Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 6. Từ Ri đến Sp (49 – 53)

49. Right strophoid (Đường strophoid vuông)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $y^{2}={\frac {x^{2}(a-x)}{a+x}}$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r={\frac {a\cos 2\theta }{\cos \theta }}$

Đường strophoid đầu tiên xuất hiện trong công trình của Isaac Barrow vào năm 1670.

Tuy nhiên Torricelli đã từng mô tả đường cong này trong những văn bản của ông khoảng năm 1645 và Roberval tìm thấy nó như một quỹ tích của tiêu điểm của hình conic thu được khi mặt phẳng cắt hình nón quay quanh tiếp tuyến tại đỉnh của nó.

Tên gọi strophoid vuông này được đề xuất bởi Montucci vào năm 1846. Các strophoid tổng quát có phương trình $r={\frac {a\sin(x-2\theta )}{\sin(x-\theta )}}$ .

Các trường hợp đặc biệt của một strophoid vuông khi $x={\frac {\pi }{2}}$ và phương trình trong hệ cartesians và tọa độ cực, đã được đưa ra như trên.

Diện tích của vòng lặp của strophoid vuông và diện tích giữa đường cong và tiệm cận của nó cùng bằng $a^{2}\left(4-\pi \right)/2$

Gọi (C) là đường tròn có tâm tại điểm nơi strophoid vuông đi qua trục x, và bán kính là khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Khi đó strophoid là bất biến đối với phép đảo ngược trong đường tròn (C). Do đó có thể xem strophoid là một đường cong trong họ anallagmatic.

50. Serpentine Curve (Đường uốn khúc serpentine)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $y\left(x^{2}+ab\right)-a^{2}x=0,ab>0$

Đường cong uốn khúc serpentine đã được de L'Hôpital và Huygens nghiên cứu trước đó vào năm 1692.

Tuy nhiên nó được đặt tên và nghiên cứu chính thức bởi Newton vào năm 1701.

Đường cong này thuộc lớp phân loại các đường bậc 3 được viết trong cuốn Curves (Các đường cong) của Sir Isaac Newton trong Tuyển tập Lexicon Technicum (Tự điển kỹ thuật), Nhà xuất bản John Harris in tại London năm 1710.

Newton chỉ ra rằng các đường cong $f\left(x,y\right)=0$ , trong đó $f\left(x,y\right)$ là hàm bậc 3, có thể được chia thành một trong bốn dạng chuẩn. Dạng đầu tiên trong số này là phương trình có dạng $y\left(xy+e\right)=ax^{{3}}+bx^{{2}}+cx+d$

Đây là trường hợp khó khăn nhất trong việc phân loại, serpentine chỉ là một trong những trường hợp nhỏ thuộc phân lớp đầu tiên.

Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, sinh 1661 tại Paris - mất ngày 02 tháng 2 năm 1704, Paris - là một nhà toán học Pháp. Tên của ông gắn liền với quy tắc l'Hôpital's để tính giới hạn liên quan đến các dạng vô định ${\frac {0}{0}}$ và ${\frac {\infty }{\infty }}$

Christiaan Huygens, sinh 14 tháng 4 năm 1629 – mất 8 tháng 7 năm 1695 - là một nhà toán học, thiên văn học và vật lý học người Hà Lan. Ông được coi là một trong những nhà khoa học tiên phong của Cách mạng Khoa học với những nghiên cứu mang tính đột phá trong các lĩnh vực Toán học, Vật lý và Thiên văn học. Huygens còn là một nhà phát minh lớn đặc biệt với các sáng chế về đồng hồ.

51. Sinusoidal Spirals (Đường xoắn ốc hình sin)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r^{p}=a^{p}cos\left(p\theta \right)$

Đường xoắn ốc hình sin có thể chứa số p hữu tỷ bất kỳ trong công thức trên. Nhiều đường cong chuẩn xảy ra như đường xoắn ốc hình sin.

Nếu p = – 1, ta có phương trình đường thẳng.

Nếu p = 1 ta có phương trình đường tròn.

Nếu p = 1/2 ta có phương trình cardioid.

Nếu p = – 1 / 2 ta có phương trình parabola.

Nếu p = – 2 ta có phương trình hyperbola.

Nếu p = 2, ta có phương trình lemniscate của Bernoulli.

Đường xoắn ốc hình sin lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Maclaurin.

Các đường xoắn ốc sin: $r^{p}=a^{p}cos\left(p\theta \right)$ đảo ngược thành : $r^{p}=a^{p}/cos\left(p\theta \right)$ nếu tâm của phép nghịch đảo tại điểm cực.

Colin Maclaurin (tháng 2 năm 1698 - ngày 14 tháng 6 1746) là một nhà toán học người Scotland đã có những đóng góp quan trọng vào hình học và đại số. Chuỗi Maclaurin, một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, đã được mang tên ông. Maclaurin sử dụng chuỗi Taylor để đặc trưng hóa cực đại, cực tiểu và các điểm uốn cho các hàm khả vi vô hạn trong tác phẩm " Treatise of Fluxions " của ông.

Maclaurin cũng đã có những đóng góp đáng kể về công trình nghiên cứu sức hấp dẫn của ellipsoids, một chủ đề đã từng thu hút sự chú ý của d'Alembert, A.-C. Clairaut, Euler, Laplace, Legendre, Poisson và Gauss. Maclaurin chỉ ra rằng hình spheroid dẹt là một trạng thái cân bằng khả dĩ trong lý thuyết hấp dẫn của Newton.

52. Spirals of Archimedes (Đường xoắn Archimedes)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: $r=a\cdot \theta$

Đường xoắn ốc này được nghiên cứu bởi Archimedes trong khoảng 225 trước Công nguyên trong một tác phẩm " Về các đường xoắn ốc ". Sau đó Conon – một người bạn của ông - tiếp tục nghiên cứu.

Archimedes có lẽ đã tìm ra chiều dài của tiếp tuyến khác nhau của đường xoắn ốc. Nó có thể được sử dụng để chia góc làm 3 phần bằng nhau và bình phương đường tròn. Đường cong có thể được sử dụng như là một cam biến đổi chuyển động góc đều thành chuyển động tuyến tính đều.

Lấy cực như là tâm của phép nghịch đảo, đường xoắn ốc Archimedes $r=a\cdot \theta$ biến đổi thành đường xoắn ốc hyperbolic $r={\frac {a}{\theta }}$ .

Archimedes là nhà toán học nổi tiếng nhất của thời cổ đại. Đóng góp của ông trong hình học đã cách mạng hóa đối tượng và phương pháp tư duy của ông dự đoán phép tính tích phân trước Newton và Leibniz đến 2.000 năm. Archimedes là một con người hoàn toàn thực tế, ông đã phát minh ra một loạt các máy bao gồm các ròng rọc và vít cũng như thiết bị bơm Archimidean.

53. Spiric Section (Đường tiết diện xoắn)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $\left(r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{2}=4r^{2}\left(x^{2}+c^{2}\right)$

Sau khi Menaechmus xây dựng tiết diện conic bằng cách cắt một hình nón bởi một mặt phẳng, 200 năm sau đó - khoảng 150 trước Công nguyên -, nhà toán học Hy Lạp Perseus tiếp tục nghiên cứu các đường cong thu được bằng cách cắt một hình xuyến bởi một mặt phẳng song song với đường thẳng đi qua các tâm của lỗ xuyến. Các đường này có tên là đường tiết diện xoắn - spiric sections.

Hình minh họa tiết diện xoắn

Trong công thức của đường cong được đưa ra trên đây, hình xuyến được hình thành từ một đường tròn bán kính là a có tâm quay theo một đường tròn bán kính r. Giá trị của c cho ta khoảng cách của mặt phẳng cắt tính từ tâm của hình xuyến.

Khi c = 0 đường cong gồm hai đường tròn có bán kính là a, có tâm tại I(r, 0) và J(-r, 0).

Nếu c = r + a, đường cong gồm một điểm, thường gọi là gốc, trong khi nếu c > r + a, thì không có một điểm nào nằm trên đường cong.

Menaechmus, (sinh 380 BC, tại Alopeconnesus, Tiểu Á tại Thổ Nhĩ Kỳ- mất 320 BC,. Cyzicus (hiện nay là Kapidaği Yarimadasi, Thổ Nhĩ Kỳ), nhà toán học Hy Lạp và người bạn của Plato là người đã phát hiện ra tiết diện hình nón và mặt phẳng.

Menaechmus được cho là đã từng làm gia sư của Alexander Đại đế, niềm tin này bắt nguồn từ giai thoại sau đây: Một lần, khi Alexander hỏi Menaechmus cho một tóm tắt về phương pháp học tập và nghiên cứu về hình học, ông trả lời: "Tâu bệ hạ, để đi du lịch trên toàn quốc, có đường bộ dành cho hoàng gia và cũng có những con đường cho thứ dân, nhưng trong hình học chỉ có một con đường dành cho tất cả "(Beckmann 1989, trang 34.). Tuy nhiên, giai thoại này lần đầu tiên cũng được cho là của Stobaeus AD 500 ~, vì vậy việc Menaechmus có thực sự dạy Alexander là điều không chắc chắn.

Việc cho rằng Menaechmus phát hiện ra rằng hình elip, parabola, và hyperbola là các tiết diện của một hình nón và một mặt phẳng cho trước có nguồn gốc từ một đoạn thơ của Eratosthenes xứ Cyrene (c. 276-194 bc) trong đó đề cập việc cắt hình nón "theo bộ ba của Menaechmus." Eutocius xứ Ascalon (ad 520) đã thuật lại hai trong số các lời giải của Menaechmus cho bài toán dựng một khối lập phương với thể tích gấp đôi một khối lập phương khác có cạnh bằng a. Lời giải của Menaechmus sử dụng tính chất của parabol và hyperbola để tạo ra những đoạn thẳng x và y thỏa mãn tỷ lệ thức sau: a: x = x: y = y: 2a

Có một văn bản của Plutarch thuật lại rằng Plato đã không chấp thuận phương pháp giải quyết bài toán gấp đôi khối lập phương của Menaechmus bằng việc sử dụng các thiết bị cơ học; việc chứng minh cho bài toán này hiện nay đang được biết đến là phương pháp thuần đại số.

Menaechmus mất năm 320 BC. Nơi ông qua đời chính xác ở đâu cũng là điều không chắc chắn, mặc dù nhiều học giả hiện đại cho rằng ông cuối cùng đã mất tại Cyzicus.

Sinh: TK 2 TCN. Mất: TK 2 TCN

Perseus (c. 150 trước Công nguyên) là nhà hình học Hy Lạp cổ đại, người phát minh ra khái niệm về tiết diện xoắn spiric sections, tương tự tiết diện conic đã được Apollonius xứ Perga nghiên cứu.

Các chi tiết về cuộc đời của Perseus rất ít được biết đến, chỉ được đề cập qua loa từ Proclus và Geminus và những công trình nghiên cứu của ông thì hầu như bị mai một.

Đường tiết diện xoắn Spiric sections là một trường hợp đặc biệt của một tiết diện toric, và là một trong các tiết diện toric đầu tiên được mô tả.

Spiric sections nổi tiếng nhất là hình bầu dục Cassini, đó là quỹ tích của các điểm có tích 2 khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là một hằng số.

Để so sánh, một hình elip có tổng 2 khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là một hằng số, hyperbola có hiệu 2 khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là một hằng số; và đường tròn có một tỉ lệ không đổi giữa 2 khoảng cách tiêu điểm.

Bằng định nghĩa tâm sai, ta có

• Tâm sai của đường tròn là không: e = 0.

• Tâm sai của elip - lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn 1; 0 < e < 1

• Tâm sai của parabola là 1; e = 1

• Tâm sai của hyperbola lớn hơn 1; e > 1

conic section	equation	eccentricity (e)	linear eccentricity (c)
circle	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	0	0
ellipse	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$
parabola	$y^{2}=4ax$	1	a
hypebola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Tham khảo

1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html

2. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

3. Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions, And a Few Answers. Department of Mathematics, Computer Science, and Statistics,Bloomsburg University Bloomsburg, Pennsylvania 17815.

4. A Handbook on curves and their properties. Robert C. Yates, printed by Edwards Brothers, Inc - Ann Arbor, Michigan U.S.A.

Bản quyền

Trần Hồng Cơ

Biên tập và trích dịch.

Ngày 01/04/2012

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Mục lục

1. Giới thiệu
2. Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)
3. Phần 2. Từ Co đến Eq (11 – 21)
4. Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)
5. Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)
6. Phần 5. Từ Pe đến Rh (43 – 48)
7. Phần 6. Từ Ri đến Sp (49 – 53)
8. Phần 7. Từ Sp đến Tr (54 – 58)
9. Phần 8. Từ Tr đến Wi (59 – 63)

Bài liên quan

• Tỉ lệ logarit
• Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng
• Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit
• Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit
• Kẻ thất bại và kẻ siêu thất bại

• « Mới nhất
• ‹ Mới hơn
• Cũ hơn ›

Liên kết đến đây

• Danh mục và lịch sử các đường cong
• Bản mẫu:Danh mục và lịch sử các đường cong
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 2. Từ Co đến Eq (11 – 21)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 5. Từ Pe đến Rh (43 – 48)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 7. Từ Sp đến Tr (54 – 58)
• Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 8. Từ Tr đến Wi (59 – 63)