn rất cẩn thận, và tên tác giả bài báo được giữ kín. Nếu được đăng, chứng minh này sẽ được coi là hoàn thiện, chính xác và mới mẻ.
Theo những tiêu chuẩn trên, bài chứng minh của Perelman là khó chấp nhận. Nó sơ lược một cách đáng ngạc nhiên so tham vọng của nó; các lập luận logic thường quá cô đọng trong khi chúng cần phải được khai triển chi tiết trên nhiều trang viết. Hơn nữa, bài chứng minh không hề nhắc đến PC (và bao gồm nhiều kết quả lí thú nhưng ít liên quan đến chủ đề trung tâm - tối nghĩa -> bỏ qua). Tuy vậy, trong vòng bốn năm sau đó, ít nhất 2 nhóm các chuyên gia đã kiểm tra chứng minh của Perelman và họ không tìm thấy sai sót nào nghiêm trọng. Cộng đồng toán học nhất trí công nhận: Perelman đã chứng minh thành công PC. Đáng tiếc, sự phức tạp của chứng minh và các lập luận cô đọng ở những vị trí nhạy cảm của chứng minh làm cho bài báo dễ bị tấn công. Chỉ có một vài nhà toán học có trình độ cao để đánh giá và bảo vệ nó.
Sau khi qua Mỹ thực hiện một loạt bài giảng về chứng minh của mình trong năm 2003, Perelman trở về St. Petersburg. Từ đó, mặc dù vẫn tiếp tục trả lời các câu hỏi về chứng minh của mình bằng e-mail, anh hầu như không liên lạc với các đồng nghiệp. Không ai biết lý do tại sao. Perelman không hề có ý muốn gửi chứng minh của mình đến các tạp chí. Tuy nhiên, ít ai nghi ngờ việc Perelman, tròn 40 tuổi vào ngày 13 tháng 6, xứng đáng được nhận một Huy chương Fields. Khi Ball lập kế hoạch tổ chức đại hội I.M.U 2006, ông bắt đầu nhận ra rằng đây sẽ là một sự kiện lịch sử. Hơn 3000 toán học gia sẽ tham dự, và nhà Vua Tây Ban Nha là Juan Carlos đã đồng ý chủ trì lễ trao giải. Bản tin của I.M.U dự báo rằng Đại hội này sẽ được ghi nhớ đến như là “ cột mốc đánh dấu việc PC trở thành định lý ”. Để chắc chắn Perelman sẽ có mặt tại Đại hội, Chủ tịch Ball quyết định bay đến St. Petersburg.
Ball muốn giữ kín chuyến đi của mình bởi lẽ tên tuổi những người được giành huy chương Fields sẽ chỉ được công bố chính thức tại lễ trao giải. Trung tâm hội thảo, nơi ông gặp Perelman, là một nơi vắng vẻ. Bỏ ra 10 tiếng đồng hồ trong 2 ngày, Ball đã cố gắng thuyết phục Perelman đồng ý nhận giải thưởng. Perelman - một người đàn ông mảnh khảnh, hói đầu với bộ râu quai nón, lông mày rậm cùng với đôi mắt xanh lơ – đã lịch sự lắng nghe Ball. Dù đã 3 năm Perelman không sử dụng tiếng Anh, nhưng anh vẫn né tránh một cách trôi chảy lời nài nỉ của Ball. Perelmal cũng đi cùng Ball một quãng đường dài - đi bộ là một sở thích của anh. Và như anh đã tóm tắt lại cuộc hội thoại với Ball với chúng tôi hai tuần sau đó: “ Ông ấy đưa ra 3 lựa chọn: đồng ý nhận giải và dự đại hội; đồng ý nhận giải nhưng không dự đại hội, và sau đó chúng tôi sẽ gửi tấm huy chương cho anh; và thứ 3 là không đồng ý nhận giải thưởng. Ngay từ đầu, tôi đã nói với ông ấy là tôi lựa chọn cách thứ 3 ”. Perelman giải thích rằng anh không quan tâm đến huy chương Fields. “ Nó hoàn toàn không phù hợp với tôi ” anh nói. “ Nếu mọi người đều đồng ý chứng minh đúng thì tôi không cần một sự thừa nhận nào nữa ”.
Cả cuộc đời làm toán của tôi bị giả thuyết Poincare ám ảnh ”, John Morgan, trưởng khoa toán đại học Columbia thừa nhận, “ Tôi không nghĩ là sẽ có lúc tôi được nhìn thấy một lời giải. Tôi đã nghĩ chẳng có ai có thể làm gì được nó ”.
Các chứng minh cho PC xuất hiện hàng năm gần đây kể từ khi Poincare thiết lập PC cách đây hơn 100 năm. Poincare là em họ của Raymond Poincare, tổng thống Pháp thời đại chiến I, và là một trong những nhà toán học sáng tạo nhất của thế kỷ 19. Dáng người thanh mảnh, bị cận thị, và nổi tiếng với tật đãng trí, ông đã thiết lập bài toán trứ danh của mình vào năm 1904, tám năm trước khi ông qua đời. PC được ông đặt trong một bài báo dài 65 trang như là một câu hỏi xuất thần (offhand question).
Poincare đã không thể tạo ra tiến bộ nào để chứng minh giả thuyết của mình. Ông dự đoán: “Cette question nous entraînerait trop loin” (“Câu hỏi này sẽ đưa chúng ta đi rất xa”). Ông là người sáng lập ra ngành topo, còn được biết đến dưới tên "hình học của màng cao su ", do nội dung của topo là những tính chất nội tại của không gian. Đối với một nhà topo thì không có sự khác nhau giữa một cái nhẫn và một cốc cà phê có quai cầm. Cả hai đều có một cái lỗ và có thể được biến đổi sao cho cái này trở nên giống cái kia mà không cần phải cắt rời chúng ra. Poincare sử dụng thuật ngữ đa tạpđể mô tả một không gian topo trừu tượng có kiểu như cái nhẫn hay tách cafe. Đa tạp 2 chiều đơn giản nhất là bề mặt của một trái bóng, và đối với các nhà topo thì nó vẫn là 1 mặt cầu ngay cả khi nó bị dẫm bẹp, bị căng ra hay xoắn lại. Một vật thể như vậy là còn gọi là một song cầu, gọi như vậy vì nó có thể mang bất cứ hình thù gì. Có được sự đồng nhất này là do vật thể đó " đơn liên ", có nghĩa là không có một lỗ hổng nào trên nó. Không giống như một trái bóng, một cái nhẫn (mặt xuyến) hoàn toàn không phải là một mặt cầu. Nếu bạn buộc một thòng lọng quanh một quả bóng, bạn có thể dễ dàng thắt nó thành 1 nút bằng cách trượt trên bề mặt của quả bóng (và điều đó chẳng phá vỡ mặt quả bóng – ND). Nhưng nếu bạn buộc dây thòng lọng quanh một cái nhẫn xuyên qua cái lỗ ở giữa thì bạn không thể thắt lại thành nút mà không cắt cái nhẫn ra.
Những đa tạp hai chiều đã được hiểu rõ từ giữa thế kỉ 19. Nhưng vấn đề đặt ra là những gì đúng trong trường hợp hai chiều có đúng trong trường hợp ba chiều không thì người ta chưa rõ. Poincare đưa ra giả thuyết rằng tất cả những đa tạp 3 chiều, đóng, đơn liên - những khối không có lỗ và có kích thước hữu hạn - đều là mặt cầu. Tầm quan trọng ẩn chưa trong giả thuyết này là nó giúp các nhà khoa học hiểu biết về vũ trụ. Tuy vậy, chứng minh giả thuyết này bằng toán học hoàn toàn không dễ dàng. Phần lớn các cố gắng đều trắng tay, nhưng một vài nỗ lực cũng đã dẫn đến những phát minh toán học quan trọng bao gồm bổ đề Dehn, định lý mặt cầu, và định lý khuyên.
Trong những năm 1960, topo đã trở thành một trong những lĩnh vực sôi động nhất của toán học, và các nhà topo trẻ tuổi liên tục tấn công PC. Một phát hiện quan trọng làm cho đa số các nhà toán học phải kinh ngạc là chứng minh PC trong trường hợp các đa tạp có số chiều lớn hơn có 3 dễ hơn là với các đa tạp 3 chiều. Đến năm 1982, PC đã được chứng minh trong với mọi đa tạp có số chiều khác 3. Vào năm 2000, Viện Toán Clay, một quỹ tư nhân hỗ trợ nghiên cứu toán học, đã đưa PC vào danh sách 7 bài toán mở quan trọng nhất trong toán học và đã đưa ra giải thưởng 1m USD ai chứng minh được nó.
“ Cả cuộc đời làm toán của tôi bị giả thuyết Poincare ám ảnh ”, John Morgan, trưởng khoa toán đại học Columbia thừa nhận, “ Tôi không nghĩ là sẽ có lúc tôi được nhìn thấy một lời giải. Tôi đã nghĩ chẳng có ai có thể làm gì được nó ”.
Thủa ấu thơ, Grigory Perelman không mơ ước trở thành nhà tóan học. “ Tôi không bao giờ quyết định,” anh nói với chúng tôi trong cuộc gặp. Chúng tôi gặp nhau bên ngoài khu chung cư tại Kupchino, nơi anh sống. Xung quanh khu chung cư này có những tòa nhà cao tầng buồn tẻ. Cha của Perelman là một kỹ sư điện và ông thường xuyên kích thích sự hứng thú của anh với toán học. “ Cha tôi thường giao những bài toán logic và những loại toán khác cho tôi làm,” anh nói. “ Ông cũng mua nhiều sách cho tôi đọc, dạy tôi chơi cờ vua. Cha tôi rất tự hào về tôi. ”. Trong số những cuốn sách do cha mình mua cho, có quyển “ Vật lý giải trí ”, một best-seller tại Liên Xô trong những năm 1930. Trong lời mở đầu, tác giả cuốn sách đã mô tả nội dung của nó là “ những câu hỏi hóc búa, nát óc, những giai thoại thú vị và những so sánh bất ngờ ”, và ông ta cũng nói thêm, “ tôi đã trích dẫn nhiều từ Jules Verne, H. G. Wells, Mark Twain và các nhà văn khác, bởi lẽ ngoài tính giải trí, những thí nghiệm kỳ lạ mà các nhà văn này mô tả còn có thể được sử dụng làm tài liệu minh họa rất tốt trong các lớp vật lý ”. 2 trong số các chủ đề trong cuốn sách bao là: làm thế nào có thể nhảy xuống từ một chiếc xe đang chạy, và tại sao “ theo định luật của sự nổi, chúng ta không bao giờ bị chìm trong Biển Chết.”
Một điều đáng lưu ý là trong khi xã hội Nga khá coi trọng toán học, thì đối với Perelman - thật ngạc nhiên - làm toán chỉ là một niềm vui. Khi 14 tuổi, anh là một ngôi sao sáng trong câu lạc bộ Toán ở địa phương. Năm 1982, thời điểm Shing-Tung Yau nhận huy chương Fields, thì Perelman đoạt huy chương vàng IMO tổ chức tại Budapest với số điểm tuyệt đối (Ngoài Perelman, cuộc thi năm đó chỉ còn 2 người có số điểm tuyệt đối, 1 trong 2 người là GS Lê Tự Quốc Thắng – ND). Anh là một người bạn tốt trong đội tuyển nhưng không tỏ ra thân thiện – “ [Khi đó] Tôi không có bạn thân,” Perelman nói. Anh là một trong hai hay ba học sinh gốc Do Thái trong lớp học, và anh có rất thích nghe opera, một điểm khác biệt so với các bạn cùng trang lứa. Mẹ anh, một giáo viên toán tại một trường cao đẳng kỹ thuật và là một người biết chơi violon, bắt đầu đưa Perelman đến nhà hát opera khi anh 6 tuổi. Khi 15 tuổi, anh thường tiết kiệm tiền để mua các băng đĩa. Anh đã run lên vì xúc động khi có được đĩa nhạc buổi trình diễn nổi tiếng tác phẩm “ La Traviata ” trong năm 1946, với Licia Albanese trong vai Violetta. “ Giọng hát của cô ấy thật là tuyệt vời ”, anh nói.
Perelman trở thành sinh viên trường đại học Leningrad năm 1982, khi mới 16 tuổi. Anh vàp học trong các lớp cao cấp về hình học, và giải quyết một bài toán được đặt ra bởi Yuri Burago, một nhà toán học làm việc tại Viện Steklov, người hướng dẫn Perelman làm luận án tiến sĩ sau này. “ Có rất nhiều sinh viên có khả năng tốt, nhưng họ thường trả lời mà không suy nghĩ kĩ ”, Burago nói. “ Nhưng Grisha thì khác. Anh ta suy nghĩ rất sâu sắc và luôn có câu trả lời chính xác. Anh ta luôn kiểm tra hết sức cẩn thận ”. Burago nói thêm, “ Anh ấy học không nhanh. Tốc độ là vô nghĩa. Toán học không phụ thuộc vào tốc độ. Toán học là phải sâu sắc.”
Đầu thập niên 1990 tại viện Steklov, Perelman trở thành chuyên gia về hình học của các không gian Riemanian – Alexandrov, sự mở rộng của hình học Euclide cổ điển, và anh bắt đầu đăng bài tại các tạp chí toán học hàng đầu của Nga và Mỹ. Năm 1992, Perelman được mời đến làm việc trong một học kì tại đại học New York và một học kì tại đại học Stony Brook. Mùa thu năm đó, thời điểm Perelman lên đường sang Mỹ, kinh tế Nga lâm vào tình trạng khủng hoảng. Dan Stroock, một nhà toán học ở M.I.T nhắc lại việc đã kẹp một ít đôla trong những chiếc bánh ngọt rồi lén lút gửi cho một nhà toán học đã về hưu tại Viện Steklov và đang sống trong cảnh nghèo khổ, một tình trạng phổ biến đối với các nhà toán học Nga thời kì đó.
Perelman cảm thấy hài lòng khi đến nước Mỹ, trung tâm của cộng đồng các nhà toán học thế giới. Anh chỉ mặc duy nhất một chiếc áo khoác nhung hằng ngày và nói với các bạn tại Đại học New York là anh đang ăn kiêng, thực đơn gồm bánh mì, pho mát và sữa. Anh thích đi dạo ở Brooklyn, nơi anh có thể thăm một vài người họ hàng và có thể mua bánh mì đen truyền thống của Nga. Một vài người bạn cùng trường với Perelman rất ngạc nhiên về các móng tay dài đến vài phân của anh. “ Nếu chúng đang mọc, thì tại sao tôi lại không để chúng tiếp tục mọc ?” anh trả lời mỗi khi được hỏi tại sao lại không cắt móng tay. Mỗi tuần một lần, Perelman cùng với Gang Tian, một nhà toán học trẻ tuổi ngưòi Trung Quốc, lái xe đến Princeton để tham dự một seminar tại Viện Nghiên cứu Cao Cấp (I.A.S).
Trong vòng nhiều thập niên, I.A.S và đại học Princeton ở gần đó là các trung tâm nghiên cứu topo. William Thurston, một nhà toán học ở Princeton, người thích kiểm chứng các ý tưởng của mình bằng cách dùng kéo cắt những tờ giấy rồi xếp chúng lại, đã đưa ra một nguyên tắc phân loại các đa tạp 3 chiều vào cuối những năm 1970s. Ông lý luận: mặc dù các đa tạp có thể được tạo ra mang nhiều hình dạng khác nhau, chúng có những hình dạng “ yêu thích ”, cũng giống như một tấm lụa khoác vào một hình nhân mẫu để nó có hình dáng của hình nhân mẫu đó.
Thurston đề xuất rằng có thể cắt mọi đa tạp 3 chiều ra thành các phần, mỗi phần mang một 1 trong 8 loại dạng hình dạng, trong đó có hình dạng mặt cầu. Lý thuyết của Thurston – còn được biết đến với tên gọi là Giả thuyết hình học hóa (Geometrization Conjecture – GC)mô tả tất cả các đa tạp 3 chiều có thể có, và do đó là một sự tổng quát hóa tuyệt vời của PC. Việc giải quyết GC dĩ nhiên sẽ kéo theo việc giải quyết PC. Chứng minh được GC (nói riêng là PC) sẽ “ mở ra các cánh cửa ” như nhà toán học ở Đại học Havard là Barry Mazur đã nói. Trong nhiều năm, những mối liên hệ của hai giả thuyết này với các lĩnh vực khác có thể không được nhận ra một cách rõ ràng, nhưng đối với toán học thì 2 bài toán này có vai trò rất quan trọng. “ Nó giống như định lý Pytago của thế kỷ 20,” Mazur nói thêm. “Nó sẽ làm thay đổi mỹ quan toán học ”.
Năm 1982, Thurston được trao huy chương Fields vào năm 1982 vì những đóng góp quan trọng của ông cho topo. Cùng năm đó, một nhà toán học ở đại học Cornell là Hamilton đăng một bài báo xoay quanh một phương trình, cái còn gọi là dòng Ricci, và Hamilton cảm thấy phương trình này có thể hữu ích cho việc giải quyết GC và PC. Giống như phương trình truyền nhiệt mô tả cách thức nhiệt độ phân bố đồng đều xuyên suốt một mẫu vật chất: ví dụ như nhiệt truyền từ phần nóng hơn sang phần lạnh hơn trong một tấm thép tạo nên một nhiệt độ đồng đều hơn. Dòng Ricci, bằng sự làm trơn các điểm không chính quy, sẽ gắn vào các đa tạp loại hình học đồng đều hơn.
Hamilton, con trai của một bác sĩ ở Cincinnati, là một hình ảnh khá kì cục với trong giới toán học vốn bị quy ước bởi các khuôn mẫu. Dáng vẻ bặm trợn, ông cưỡi ngựa, chơi lướt ván, và có rất nhiều bạn gái. Ông coi Toán học chỉ là một niềm vui trong cuộc sống. Ở tuổi 49, ông được đánh giá là một giảng viên kì diệu, nhưng ông có rất ít công trình đăng trên các tạp chí, ngoại trừ một loạt bài seminar về dòng Ricci, và ông cũng chỉ hướng dẫn một vài nghiên cứu sinh. Perelman đã đọc các bài báo của Hamilton và đã đến nghe buổi nói chuyện của Hamilton tại I.A.S. Vào cuối buổi nói chuyện, Perelman rụt rè đến bắt chuyện với Hamilton.
“Tôi rất muốn hỏi ông ấy một vài điều,” Perelman nhớ lại. “Ông ấy mỉm cười và rất kiên nhẫn. Ông thậm chí còn nói với tôi một vài điều, những cái mà vài năm sau ông mới đăng báo. Ông không ngần ngại khi nói với tôi về những điều đó. Sự cởi mở và hào phóng của Hamilton đã thực sự cuốn hút tôi. Tôi không thể nói rằng hầu hết các nhà toán học đều “dễ dãi” như Hamilton”.
“Khi đó tôi đang làm việc với những đối tượng khác, dù đôi khi tôi cũng suy nghĩ về dòng Ricci”, Perelman nói thêm. “Bạn không cần phải là một nhà toán học vĩ đại để nhận thấy rằng dòng chảy Ricci có thể hữu ích cho sự hình học hóa. Tôi cảm thấy mình không hiểu nhiều về nó và, do đó tôi hỏi ông ấy rất nhiều”.
