Phân số liên tục

Phân số liên tục (tiếng Anh: continued fraction) còn gọi là liên phân số là một dạng biểu diễn các số thực dương, cả hữu tỷ và vô tỷ, dưới dạng một phân số nhiều tầng. Ví dụ

${\frac 97}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{2}}}}$

Liên phân số đóng vai trò rất lớn trong việc nghiên cứu lí thuyết số.

Trong bài báo dưới đây, chúng ta chỉ xét các số thực dương.

Định nghĩa

Phân số liên tục ở dạng chính tắc là biểu thức có dạng

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}$

trong đó a₀ là một số nguyên không âm và tất cả các số a_n là số nguyên dương. Phân số liên tục có thể biểu diễn chính xác các số thực.

Dạng tổng quát hơn là:

$x=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}$

trong đó b_n là số nguyên dương.

Chúng ta thường quen với biểu diễn thập phân của số thực:

$r=\sum _{{i=0}}^{\infty }a_{i}10^{{-i}}$

trong đó a₀, là số nguyên bất kỳ, còn mỗi số a_i là một phần tử của {0, 1, 2, ..., 9}. Trong cách biểu diễn này, số Pi biểu diễn bởi dãy {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}.

Tuy thế, theo cách biểu này có một số giới hạn. Một trong các vấn đề đó là sự tùy ý của cơ số 10. Tại sao là 10? Phải chăng là từ các yếu tố sinh học chứ không phải toán học (mỗi người chúng ta có 10 ngón tay); thay vì cơ số 10 ta có thể dùng cơ số 8 hoặc 2. Một vấn đề khác biểu diễn của các số hữu tỷ ${\frac {p}{q}}$ với q lớn hơn 1, trong hệ thập phân là vô hạn, chẳng hạn số ⅓ được biểu diễn bởi dãy vô hạn {0, 3, 3, 3, 3, ....}. Vấn đề thứ ba là các biểu diễn của một số là không duy nhất; chẳng hạn, số 1 có thể biểu diễn bằng cách khác [0.999...=1]].

Phân số liên tục đưa ra một cách biểu diễn số thực giải quyết cả ba vấn đề trên. Chẳng hạn, xét số 415/93, phần nguyên của phân số này là 4, phần lẻ của nó là số ${\frac {43}{93}}$ xấp xỉ với ${\frac 12}$ , ta muốn giữ nguyên tử số 1 thay mẫu số 2 bằng một số khác, chính xác hơn là $2+{\frac 7{43}}$ , khi đó có thể viết

${\frac {415}{93}}=4+{\frac {43}{93}}=4+{\cfrac 1{{\cfrac {93}{43}}}}=4+{\cfrac 1{2+{\cfrac {7}{43}}}}=4+{\cfrac 1{2+{\cfrac 1{{\cfrac {43}{7}}}}}}=4+{\cfrac 1{2+{\cfrac 1{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}$.

Thay cho cách viết cồng kềnh trên ta quy ước viết

${\frac {415}{93}}=4+{\frac 1{2+}}+{\frac 1{6+}}+{\frac 1{7}}$

hay đơn giản là 415/93= 4+1/(2+1/(6+1/7)),

hay đơn giản hơn nữa 415/93= [4; 2, 6, 7].

Có thể chứng minh rằng: Dạng phân số liên tục của một số là hữu hạn khi và chi khi số đó là hữu tỷ. Và dạng phân số liên tục của một số là vô hạn khi và chỉ khi số đó là vô tỷ.

Thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số chính tắc

Thuật toán sau là 1 cách đơn giản để biểu diễn số thực bất kì dưới dạng liên phân số chính tắc:

Cho số thực r, kí hiệu i là phần nguyên của r, f là phần thập phân của r. Biểu diễn liên phân số của r là [i; a₁, a₂,...], trong đó [a₁; a₂,...] là dạng biểu diễn liên phân số của 1/f. Nếu như f=0 thì thuật toán dừng lại, trong trường hợp f khác 0, ta lặp lại các bước trên với r thay bằng 1/f.

Ví dụ cho r= 4,345. Như vậy i= 4, f= 0,345. Bảng sau mô tả các bước tìm biểu diễn liên phân số của r.

Tìm dạng biểu diễn liên phân số của 4,345
Số thực	Phần nguyên (floor)	Phần thập phân	Rút gọn của phần thập phân	Nghịch đảo của $f$	Rút gọn của $1/f$
$r=4,345\,$	$i=4\,$	$f=4,345\ \left(4{\tfrac {69}{200}}\right)-4\,$	$=0,345\ \left({\tfrac {69}{200}}\right)\,$	$1/f=1/0.345\ \left({\tfrac {200}{69}}\right)\,$	$=2,899\ \left(2{\tfrac {62}{69}}\right)\,$
$r=2,899\,$	$i=2\,$	$f=2,899\ \left(2{\tfrac {200}{69}}\right)-2\,$	$=0,899\ \left({\tfrac {62}{69}}\right)\,$	$1/f=1/0,899\ \left({\tfrac {69}{62}}\right)\,$	$=1,113\ \left(1{\tfrac {7}{62}}\right)\,$
$r=1,113\,$	$i=1\,$	$f=1,113\ \left(1{\tfrac {7}{62}}\right)-1\,$	$=0,113\ \left({\tfrac {7}{62}}\right)\,$	$1/f=1/0,113\ \left({\tfrac {62}{7}}\right)\,$	$=8,857\ \left(8{\tfrac {6}{7}}\right)\,$
$r=8,857\,$	$i=8\,$	$f=8,857\ \left(8{\tfrac {6}{7}}\right)-8\,$	$=0,857\ \left({\tfrac {6}{7}}\right)\,$	$1/f=1/0,857\ \left({\tfrac {7}{6}}\right)\,$	$=1,167\ \left(1{\tfrac {1}{6}}\right)\,$
$r=1,167\,$	$i=1\,$	$f=1,167\ \left(1{\tfrac {1}{6}}\right)-1\,$	$=0,167\ \left({\tfrac {1}{6}}\right)\,$	$1/f=1/0,167\ \left({\tfrac {6}{1}}\right)\,$	$=6,000\ \left(1{\tfrac {6}{1}}\right)\,$
$r=6,000\,$	$i=6\,$	$f=6,000\ \left(6\right)-6\,$	$=0,000\,$	Dừng
Biểu diễn liên phân số của 4,345 là [4; 2, 1, 8, 1, 6]
$4,345=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6}}}}}}}}}}$

Số 4,345 là 1 số hữu tỉ, do đó biểu diễn liên phân số của nó hữu hạn.

Phân số liên tục hữu hạn

Phân số liên tục hữu hạn biểu diễn số hữu tỉ. Ngược lại, 1 số hữu tỉ bất kì có thể biểu diễn bằng phân số liên tục hữu hạn theo 2 cách:

Cách thứ nhất, bằng thuật toán nêu ở phần thuật toán biễn diễn số thực bằng liên phân số, ta được liên phân số

$[a_{{0}};a_{{1}},a_{{2}},\,\ldots ,a_{{n-1}},a_{{n}}]$.

Cách thứ hai, từ biểu diễn ở cách thứ nhất, ta bớt đi 1 đơn vị ở thành phần cuối, và thêm vào sau nó một thành phần đúng bằng 1.

$[a_{{0}};a_{{1}},a_{{2}},\,\ldots ,a_{{n-1}},a_{{n}}-1,1]$.

Hai cách biểu diễn trên là tương đương nhau vì:

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{{n-1}}+{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{{n-1}}+{\frac {1}{(a_{n}-1)+{\frac {1}{1}}}}}}}}}}}}}}$

Ví dụ:

$2.25=2+1/4=[2;4]=[2;3,1],\;$

$-4.2=-5+4/5=[-5;1,4]=[-5;1,3,1].\;$

Phân số liên tục vô hạn

Phân số liên tục vô hạn là số vô tỉ. Và mọi số vô tỉ đều được biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn.

Phân số liên tục vô hạn tuần hoàn

Trong đó, đáng chú ý là các phân số liên tục vô hạn tuần hoàn, tức là các thành phần lập lại theo 1 cách tuần hoàn.

Ví dụ:

[1;2,2,2,2,2,2,...] với các số 1 lặp lại tuần hoàn;

[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]với 2,3,4 lặp lại tuần hoàn.

Các phân số liên tục tuần hoàn chính là nghiệm của 1 đa thức bậc hai nào đó với các hệ số nguyên.

Ví dụ:

$[1;2,2,2,...]={\sqrt 2}$ là nghiệm của đa thức bậc hai $x^{2}$ .

$[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]={-27 \over 14}+{1 \over 14}{\sqrt 1}093$ là nghiệm của đa thức bậc hai $7x^{2}+27x-13.$

Dãy số hữu tỉ xấp xỉ của số thực

Cho số thực r có dạng phân số liên tục là :$[a_{{0}};a_{{1}},a_{{2}},\,\ldots ,a_{{n-1}},a_{{n}},\,\ldots ,]$ (có thể hữu hạn hoặc vô hạn).

Từ công thức biểu diễn trên, có thể xây dựng một dãy số hữu tỉ (hữu hạn hoặc vô hạn) hội tụ đến r:

${\frac {h_{{0}}}{k_{{0}}}}={\frac {a_{{0}}}{1}};$

${\frac {h_{{1}}}{k_{{1}}}}=[a_{{0}};a_{{1}}]=a_{{0}}+{\frac {1}{a_{{1}}}}={\frac {a_{{0}}a_{{1}}+1}{a_{{1}}}};$

${\frac {h_{{2}}}{k_{{2}}}}={\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}};$

${\frac {h_{{3}}}{k_{{3}}}}={\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}};$

...

${\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}=[a_{{0}};a_{{1}},a_{{2}},\,\ldots ,a_{{n-1}},a_{{n}}];$ (*)

...

Đặt ${r_{{n}}}={\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}$ .

Ví dụ, dãy số hữu tỉ gần đúng của 0,84375 (dạng liên phân số là [0;1,5,2,2]):

[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
1	${\tfrac 34}$	${\tfrac 45}$	${\tfrac 56}$	${\tfrac {11}{13}}$	${\tfrac {16}{19}}$	${\tfrac {27}{32}}$

Dãy phân số {${\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}$} có các tính chất sau:

Tính hội tụ của dãy

Dãy {${\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}$} hội tụ, và giới hạn của nó là r.

Công thức truy hồi

Trước hết ta xét 1 tính chất khá lý thú:

Với số thực bất kì $x\in {\mathbb {R}}$

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{{n-1}},x\right]={\frac {xh_{{n-1}}+h_{{n-2}}}{xk_{{n-1}}+k_{{n-2}}}}.$

Từ tính chất trên có thể tính ${h_{{n}}},{k_{{n}}}$ theo công thức tổng quát (*), hoặc theo công thức truy hồi sau (chứng minh xem bằng quy nạp rất đơn giản):

$h_{{n}}=a_{n}h_{{n-1}}+h_{{n-2}}\,$			$h_{{-1}}=1\,$		$h_{{-2}}=0\,$
$k_{{n}}=a_{n}k_{{n-1}}+k_{{n-2}}\,$			$k_{{-1}}=0\,$		$k_{{-2}}=1\,$

Liên hệ giữa tử số và mẫu số

Nếu số hữu tỉ gần đúng thứ n của phân số liên tục là $h_{n}/k_{n}$ , thì

$k_{n}h_{{n-1}}-k_{{n-1}}h_{n}=(-1)^{n}.\,$

Hệ quả: ${\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}$ là phân số tối giản.

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{{n-1}}}{k_{{n-1}}}}={\frac {h_{n}k_{{n-1}}-k_{n}h_{{n-1}}}{k_{n}k_{{n-1}}}}={\frac {-(-1)^{n}}{k_{n}k_{{n-1}}}}.$

Khoảng cách trong dãy số hữu tỉ xây dựng bởi liên phân số của r

Nếu mà chỉ số với s < t < n thì:

$\left|r_{s}-r_{n}\right|>\left|r_{t}-r_{n}\right|$.

Sự biến thiên của dãy

Các phân số ở vị trí chẵn (${\frac {h_{{0}}}{k_{{0}}}}$, ${\frac {h_{{2}}}{k_{{2}}}}$ , ... ) luôn bé hơn r, và tăng dần:

${\frac {h_{{0}}}{k_{{0}}}}$ < ${\frac {h_{{2}}}{k_{{2}}}}$ < ${\frac {h_{{4}}}{k_{{4}}}}$ < ... < r.

Các phân số ở vị trí lẻ (${\frac {h_{{1}}}{k_{{1}}}}$, ${\frac {h_{{3}}}{k_{{3}}}}$ , ... ) luôn lớn hơn r, và giảm dần:

${\frac {h_{{1}}}{k_{{1}}}}$ > ${\frac {h_{{3}}}{k_{{3}}}}$ > ${\frac {h_{{5}}}{k_{{5}}}}$ > ... > r.

Độ xấp xỉ của các số hữu tỉ so với số thực mà chúng xấp xỉ

Các tính chất ở trên cho phép ta đánh giá độ sai số của các số hữu tỉ trong chuỗi so với số thực ban đầu

${\frac {1}{k_{n}(k_{{n+1}}+k_{n})}}<\left|r-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{{n+1}}}}.$

Bản mẫu:Hidden begin

Chứng minh vế phải của bất đẳng thức (chứng minh này được trích dẫn từ ):

$|z-{\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}|<{\frac {1}{k_{{n}}.k_{{n+1}}}}$ (**)

Với

${\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}=a_{{0}}+$ Σ_i=0→(n-1) ${\frac {(-1)^{{i}}}{k_{{i}}.k_{{i+1}}}}$

$|z-{\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}|=|$ Σ_i=n→+∞ ${\frac {(-1)^{{i}}}{k_{{i}}.k_{{i+1}}}}|$ .

Từ công thức:

$k_{{i+2}}=a_{{i+2}}.k_{{i+1}}+k_{{i}}>k_{{i+1}}$, suy ra

${\frac {1}{k_{{i}}.k_{{i+1}}}}>{\frac {1}{k_{{i+1}}.k_{{i+2}}}}$ với mọi i ≥ 0. (***)

Áp dụng (***):

$|$ Σ_i=n→+∞ ${\frac {(-1)^{i}}{k_{{i}}.k_{{i+1}}}}|$

$={{\frac {1}{k_{{n}}.k_{{n+1}}}}-{\frac {1}{k_{{n+1}}.k_{{n+2}}}}}+{{\frac {1}{k_{{n+2}}.k_{{n+3}}}}-{\frac {1}{k_{{n+3}}.k_{{n+4}}}}}+\ldots +{{\frac {1}{k_{{n+2i}}k_{{n+2i+1}}}}-{\frac {1}{k_{{n+2i+1}}.k_{{n+2i+2}}}}}+\ldots$

$<{{\frac {1}{k_{{n}}.k_{{n+1}}}}-{\frac {1}{k_{{n+1}}.k_{{n+2}}}}}+({{\frac {1}{k_{{n+1}}k_{{n+2}}}}-{\frac {1}{k_{{n+2}}k_{{n+3}}}}})+{{\frac {1}{k_{{n+2}}.k_{{n+3}}}}-{\frac {1}{k_{{n+3}}.k_{{n+4}}}}}+({{\frac {1}{k_{{n+3}}k_{{n+4}}}}-{\frac {1}{k_{{n+4}}k_{{n+5}}}}})+\ldots +{{\frac {1}{k_{{n+2i}}k_{{n+2i+1}}}}-{\frac {1}{k_{{n+2i+1}}.k_{{n+2i+2}}}}}+({{\frac {1}{k_{{n+2i+1}}k_{{n+2i+2}}}}-{\frac {1}{k_{{n+2i+2}}k_{{n+2i+3}}}}})+\ldots$

$={\frac {1}{k_{{n}}.k_{{n+1}}}}+(-{\frac {1}{k_{{n+1}}.k_{{n+2}}}}+{\frac {1}{k_{{n+1}}k_{{n+2}}}})+(-{\frac {1}{k_{{n+2}}k_{{n+3}}}}+{\frac {1}{k_{{n+2}}.k_{{n+3}}}})+(-{\frac {1}{k_{{n+3}}.k_{{n+4}}}}+{\frac {1}{k_{{n+3}}k_{{n+4}}}})+(-{\frac {1}{k_{{n+4}}k_{{n+5}}}}+{\frac {1}{k_{{n+4}}k_{{n+5}}}})+\ldots +(-{\frac {1}{k_{{n+2i+1}}.k_{{n+2i+2}}}}+{\frac {1}{k_{{n+2i+1}}k_{{n+2i+2}}}})+\ldots$

$={\frac {1}{k_{{n}}.k_{{n+1}}}}+0+0+0+0+\ldots .+0+0+\ldots$

$={\frac {1}{k_{{n}}.k_{{n+1}}}}$.

Suy ra (**) đúng. Bản mẫu:Hidden end

Phân số liên tục của Nghịch đảo

Cho số thực dương r, nếu biết dạng liên phân số của nó là

$[a_{{0}};a_{{1}},a_{{2}},a_{{3}},\,\ldots ,a_{{n-1}},a_{{n}}]$

yêu cầu đặt ra là tìm dạng liên phân số của nghịch đảo 1/r.

Xét 2 trường hợp:

• nếu r>1, tức là $a_{0}>1$ thì liên phân số của 1/r là:

$[0;a_{{0}},a_{{1}},a_{{2}},a_{{3}},\,\ldots ,a_{{n-1}},a_{{n}}]$;

• nếu 0<r<1, tức là $a_{0}=0$ thì liên phân số của 1/r là:

$[a_{{1}};a_{{2}},a_{{3}},\,\ldots ,a_{{n-1}},a_{{n}}]$.

Ví dụ:

$2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]$, ${\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]$ ;

${\frac {15}{17}}=[0;1,7,2]$, ${\frac {17}{15}}=[1;7,2]$ .

Biểu diễn liên phân số của các số thực đặc biệt

Biểu diễn liên phân số của số π

Biểu diễn liên phân số chính tắc của số π:

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]$.

$\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Từ biểu diễn đó, ta tìm ra được các số hữu tỉ gần đúng với π là:

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots$.

Các thành phầ trong liên phân số chính tắc (với các tử số bằng 1) của số π, không hề tuân theo một quy luật nào.

Tuy vậy các cách biểu diễn liên phân số khác (không chính tắc) của π lại có quy luật:

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

Biểu diễn liên phân số của số e và các dạng khác của nó

Trong khi dạng liên phân số đơn giản của π không có quy luật, điều này lại không đúng với trường hợp của e:

$e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!,$

tổng quát hơn,:

$e^{{1/n}}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.$

và:

$e^{{2/n}}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,$

với n = 1:

$e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.$

Các số thực khác

$\tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!$

với n là số nguyên duơng.

$\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,$

trường hợp riêng n = 1:

$\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.$

Một số định lý và bài toán ứng dụng phân số liên tục

Phương trình Pell

Phương trình Pell là bài toán tìm nghiệm nguyên Diophantine bậc hai. Bài toán phát biểu như sau:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}-dy^{2}=1$ hoặc $x^{2}-dy^{2}=-1$ với d nguyên dương và không phải là số chính phương.

Thuật toán giải:

Nhận xét, nếu (x,y) là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì (-x,y), (x,-y), (-x,-y) cũng là nghiệm, do đó ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho.

Bước 1: Biểu diễn ${\sqrt d}$ dưới dạng liên phân số.

Bước 2: Viết dãy các số hữu tỉ gần đúng của ${\sqrt d}$ là ${\frac {h_{{n}}}{k_{{n}}}}$ , khi đó thì:

(${h_{{n}}},{k_{{n}}}$) là nghiệm nguyên không âm của phương trình $x^{2}-dy^{2}=1$ với n lẻ;

(${h_{{n}}},{k_{{n}}}$) là nghiệm nguyên không âm của phương trình $x^{2}-dy^{2}=-1$ với n chẵn.

Thuật toán này cho phép tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell đã cho.

Ví dụ:

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^{2}-2y^{2}=1$ .

Biểu diễn liên phân số của ${\sqrt 2}$ là:

${\sqrt 2}=[1;2,2,2,2,\,\ldots ,]$.

Từ biểu diễn đó ta tìm ra các số hữu tỉ xấp xỉ với ${\sqrt 2}$ :

$1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},{\frac {239}{169}},{\frac {577}{408}},{\frac {1393}{985}},{\frac {3363}{2378}},{\frac {8119}{5741}},\,\ldots ,$.

Chú ý dãy số trên được bắt đầu với số thứ tự bằng 0.

Lấy các phân số ở vị trí lẻ ta được nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}-2y^{2}=1$ là: (3,2) (17,12), (99,70), (577,408), (3363,2378), ... và tất nhiên cả nghiệm tầm thường là (1,0).

Lấy các phân số ở vị trí chẵn ta được nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}-2y^{2}=-1$ là: (7,5) (41,29), (239,169), (1393,985), (8119,5741), ....

Tham khảo

• Jones, William B. (1980). Continued Fractions: Analytic Theory and Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications., Reading. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-13510-8.
• A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
• Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
• Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992 ISBN 978-9-81-021052-6
• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8
• A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W.B. Jones, Handbook of Continued fractions for Special functions, Springer Verlag, 2008 ISBN 978-1-4020-6948-2

Liên kết ngoài

• Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
• Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree at cut-the-knot
• The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions
• Continued Fraction Arithmetic Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the Internet Archive's Wayback Machine
• Bản mẫu:MathWorld
• Continued Fractions by Stephen Wolfram and Continued Fraction Approximations of the Tangent Function by Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project.
• Exact Continued Fraction for Pi
• Continued Fractions and ContinuantsBản mẫu:Liên kết bài chất lượng tốt

Bản mẫu:Liên kết bài chất lượng tốt

Bài liên quan

• Tỉ lệ logarit
• Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
• Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
• Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit
• Kẻ thất bại và kẻ siêu thất bại

• « Mới nhất
• ‹ Mới hơn
• Cũ hơn ›

Liên kết đến đây

• Phương trình Pell
• Xấp xỉ Diophantine
• Lý thuyết số
• Pi