Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)

Từ Thư viện Khoa học VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm
Chia sẻ lên facebook Chia sẻ lên twitter Chia sẻ lên google-plus In trang này

1. Astroid

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

x^{{{\frac  {2}{3}}}}+y^{{{\frac  {2}{3}}}}=a^{{{\frac  {2}{3}}}}

Phương trình đường cong dạng tham số:

\left\{{\begin{matrix}x=a.cos^{3}t\\y=a.sin^{3}t\end{matrix}}\right.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-1.jpg

Astroid lần đầu tiên được Johann Bernoulli đề cập đến vào khoảng 1691-1692. Nó cũng xuất hiện trong các công trình của Leibniz của năm 1715. Đôi khi được gọi là tetracuspid vì lý do nó có 4 chỏm.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-1.gif

Astroid chỉ chính thức có tên gọi vào năm 1836 trong một cuốn sách xuất bản ở Vienna. Astroid được biết đến dưới các tên gọi khác nhau bao gồm cả cubocycloid và paracycle vào sau năm 1836.

Chu vi của astroid là 6a và diện tích của nó là {\frac  {3\pi a^{2}}{8}}

Gradient của tiếp tuyến (T) từ một điểm với tham số p là:tan(\ -p) . Phương trình tiếp tuyến (T): x\cdot sin(p)+y\cdot cos(p)=sin(2p)/2

(T) cắt trục Ox và Oy tại X và Y tương ứng thỏa mãn X\cdot Y=a . Astroid được hình thành bằng cách lăn một vòng tròn bán kính a / 4 bên trong một vòng tròn có bán kính a.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-2.png

Astroid là điểm tụ quang của hình delta với tia song song theo hướng bất kỳ.

2. Bicorn (đường mào gà)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

y^{2}\cdot (a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-3.jpg

Bicorn (còn gọi là đường mào gà) là tên của một tập hợp các đường cong bậc 4 (quartic) nghiên cứu của Sylvester năm 1864. Các đường cong tương tự đã được Cayley nghiên cứu vào năm 1867. Các bicorn đặc biệt khác được Sylvester và Cayley đưa ra từ phương trình bậc 4 (quartic) khác nhau, nhưng dạng phương trình và đồ thị trên đây có dạng đơn giản hơn và chủ yếu là đồng dạng về đồ thị.

3. Cardioid (đường hình tim)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes

4a^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})=(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}

Phương trình đường cong trong tọa độ cực:

r=2a\cdot (1+\cos \theta )

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-4.jpg

Cardioid là tên gọi đầu tiên của một đường cong được de Castillon viết trong một bài báo đăng ở tuyển tập Philosophical Transactions of the Royal Society 1741. Đó là quỹ tích của một điểm trên chu vi của đường tròn lăn không trượt trên chu vi của một đường tròn khác có cùng bán kính. Tên của phương trình này còn có nghĩa là "hình trái tim”. Năm 1708 La Hire đã tìm ra công thức tính chu vi của nó, và do đó ông tuyên bố là người đầu tiên phát hiện ra các đường cong Cardioid. Theo công thức nêu trên chu vi của nó là 16a. Cardioid thật ra là một trường hợp đặc biệt của đường cong Limacon

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-4.gif

Pascal (Etienne Pascal) và như vậy, nếu nói một cách hợp lý, những nghiên cứu về đường cong này đã có từ rất lâu trước khi Castillon La Hire công bố. Với bất kỳ gradient nào cho trước trên cardioid luôn luôn có chính xác ba tiếp tuyến song song với nhau.

Chiều dài của bất kỳ dây nhau thông qua các điểm đỉnh là 4a và diện tích của cardioid là 6\pi \ a^{2}. Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes cho cardioid, cụ thể là \left\{{\begin{matrix}x=a(2\cos t-\cos 2t)\\y=a(2\sin t-\sin 2t)\end{matrix}}\right.

Cardioid hình thành từ các tiếp tuyến của nó

Có một số đường cong khác, hình trái tim được do Kurt Eisemann (San Diego State University, USA) cung cấp:

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

y=0.75x^{{2/3}}\pm {\sqrt  {1-x^{2}}}

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:

r=\sin ^{2}\left(\pi /8-\theta \right)

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-6.png
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-7.png


4. Cartesian Oval (đường oval Descartes)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

[(1-m^{2}).(x^{2}+y^{2})+2m^{2}cx+a^{2}-m^{2}c^{2}]^{2}=4a^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-8.gif

Đường cong này bao gồm 2 đường oval lồng nhau, là quỹ tích của một điểm P có khoảng cách là s và t từ hai điểm cố định S và T thỏa mãn: s+m\cdot t=a. Khi c là khoảng cách giữa S và T phương trình đường cong có thể được biểu diễn như trên.

Các đường cong này lần đầu tiên được Descartes nghiên cứu vào năm 1637 và đôi khi được gọi là "Hình bầu dục Descartes ".Đường cong cũng được nghiên cứu bởi Newton khi phân loại các đường cong bậc 3 (cubic).

Oval Cartesian có phương trình lưỡng cực: r+m\cdot r'=a. Nếu m=\pm 1 thì Oval Descartes (C) là một hình nón trung tâm Nếu m={\frac  {a}{c}}thì đường cong là dạng đặc biệt thuộc họ Limacon Pascal (Étienne Pascal). Trong trường hợp này, hình bầu dục bên trong tiếp xúc với bên ngoài. Hình bầu dục Cartesian là những đường cong anallagmatic.

5. Cassinian Ovals (đường oval Cassini)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}\cdot (x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-9.gif

Các hình bầu dục Cassinian là quỹ tích của một điểm P di chuyển sao cho tích của 2 khoảng cách từ P đến hai điểm cố định S và T [ trong trường hợp này điểm (\pm a,0)] là một hằng số. Hình dạng của đường cong phụ thuộc vào tỷ số c / a

  • Nếu c > a thì đường cong bao gồm hai vòng.
  • Nếu c < a đường cong bao gồm một vòng đơn.
  • Nếu c = a đường cong có dạng Lemniscate Bernoulli (là một trong tám đường cong kiểu mẫu giới thiệu bởi Jacob Bernoulli).

Cassinian ovals lần đầu tiên được Giovanni Cassini khảo sát vào năm 1680 khi ông đang nghiên cứu các chuyển động tương đối của Trái đất và Mặt trời. Cassini tin rằng mặt trời đi vòng quanh trái đất trên một trong các hình bầu dục, với Trái đất tại một tiêu điểm của hình bầu dục đó. Cassini đã giới thiệu các đường cong của mình 14 năm trước khi Jacob Bernoulli mô tả các lemniscate của mình.

Hình bầu dục Cassinian là đường cong anallagmatic. Họ đường cong này được xác định bởi phương trình lưỡng cực: r\cdot r'=k^{2}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-10.png


6. Catenary (đường dây xích)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

y=a\cosh({\frac  {x}{a}})

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-11.png

Dây xích có hình dạng hoàn hảo của một chuỗi, cố định ở 2 đầu và chịu tác động bởi lực hấp dẫn. Phương trình của nó do Leibniz, Huygens và Johann Bernoulli đưa ra năm 1691, nhằm giải quyết các thách thức của vấn đề đặt ra bởi Jacob Bernoulli với mục đích là đi tìm phương trình của chuỗi đường cong.

Huygens là người đầu tiên sử dụng tên gọi dây xích trong một bức thư cho Leibniz năm 1690 và David Gregory đã trình bày lý thuyết về dây xích vào năm 1690. Năm 1669 Jungius đã bác bỏ ý tưởng của Galileo cho rằng đường cong của một chuỗi treo dưới tác dụng lực hấp dẫn sẽ là một parabol.

Dây xích là quỹ tích của tiêu điểm thuộc một parabol lăn không trượt dọc theo một đường thẳng.

Năm 1744 Euler chỉ ra rằng, một dây xích khi quay quanh tiệm cận của nó sẽ tạo ra mặt cực tiểu duy nhất.

7. Cayley's sextic (đường bậc 6 Cayley)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

4(x^{2}+y^{2}-ax)^{3}=27a^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})^{2}

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r=4a.\cos ^{3}({\frac  {\theta }{3}})

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-12.png

Đường cong này do Maclaurin phát hiện đầu tiên, nhưng công trình nghiên cứu chi tiết thuộc về Cayley. Cayley's sextic do RC Archibald đặt tên để phân loại các đường cong trong một bài báo xuất bản ở Strasbourg vào năm 1900. Đường pháp bao của Sextic Cayley là một đường cong nephroid

8. Circle (đường tròn)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

x^{2}+y^{2}=\ a^{2}

Phương trình đường cong tham số:

\left\{{\begin{matrix}x=acost\\y=asint\end{matrix}}\right.

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:

\ r=\ a

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-13.gif

Các nghiên cứu về đường tròn được lịch sử ghi lại từ rất lâu. Việc phát minh ra bánh xe là một phát hiện cơ bản và có giá trị nhất về đường tròn. Người Hy Lạp vẫn xem người Ai Cập như là những người tiên phong phát minh về hình học. Ahmes tác giả của bản văn papyrus Rhind, đã đưa ra một quy tắc để xác định diện tích của một vòng tròn tương ứng với số π = 256/81 hoặc khoảng 3,16.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-20.gif

Các định lý đầu tiên liên quan đến vòng tròn do Thales khoảng năm 650 trước Công nguyên. Sách III về các yếu tố của hình học Euclid đã đề cập đến tínhchất của đường tròn và các bài toán liên quan đến đa giác.

Một trong những bài toán cổ Hy Lạp là tìm kiếm một hình vuông có diện tích bằng với một đường tròn cho trước và Anaxagoras (450 BC) được ghi nhận là nhà toán học đầu tiên nghiên cứu vấn đề này.

Diện tích của đường tròn là \pi \ a^{2} và chu vi là 2\pi \ a

9. Cissoid of Diocles (đường cissoid Diocles)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

y^{2}={\frac  {x^{3}}{(2a-x)}}

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:

r=2a\cdot \tan \theta .\sin \theta

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-14.gif

Đường cong này (có nghĩa là " hình ivy ") được Diocles phát hiện khoảng 180 trước Công nguyên khi ông giải quyết bài toán nhân đôi một khối lập phương bằng phương pháp hình học. Tên gọi đầu tiên của nó xuất hiện trong công trình của Geminus khoảng 100 năm sau, Fermat và Roberval giải quyết bài toán tiếp tuyến vào năm 1634. Đến năm 1658, Huygens và Wallis tìm thấy diện tích giới hạn bởi đường cong và tiệm cận của nó là 3\pi \ a^{2}. Từ một điểm bất kỳ cho trước có thể có một hoặc ba tiếp tuyến với các cissoid.

Cissoid của Diocles là đường quay của đỉnh của một parabol trên một parabol bằng với chính nó. Newton đã đưa ra một phương pháp vẽ các Cissoid Diocles bằng cách sử dụng hai đoạn thẳng vuông góc bằng nhau. Nếu di chuyển cặp đoạn thẳng này sao cho một đoạn luôn luôn đi qua một điểm cố định và điểm cuối của đoạn kia trượt dọc theo một đường thẳng thì quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng trượt này tạo ra Cissoid Diocles.

Diocles là nhân vật cùng thời với Nicomedes. Ông đã nghiên cứu cissoid trong khi giải quyết bài toán tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi của một khối lập phương cho trước. Ông cũng nghiên cứu các vấn đề của Archimedes khi cắt một hình cầu bằng một mặt phẳng thành hai phần theo một tỷ lệ nhất định. Trong bài bình luận về công trình của Archimedes về hình cầu và hình trụ, khái niệm vê cissoid xuất hiện và được cho là của Diocles đề xuất.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-15.png


10. Cochleoid (đường ốc sên Cochleoid)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:

r=a.{\frac  {\sin \theta }{\theta }}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Tu-As-den-Co-16.png

Cochleoid có nguồn gốc vào năm 1884 do các tác giả Benthan và Falkenburg đề xuất có nghĩa là đường cong hình ốc sên. J Peck đã thảo luận các vấn đề về đường cong này vào năm 1700. Các hình dạng đưa ra ở đây là do một người Bỉ tên Joseph Neuberg.

Tham khảo

1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html

2. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

3. Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions, And a Few Answers. Department of Mathematics, Computer Science, and Statistics,Bloomsburg University Bloomsburg, Pennsylvania 17815.

4. A Handbook on curves and their properties. Robert C. Yates, printed by Edwards Brothers, Inc - Ann Arbor, Michigan U.S.A.

Bản quyền

Trần Hồng Cơ

Biên tập và trích dịch.

Ngày 01/04/2012

Cc-by-nc-nd.png

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Mục lục

  1. Giới thiệu
  2. Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)
  3. Phần 2. Từ Co đến Eq (11 – 21)
  4. Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)
  5. Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)
  6. Phần 5. Từ Pe đến Rh (43 – 48)
  7. Phần 6. Từ Ri đến Sp (49 – 53)
  8. Phần 7. Từ Sp đến Tr (54 – 58)
  9. Phần 8. Từ Tr đến Wi (59 – 63)

Liên kết đến đây

Chia sẻ lên facebook Chia sẻ lên twitter Chia sẻ lên google-plus In trang này