Định lý Pytago

Tập tin:Pythagoras theorem leonardo da vinci.png

Có hàng trăm cách chứng minh định lý Pytago. Cách chứng minh được thể hiện trong hình này là của Leonardo da Vinci

Trong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của một tam giác vuông.

Định lý này được đặt tên theo nhà vật lí học và nhà toán học Hy Lạp Pytago sống vào thế kỷ 6 TCN, mặc dù định lý toán học này đã được biết đến bởi các nhà toán học La Mã (trong quyển Sulbasutra của Baudhayana và Katyayana), Trung Quốc và Babylon từ nhiều thế kỷ trước.

Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pytago được cho là nằm trong quyển Chu bễ toán kinh (周髀算经) khoảng năm 500 đến 200 TCN và Các nguyên tố của Euclid khoảng 300 năm TCN.

Tập tin:Theoreme Pythagore.gif

Định lý

Cách phát biểu của Euclid:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.

Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vuông; các cạnh kề góc vuông đó còn gọi là cạnh góc vuông thuộc tam giác đó; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông. Trong hình vẽ dưới, a và b là các cạnh kề(cạnh góc vuông), c là cạnh huyền:

Tập tin:Pythagorean.svg

300px

Pythagoras đã phát biểu định lý mang tên ông trong cách nhìn của hình học phẳng thông qua:

Diện tích hình vuông tím(hinh c) bằng tổng diện tích hình vuông đỏ (b) và xanh lam (a).

Tương tự, quyển tsubasa chép:

Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật tạo ra một diện tích bằng tổng diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình chữ nhật đó.

Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pytago dưới dạng hiện đại, chú ý rằng diện tích một hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh hình vuông đó:

Nếu một tam giác vuông có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì a² + b² = c²

Định lý đảo

Định lý đảo Pytago phát biểu là:

Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa mãn a² + b² = c², tồn tại một tam giác có các cạnh là a, b và c, và góc giữa a và b là một góc vuông.

Định lý đảo này cũng xuất hiện trong quyển Các nguyên tố và được phát biểu bởi Euclid là:

Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông.

Định lý tổng quát

Kết hợp cả định lý thuận và đảo, có thể viết định lý Pythagoras dưới dạng:

Một tam giác có ba cạnh a, b và c, thì nó là tam giác vuông với góc vuông giữa a và b khi và chỉ khi a² + b² = c²

Dùng khái niệm véctơ, có thể phát biểu định lý này là:

Cho hai véctơ ${\vec {u}}$ và ${\vec {v}}$ , $\Vert {\vec {u}}+{\vec {v}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {u}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {v}}\Vert ^{2}$ khi và chỉ khi ${\vec u}$ và ${\vec v}$ vuông góc với nhau.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác của các véctơ, định lý Pythagoras trở thành trường hợp đẳng thức của bất đẳng thức tam giác:

$||{\vec {u}}+{\vec {v}}||\leq ||{\vec {u}}||+||{\vec {v}}||.$

tương đương

$||{\vec {u}}+{\vec {v}}||^{2}\leq ||{\vec {u}}||^{2}+||{\vec {v}}||^{2}+2||{\vec {u}}||\cdot ||{\vec {v}}||$

Các cách chứng minh

Xem thêm Danh sách các chứng minh định lý Pythagoras

Có hàng nghìn cách chứng minh cho định lý Pythagoras. Dưới đây là một vài cách nổi tiếng.

Dùng hình mở rộng

Cho hình tam giác vuông ABC.Gọi 3 cạnh của tam giác ABC là a,b và c. Nếu c là cạnh huyền của tam giác vuông ABC thì: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Cắt và ghép

Có nhiều cách cắt, ghép hình thể hiện định lý Pytago:

• Gougu.png
• Gougu1.svg
• Pythagorean proof.png
• Pythagorean proof2.png

Chứng minh bằng đại số

Tập tin:Pythagoras algebraic2.svg

Diagram of the two algebraic proofs

Định lý có thể chứng minh bằng phương pháp đại số khi sử dụng 4 tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c, các tam giác này được sắp xếp thành một hình vuông lớn có cạnh là cạnh huyền c. Các tam giác bằng nhau có diện tích ${\tfrac 12}ab$ , khi đó hình vuông nhỏ bên trong có cạnh là b − a và diện tích là (b − a)². Diện tích của hình vuông lớn là:

$(b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.\,$

Vì hình vuông lớn có cạnh là c và có diện tích c², nên

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,$

Một cách chứng minh tương tự là sắp xếp 4 hình tam giác vuông trên xung quanh một hình vuông có cạnh là 'c (hình dưới). Kết quả tạo ra một hình vuông lớn hơn có cạnh là a + b và diện tích (a + b)². Tổng diện tích 4 tam giác và hình vuông có cạnh c bằng với diện tích của hình vuông lớn hơn,

$(b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,\,$

ta có:

$c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.\,$

Tập tin:Garfield Pythagoras.svg

Biểu đồ chứng minh của Garfield

Một phương pháp chứng minh nữa do cựu tổng thống Mỹ James A. Garfield đưa ra. Thay vì sử xếp thành hình vuông, ông sử dụng hình thang, hình thang này có thể xây dựng từ hình vuông theo cách chứng minh thứ 2 ở trên bằng cách cắt thành 2 hình thang dọc theo đường chéo của hình vuông bên trong. Diện tích của hình thang bằng 1/2 diện tích của hình vuông lớn:

${\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.$

Hìng vuông bên trong tương tự cũng giảm đi 1/2, và chỉ có 2 tam giác khi đó các bước chứng minh có thể tính tương tự như trên trừ hệ số ${\frac {1}{2}}$ , hệ số này đã bị loại ra bằng cách nhân 2 để thu được kết quả.

Chứng minh bằng vi phân

Cách chứng minh này bằng cách thay đổi cạnh huyền và sử dụng vi tích phân.

Tam giác ABC là một tam giác vuông với BC là cạnh huyền. Chiều dài cạnh huyền là y, cạnh AC là x và cạnh AB là a.

Tập tin:Pythag differential proof.svg

Hình vẽ chứng minh bằng vi phân

Nếu x gia tăng một lượng dx bằng cách kéo dài đoạn AC về phía D, thì y cũng tăng một lượng là dy. Hai cạnh này cũng thuộc tam giác CDE, cũng là một tam giác tương tự ABC. Do đó các tỉ số cạnh của chúng phải bằng nhau:

${\frac {dy}{dx}}={\frac xy}.$

Công thức trên có thể được viết lại như sau:

$y\cdot dy-x\cdot dx=0.\,$

Đây là hàm vi phân với đáp án giải ra là

$y^{2}-x^{2}=C,\,$

Và hằng số có C có thể tìm được bằng cách cho x = 0 thì y = a, ta được phương trình

$y^{2}=x^{2}+a^{2}\,$

Xem thêm

• Pytago
• Định lý lớn Fermat
• Bộ ba Pytago
• Định lý De Gua

Liên kết ngoài

(bằng tiếng Anh)

• Over 50 proofs of the Pythagorean theorem
• Dijkstra's generalization
• The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate.

Bài liên quan

• Tỉ lệ logarit
• Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
• Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
• Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit
• Kẻ thất bại và kẻ siêu thất bại

• « Mới nhất
• ‹ Mới hơn
• Cũ hơn ›

Liên kết đến đây

• Tam giác Heron
• Hình học
• Lượng giác
• Pi
• Số học
• Chứng minh toán học