Phân tích một số thành các thừa số

Thừa số của một số cho trước là những số mà khi nhân với nhau sẽ có tích bằng số cho trước đó. Nghĩ theo cách khác, mọi số đều là tích của nhiều thừa số. Học cách phân tích ra thừa số - hay tách một số thành các thừa số - là kỹ năng toán học quan trọng không chỉ được áp dụng trong số học cơ bản mà còn trong đại số, tích phân và hơn thế nữa. Xem Bước 1 để bắt đầu học cách phân tích một số ra thừa số!

Các bước

Phân tích Số nguyên Cơ bản ra thừa số

1. Viết số của bạn. Để bắt đầu phân tích, bạn cần một con số - bất kỳ con số nào, nhưng để phù hợp với mục đích bài viết, hãy bắt đầu với một số nguyên đơn giản. Số nguyên là những số không có cấu tạo phân số hoặc phần thập phân (số nguyên bao gồm toàn bộ số nguyên dương và số nguyên âm).
   • Hãy chọn số 12. Viết số này ra giấy nháp.
2. Tìm thêm hai số nữa mà tích của chúng là con số ban đầu bạn chọn. Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể viết thành tích của hai số nguyên khác. Kể cả số nguyên tố cũng có thể viết thành tích của 1 và chính nó. Nghĩ về một số dưới dạng tích của hai thừa số có thể khiến bạn phải tư duy "ngược" - hẳn là bạn đã tự hỏi, "phép nhân nào có kết quả bằng con số này?"
   • Với ví dụ của chúng ta, 12 có một vài thừa số - 12 × 1, 6 × 2, và 3 × 4 đều bằng 12. Vì vậy, ta có thể nói rằng thừa số của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, và 12. Hãy sử dụng thừa số 6 và 2 cho mục đích của bài.
   • Các số chẵn đặc biệt dễ phân tích bởi mọi số chẵn đều có thừa số là 2. 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2, v.v.
3. Xác định xem liệu các thừa số hiện tại có thể phân tích tiếp được nữa không. Rất nhiều số - đặc biệt là các số lớn - có thể phân tích thêm vài lần. Khi bạn đã tìm được hai thừa số của một số cho trước, nếu bản thân một thừa số cũng có thừa số riêng của nó, bạn cũng có thể phân tích thừa số này thành các thừa số nhỏ hơn. Tùy từng trường hợp, việc phân tích có thể có hoặc không có lợi.
   • Theo ví dụ của chúng ta, số 12 đã được phân tích thành 2 × 6. Để ý rằng 6 cũng có thừa số của chính nó - 3 × 2 = 6. Vì vậy, ta có thể nói rằng 12 = 2 × (3 × 2).
4. Dừng phân tích khi tất cả các thừa số đều là số nguyên tố. Số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ví dụ, 2, 3, 5, 7, 11, 13 và 17 là những số nguyên tố. Khi bạn đã phân tích một số thành tích của các thừa số nguyên tố thì việc phân tích thêm là thừa thãi. Phân tích thêm các thừa số này thành tích của chính nó và một không có tác dụng gì, vì vậy bạn có thể dừng lại.
   • Trong ví dụ của chúng ta, 12 đã được phân tích thành 2 × (2 × 3). 2, 2, và 3 đều là các số nguyên tố. Nếu phân tích thêm nữa, chúng ta phải phân tích thành (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)), thường không có tác dụng gì cả và được bỏ qua.
5. Phân tích số âm theo cách tương tự. Cách phân tích các số âm cũng gần như tương đồng với cách phân tích các số dương. Điểm khác biệt duy nhất là tích các thừa số phải là một số âm, nên số lượng các thừa số mang giá trị âm phải là số lẻ.
   • Ví dụ, hãy phân tích -60. Theo đó:
     • -60 = -10 × 6
     • -60 = (-5 × 2) × 6
     • -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
     • -60 = -5 × 2 × 3 × 2. Lưu ý rằng chỉ cần số lượng các thừa số âm là số lẻ thì tích của tất cả các thừa số cũng sẽ là số âm, tương tự như khi chỉ có một thừa số âm. Ví dụ, -5 × 2 × -3 × -2 cũng bằng -60.

Cách thức Phân tích Các Số Lớn thành thừa số

1. Viết số của bạn phía trên một bảng có 2 cột. Việc phân tích số nhỏ ra thừa số thường khá đơn giản, nhưng phân tích số lớn sẽ phức tạp hơn. Phần lớn chúng ta sẽ gặp khó khăn khi phân tích một số có 4 hoặc 5 chữ số ra thừa số nguyên tố mà không được dùng giấy bút. May mắn là khi kẻ bảng, quá trình này trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Viết số của bạn phía trên bảng chữ T với hai cột – bạn sẽ dùng bảng này để theo dõi danh sách thừa số tăng lên.
   • Cho ví dụ của chúng ta, hãy chọn một số có 4 chữ số để phân tích ra thừa số - 6.552.
2. Chia số của bạn cho một thừa số nguyên tố nhỏ nhất có thể. Chia số của bạn cho một thừa số nguyên tố nhỏ nhất (ngoài 1) mà số của bạn chia hết cho thừa số này và không để lại số dư. Viết thừa số nguyên tố vào cột bên trái và ghi thương của phép chia ngang hàng ở cột bên phải. Như lưu ý ở trên, các số chẵn sẽ dễ phân tích hơn vì thừa số nguyên tố nhỏ nhất của chúng luôn luôn là 2. Mặt khác, số lẻ sẽ có thừa số nguyên tố nhỏ nhất khác 2.
   • Ở ví dụ của chúng ta, vì 6.552 là số chẵn, ta biết được 2 là thừa số nguyên tố nhỏ nhất của số này. 6.552 ÷ 2 = 3.276. Ở cột bên trái, ta viết 2, và 3.276 ở cột bên phải.
3. Tiếp tục phân tích thành thừa số theo cách này. Tiếp theo, chia số ở cột bên phải cho thừa số nguyên tố nhỏ nhất của nó, thay vì sử dụng con số phía trên bảng. Viết thừa số nguyên tố được chọn vào cột bên trái và kết quả mới của phép chia vào cột bên phải. Tiếp tục quá trình này – sau mỗi lần lặp lại, các số ở cột phải sẽ nhỏ dần đi.
   • Hãy tiếp tục phân tích. 3.276 ÷ 2 = 1.638, vậy ta sẽ viết thêm một số 2 dưới đáy cột bên trái, và viết 1.638 dưới đáy cột bên phải. 1.638 ÷ 2 = 819, vậy ta sẽ viết 2 và 819 dưới đáy hai cột như khi nãy.
4. Phân tích số lẻ bằng cách thử chia nó cho các thừa số nguyên tố nhỏ. Việc tìm thừa số nguyên tố nhỏ nhất của các số lẻ sẽ khó hơn số chẵn bởi chúng không tự động có 2 là thừa số nguyên tố nhỏ nhất. Khi bạn có kết quả là một số lẻ, hãy thử chia nó cho một vài số nguyên tố nhỏ khác 2 - 3, 5, 7, 11, và tiếp tục - cho tới khi số lẻ này chia hết cho một số nguyên tố và không để lại số dư. Đó chính là thừa số nguyên tố nhỏ nhất.
   • Với ví dụ của chúng ta, ta được kết quả là 819. 819 là số lẻ, vì vậy 2 không phải là thừa số của 819. Thay vì viết 2, chúng ta sẽ thử số nguyên tố tiếp theo: 3. 819 ÷ 3 = 273 và không có số dư, vì vậy ta viết 3 và 273.
   • Khi đoán thừa số, bạn nên thử tất cả các số nguyên tố có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của thừa số lớn nhất bạn đã tìm được. Nếu số của bạn không chia hết cho bất kỳ thừa số nào, có thể bạn đang cố phân tích một số nguyên tố, và quá trình phân tích ra thừa số có thể dừng lại ở đó.
5. Tiếp tục cho tới khi ra thương số là 1. Tiếp tục chia số ở cột bên phải với thừa số nguyên tố nhỏ nhất của nó cho tới khi bạn có số nguyên tố ở cột bên phải. Chia số này cho chính nó – bước này sẽ ghi nhận số đó vào cột bên trái và "1" ở cột bên phải.
   • Hãy hoàn tất việc phân tích con số của chúng ta. Xem giải thích chi tiết dưới đây:
     • Chia tiếp cho 3: 273 ÷ 3 = 91, không có số dư, vậy ta viết 3 và 91.
     • Hãy thử tiếp số 3: 3 không phải là thừa số của 91, và số nguyên tố nhỏ nhất liền sau đó (5) cũng không phải thừa số của 91, tuy nhiên 91 ÷ 7 = 13, không có số dư, vậy ta viết 7 và 13.
     • Hãy tiếp tục thử với 7: 7 không phải là thừa số của 13, 11 (số nguyên tố liền sau đó) cũng vậy, nhưng 13 có thừa số là chính nó: 13 ÷ 13 = 1. Vì thế, để hoàn tất bảng phân tích, ta viết 13 và 1. Ta có thể ngừng phân tích ở đây.
6. Những số ở cột bên trái chính là thừa số của con số bạn chọn ban đầu. Khi cột bên phải kết thúc với số 1, bạn đã hoàn thành. Các số ở cột bên trái chính là thừa số bạn cần tìm. Nói cách khác, tích của các số đó sẽ bằng con số ghi phía trên bảng. Nếu các thừa số này lặp lại nhiều lần, bạn có thể dùng ký hiệu lũy thừa để tiết kiệm diện tích. Ví dụ, nếu dãy thừa số của bạn có bốn số 2, bạn có thể viết 2⁴ thay vì 2 × 2 × 2 × 2.
   • Ở ví dụ của chúng ta, 6.552 = 2³ × 3² × 7 × 13. Đây là kết quả hoàn chỉnh sau khi phân tích 6.552 thành thừa số nguyên tố. Bất kể thứ tự thực hiện phép nhân như thế nào, tích cuối cùng sẽ bằng 6.552.

Lời khuyên

• Một điểm quan trọng là khái niệm số nguyên tố: một số chỉ có hai thừa số là 1 và chính nó. 3 là số nguyên tố bởi thừa số của nó chỉ là 1 và 3. Trái lại, 4 có thêm thừa số khác là 2. Số không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. (Bản thân số 1 không được coi là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số -- đó là trường hợp đặc biệt.)
• Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, và 23.
• Hiểu rằng một số được coi là thừa số của một số khác lớn hơn nếu số lớn hơn "chia hết cho số nhỏ hơn" – có nghĩa là, số lớn hơn chia được cho số nhỏ hơn và không để lại số dư. Ví dụ, 6 là thừa số của 24, vì 24 ÷ 6 = 4 và không có số dư. Trái lại, 6 không phải là thừa số của 25.
• Một vài số có thể được phân tích theo cách nhanh hơn, nhưng cách làm như trên luôn luôn hiệu quả, hơn nữa, các thừa số nguyên tố được liệt kê theo thứ tự lớn dần khi bạn hoàn thành.
• Hãy nhớ rằng chúng ta chỉ đề cập tới "số tự nhiên" – đôi khi được gọi là "số đếm": 1, 2, 3, 4, 5... Chúng ta sẽ không đi sâu vào số âm hoặc phân số, việc đó có thể được nêu ra ở những bài viết riêng.
• Nếu tổng các chữ số của số bị chia chia hết cho ba thì ba là thừa số của số bị chia đó. (819 có tổng các chữ số là 8+1+9=18, 1+8=9. Ba là thừa số của chín nên nó cũng là thừa số của 819.)

Cảnh báo

• Đừng làm thêm những việc không cần thiết. Khi đã loại bỏ được một giá trị thừa số, bạn không cần phải thử lại nữa. Khi ta đã chắc chắn rằng 2 không phải là thừa số của 819, chúng ta không cần phải thử lại với 2 trong suốt quá trình còn lại.

Những thứ bạn cần

• Giấy
• Bút viết, nên dùng bút chì và tẩy
• Máy tính (không bắt buộc)

Bài liên quan

• Tỉ lệ logarit
• Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
• Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
• Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit
• Kẻ thất bại và kẻ siêu thất bại

• « Mới nhất
• ‹ Mới hơn
• Cũ hơn ›

Liên kết đến đây

• Phân tích Một số Thành các Thừa số
• Phân tích một Số ra các thừa số