Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Thời gian/Số tiết: 120 phút/01

Bài này chúng ta xét một số phương trình, bất phương trình có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai. Để giải các phương trình, bất phương trình loại này, thường ta phải khử được dấu căn thức, có nhiều phương pháp để khử căn thức. Sau đây ta làm quen với 2 phương pháp thường dùng để khử dấu căn thức: phương pháp biến đổi tương đương và đặt ẩn phụ.

1) Phương pháp biến đổi tương đương

Các phép biến đổi tương đương thường dùng

• ${\sqrt {a}}={\sqrt {b}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a\geq 0\\a=b\end{cases}}$ (Không cần điều kiện b ≥ 0)
• ${\sqrt {a}}=b\Leftrightarrow {\begin{cases}b\geq 0\\a=b^{2}\end{cases}}$ (Không cần điều kiện a ≥ 0)
• ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}={\sqrt {c}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a\geq 0\\b\geq 0\\a+b+2{\sqrt {ab}}=c\end{cases}}$ (Không cần điều kiện c ≥ 0)
• ${\sqrt {a}}>{\sqrt {b}}\Leftrightarrow {\begin{cases}b\geq 0\\a>b\end{cases}}$
• ${\sqrt {a}}<b\Leftrightarrow {\begin{cases}a\geq 0\\b>0\\a<b^{2}\end{cases}}$
• ${\sqrt {a}}>b\Leftrightarrow {\begin{cases}b<0\\a\geq 0\end{cases}}\vee {\begin{cases}b>0\\a>b^{2}\end{cases}}$

Giải các phương trình sau:

a) $x-{\sqrt {2x+3}}=0$

b) ${\sqrt {x+4}}-{\sqrt {1-x}}={\sqrt {1-2x}}$

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\sqrt {x^{2}-2x-8}}<x-2$

b) ${\sqrt {-x^{2}+7x-6}}>4-x$

Bình luận: Nói chung, chúng ta ít gặp các bất phương trình có thể áp dụng được luôn các phép biến đổi trên, mà thường phải qua vài lần biến đổi rồi mới áp dụng được các phép biến đổi tương đương trên.

c) ${\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{x}}<3$

2) Phương pháp đặt ẩn phụ

Một số phương trình, bất phương trình có thể giải dễ dàng hơn bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình: ${\sqrt {x^{2}-6x+4}}+{\sqrt {x^{2}-6x-1}}=5$

Giải bất phương trình: $(x+1).{\sqrt {2x+3}}\leq 3(x+1)$

Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: $x^{4}+2(m+1)x^{2}+9m-5=0$