Đại số 10/Chương III/§2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Lí thuyết

Ôn tập về phương trình bậc nhất, bậc hai

Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau:

ax + b = 0     (1)
Hệ số		Kết luận
a ≠ 0		(1) có nghiệm duy nhất $x={\frac {-b}{a}}$
a = 0	b ≠ 0	(1) vô nghiệm
	b = 0	(1) nghiệm đúng với mọi x.

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Hoạt động 1	Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m m(x - 4) = 5x - 2.

Phương trình bậc hai

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau:

$ax^{2}+bx+c=0\ \ (a\neq 0)$    (2)
$\Delta =b^{2}-4ac$	Kết luận
$\Delta >0$	(2) có hai nghiệm phân biệt $x_{{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$
$\Delta =0$	(2) có nghiệm kép $x={\frac {-b}{2a}}$
$\Delta <0$	(2) vô nghiệm

Hoạt động 2	Lập bảng trên với biệt thức thu gọn $\Delta '$ .

Định lí Vi-ét

Nếu phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0\ \ (a\neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thì $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$,      $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình: $x^{2}-Sx+P=0.\,$

Hoạt động 3	Khẳng định "Nếu a và c trái dấu thì phương trình (2) có hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu" có đúng không? Tại sao?

Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

VÍ DỤ 1	Giải phương trình: |x - 3| = 2x + 1    (3)

Lời giải

Cách 1: + Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x - 3 = 2x + 1. Từ đó x = -4. Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại. + Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành -x + 3 = 2x + 1. Từ đó x = 2/3. Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm. + Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 2/3. Cách 2: + Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả: (3) $\Rightarrow (x-3)^{2}=(2x+1)^{2}$ $\Rightarrow x^{2}-6x+9=4x^{2}+4x+1$ $\Rightarrow 3x^{2}+10x-8=0.$ $\Rightarrow$ x = -4 và x = 2/3. + Thử lại ta thấy: x = -4 (không tmPT), x = 2/3 (tmPT). + Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 2/3.

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

VÍ DỤ 2	Giải phương trình: ${\sqrt {2x-3}}=x-3.$    (5)

Lời giải

+ Điều kiện của phương trình (5) là x ≥ 3/2. + Bình phương hai vế của phương trình (5) ta đưa tới phương trình hệ quả (5) $\Rightarrow 2x-3=x^{2}-6x+9$ $\Rightarrow x^{2}-8x+12=0.$ $\Rightarrow$ x = 2 và x = 6. + Kiểm tra điều kiện: x = 2 (tmĐK), x = 6 (tmĐK). + Thử lại: x = 2 (không tmPT) (vế trái dương còn vế phải âm), x = 6 (tmPT) (hai vế cùng bằng 3). + Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 6.

BÀI TẬP

1. Giải các phương trình
a) ${\frac {x^{2}+3x+2}{2x+3}}={\frac {2x-5}{4}}$	b) ${\frac {2x+3}{x-3}}-{\frac {4}{x+3}}={\frac {24}{x^{2}-9}}+2$
c) ${\sqrt {3x-5}}=3$	d) ${\sqrt {2x+5}}=2.$

2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) m(x - 2) = 3x + 1

b) m²x + 6 = 4x + 3m

c) (2m + 1)x - 2m = 3x - 2.

3. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc đầu là bao nhiêu?

4. Giải các phương trình

a) 2x⁴ - 7x² + 5 = 0;

b) 3x⁴ + 2x² - 1 = 0.

5. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)
a) $2x^{2}-5x-4=0$	b) $-3x^{2}+4x+2=0$
c) $3x^{2}+7x+4=0$	d) $9x^{2}-6x-4=0$ .

Hướng dẫn cách giải câu a)

Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

MODE

MODE

1

>

2

2

=

(-)

5

=

(-)

4

=

Màn hình hiện ra x₁ = 3.137458609.

Ấn tiếp

=

Màn hình hiện ra x₂ = -0.637458608.

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x₁ ~ 3,137 và x₂ ~ -0.637.

6. Giải các phương trình
a) $|3x-2|=2x+3$	b) $|2x-1|=|-5x-2|$
c) ${\frac {x-1}{2x-3}}={\frac {-3x+1}{|x+1|}}$	d) $|2x+5|=x^{2}+5x+1.$

7. Giải các phương trình
a) ${\sqrt {5x+6}}=x-6$	b) ${\sqrt {3-x}}={\sqrt {x+2}}+1$
c) ${\sqrt {2x^{2}+5}}=x+2$	d) ${\sqrt {4x^{2}+2x+10}}=3x+1$

8. Cho phương trình: 3x² - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0.

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Tài liệu tham khảo

• Sách in:

Xem thêm

• Đại số 8/Chương IV/§5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

---

<<< Đại số 10

Liên kết đến đây

• Đại số 10
• Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
• Đại số 10/Chương IV/§3. Dấu của nhị thức bậc nhất
• Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007