Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)

Từ Thư viện Khoa học VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm


22. Fermat’s Spiral (Đường xoắn ốc Fermat)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r^{2}=\theta \cdot a^{2}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-1.png

Đường xoắn ốc này đã được Fermat tìm ra năm 1636.

Đối với bất kỳ giá trị θ dương, hàm có hai giá trị tương ứng của r, một có giá trị dương và một mang những giá trị âm có cùng trị tuyệt đối. Do đó các đường xoắn ốc sẽ đối xứng qua đường phân giác thứ hai y = – x như có thể thấy từ những đường cong hiển thị ở trên.

Đường nghịch đảo của Spiral Fermat, khi chọn cực là tâm nghịch đảo cũng là một đường xoắn ốc có phương trình r^{2}={\frac  {a^{2}}{\theta }}


Pierre de Fermat (17/08/1601 - 12/01/1665)

23. Folium (Đường hình lá)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+bx)=4a\cdot x\cdot y^{2}

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r=-b.\cos \theta +4a\cos \theta \cdot \sin ^{2}\theta

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-2.png

Dạng tổng quát của folium được cho bởi công thức trên. Folium có nghĩa là hình lá. Có ba dạng đặc biệt của folium: folium đơn, folium đôi và folium ba. tương ứng với các trường hợp b=4\ a,b=0,b=a Các biểu đồ được vẽ ở trên là folium đơn giản.


24. Folium of Descartes (Đường hình lá Descartes)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: x^{3}+y^{3}=3a\cdot xy

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes: x={\frac  {3at}{1+t^{3}}};y={\frac  {3at^{2}}{1+t^{3}}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-3.png

Đường hình lá này đầu tiên được Descartes đề cập đến vào năm 1638, ông đã tìm thấy hình dạng chính xác của đường cong ở phần tư thứ nhất góc tọa độ, nhưng ông lại cho rằng hình dạng lá này được lặp đi lặp lại trong mỗi phần tư góc toạ độ còn lại như cánh của bông hoa. Đồ thị đường cong này đối xứng qua phân giác thứ nhất y = x. Bài toán xác định các tiếp tuyến với đường cong đã được đề xuất bởi Roberval, là người cũng sai khi tin rằng đường cong có dạng một bông hoa nhài. (tên gọi Fleur de jasmin - sau đó đã được thay đổi). Đường cong này đôi khi được gọi là đường de noeud ruban. Khi Fermat phát hiện ra phương pháp tìm tiếp tuyến, Descartes đã thách thức Fermat viết phương trình tiếp tuyến với đường cong này tại một điểm tùy ý. Fermat giải quyết bài toán này rất dễ dàng, và đó là điều mà Descartes đã không thể giải được.

Folium có một đường tiệm cận x+y+\ a=0.

Các phương trình tiếp tuyến tại điểm t = p là p\cdot (p^{3}-2)x+(1-2p^{3})y+3a\cdot p^{2}=0

Đường cong đi qua gốc O lần thứ nhất tại t = 0 và tiến về gốc O lần thứ hai khi t\to \infty

Descartes (31/03/1596 - 11/02/1650)


25. Freeth’s Nephroid (Đường cong Nephroid Freeths)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r=a\left(1+2\sin {\frac  {\theta }{2}}\right)

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-4.png

Đây là đường cong strophoid của một đường tròn với cực O là tâm và điểm P cố định trên chu vi của đường tròn.Trong hình ở trên, O là gốc và P là nút nơi đường cong đi qua ba lần.

Nếu đường thẳng qua P song song với trục y cắt nephroid tại A khi đó \widehat {AOP}=3\pi /7Điều này có thể được sử dụng để dựng một đa giác đều 7 cạnh. T.J. Freeths (1819-1904) là một nhà toán học Anh. Trong bài báo được xuất bản bởi Hội Toán học London vào năm 1879 ông đã mô tả đặc điểm của những strophoids khác nhau, bao gồm cả strophoid trisectrix.


26. Frequency Curve (Đường cong tần số)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: y={\sqrt  {2}}.\exp \left({\frac  {-x^{2}}{2}}\right)

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-5.png

Đường cong này còn được gọi đường cong sai số chuẩn tắc, do nhà toán học de Moivre phát hiện ra năm 1733. Nó cũng đã được Laplace và Gauss nghiên cứu về nhiều lĩnh vực.Tên gọi đường cong tần số cũng được áp dụng cho một loạt các đường cong khác.

Vài nét về các nhà toán học có công nghiên cứu về đường cong tần số:

Abraham de Moivre (1667 - 1754)

+ De Moivre là nhà toán học Pháp, người tiên phong trong lĩnh vực hình học giải tích và lý thuyết xác suất.

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

+ Carl Friedrich Gauss, nhà bác học Đức, đã có rất nhiều công trình đóng góp cả về toán và vật lý. Có thể kể như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, lý thuyết đo đạc, từ tính học, thiên văn học và quang học. Những công trình của Carl Friedrich Gauss đã có ảnh hưởng rất sâu sắc trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Pierre Simon Laplace (1749 - 1827)

+ Pierre-Simon Laplace đã chứng minh tính ổn định của thái dương hệ. Trong lĩnh vực giải tích ông đã giới thiệu hàm thế và các hệ số Laplace. Ông cũng là người đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất toán học.


27. Hyperbola (Đường cong Hyperbole)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: {\frac  {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac  {y^{2}}{b^{2}}}=1

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes: {\begin{cases}x=a.\sec(t)\\y=b.\tan(t)\end{cases}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-6.png
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-7.png

Một trường hợp đặc biệt của hyperbola lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Menaechmus. Trường hợp đặc biệt này hyperbola có 2 tiệm cận vuông góc và phương trình của nó là x\ y=a\ b (còn được gọi là một hyperbola hình chữ nhật)

Euclid và Aristaeus viết về các hyperbola tổng quát nhưng chỉ tập trung nghiên cứu một nhánh của nó, trong khi các hyperbola có được tên gọi hiện nay là do Apollonius, người đầu tiên nghiên cứu hai nhánh của hyperbola. Pappus cũng khảo sát tiêu điểm và đường chuẩn của một hyperbola.

Đường pháp bao ngoài của hyperbola với phương trình ở trên là đường cong Lame:

(a\cdot x)^{{2/3}}-(b\cdot y)^{{2/3}}=(a+b)^{{2/3}}

Apollonius of Perga (Khoảng 262 BC đến 190 BC)

+ Apollonius of Perga được biết đến như một " nhà hình học vĩ đại ". Có rất ít tư liệu về cuộc sống của ông, nhưng các công trình của Apollonius đã ảnh hưởng rất lớn về sự phát triển của toán học - đặc biệt nhất là cuốn sách nổi tiếng Conics, đã giới thiệu các khái niệm rất quen thuộc với chúng ta ngày nay như parabola, hyperbola và ellipse.

Ellipse là đường cong trong họ conic
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-8.png


28. Hyperbolic Spiral (Đường xoắn ốc Hyperbolic)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r={\frac  {a}{\theta }}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-9.png

Đường xoắn ốc hyperbolic có nguồn gốc với Pierre Varignon vào năm 1704. Nó được Johann Bernoulli nghiên cứu từ năm 1710 và 1713 và Cotes năm 1722. Đường Roulette của cực đường xoắn ốc hyperbolic lăn không trượt trên một đường thẳng là một tractrix. Pierre Varignon (1654-1722) là giáo sư toán học tại Collège Mazarin và sau đó là tại Collège Hoàng gia. Con đường đưa Pierre Varignon đến toán học là khi ông đọc tác phẩm Euclid, ông cũng đọc Géométrie Descartes ', và sau đó ông quyết định cống hiến sự nghiệp mình cho khoa học và toán học. Ông là một trong những học giả người Pháp đầu tiên nhận ra giá trị của bộ môn giải tích. Những đóng góp chính của ông là trong lĩnh vực cơ học.

Nếu điểm cực là tâm của phép nghịch đảo, thì đường xoắn ốc hyperbolic r={\frac  {a}{\theta }} đảo ngược thành đường xoắn ốc Archimedes r=a\cdot \theta .


29. Hypocycloid (Đường cong Hypocycloid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

{\begin{cases}x=(a-b).\cos t+b\cos({\frac  ab}-1)t\\y=(a-b).\sin t-b\sin({\frac  ab}-1)t\end{cases}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-10.png

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với nhau. Đó là epicycloid, epitrochoid, hypocycloid và hypotrochoid và đều được vẽ từ một điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính cố định a. Đối với hypocycloid, là một ví dụ trong số đó được hiển thị ở trên, đường tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của vòng tròn bán kính b. Đối với ví dụ trên đây ta có a = 5 và b = 3.(a > b)

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-11.png
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-12.gif

Những đường cong này đã được nghiên cứu bởi Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (năm 1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).

Trường hợp đặc biệt là 3b = a khi đó ta thu được tricuspoid và khi 4b = a ta có đường astroid.

Đặt k = a / b khi đó đồ thị hypocycloid có dạng

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-13.jpg
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-14.jpg

Dưới đây là một trình Java minh họa Epicycloid và Hypocycloid. Di chuyển các thanh màu vang, tím, xanh và xanh cây để xem đồ thị các đường cong tương ứng.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-15.png

Mã nhúng:

<br /> 
<iframe align="MIDDLE" frameborder="0" height="590" 
 
src="http://www.carloslabs.com/projects/200805B/index.html"
 width="370"></iframe> 
<br />

Nguồn: http://www.carloslabs.com/projects/200805B/index.html


30. Hypotrochoid (Đường cong Hypotrochoid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

{\begin{cases}x=(a-b).\cos t+c.\cos({\frac  ab}-1)t\\y=(a-b).\sin t-c.\sin({\frac  ab}-1)t\end{cases}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-16.png

Những đường cong này được nghiên cứu bởi La Hire, Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác.

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với nhau. Đó là epicycloid, epitrochoid, hypocycloid và hypotrochoid và đều được vẽ từ một điểm P trên một vòng tròn bán kính b cuộn quanh một vòng tròn bán kính a cố định.

Đối với hypotrochoid, là một ví dụ trong số đó được hiển thị ở trên, vòng tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách c tính từ tâm của vòng tròn bán kính b. Trong ví dụ này a = 5, b = 7 và c = 2,2. Một số đồ thị và clip mô tả chuyển động hypotrochoid.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-17.jpg
Hypotroc1.gif




31. Involute of a Circle (Đường pháp bao trong của đường tròn)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

{\begin{cases}x=a.(\cos t+t.\sin t)\\y=a.(\sin t-t.\cos t)\end{cases}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-19.png

Đường pháp bao trong của một đường tròn là quỹ tích tạo ra bởi một điểm trên một đường thẳng cuộn xung quanh một vòng tròn. Huygens đã nghiên cứu đường cong này khi ông cố gắng tìm những chiếc đồng hồ không có quả lắc có thể dùng được trên tàu biển. Ông đã vận dụng tính chất đường pháp bao trong của đường tròn cho đồng hồ quả lắc với nỗ lực cưỡng bức con lắc chuyển động theo quỹ đạo của một cycloid.

Phát minh ra một chiếc đồng hồ giữ thời gian chính xác trên biển là một vấn đề lớn và việc tìm một giải pháp đã được đặt ra trong nhiều năm. Vấn đề này có tầm quan trọng sống còn vì nếu biết được giờ GMT thì sau đó, giờ địa phương và kinh độ có thể dễ dàng tính được từ mặt trời.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-20.gif

Ứng dụng: Leonhard Euler đề xuất sử dụng đường pháp bao trong của đường tròn cho hình dạng răng cưa của bánh răng toothwheel, một trong những ứng dụng phổ biến hiện nay, được gọi là bánh răng trong.


32. Kampyle Eudoxus (Đường cong Kampyle Eudoxus)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: a^{2}\cdot x^{4}=b^{4}(x^{2}+y^{2})

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r={\frac  {b^{2}}{a.\cos ^{2}\theta }}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-3-Tu-Fe-den-Ka-21.png

Đây là đường cong được nghiên cứu bởi Eudoxus liên quan đến bài toán cổ điển về nhân đôi khối lập phương.

Eudoxus là một học trò của Plato. Công trình chính của ông là trong lĩnh vực thiên văn học. Ông là người đầu tiên mô tả các chòm sao và đã phát minh ra thiên văn kế. Ông cũng giới thiệu các đề tài nghiên cứu về thiên văn-toán học vào Hy Lạp.

Eudoxus tìm thấy công thức để đo kim tự tháp hình nón và hình trụ. Tác phẩm của ông chứa các cơ sờ về tính toán cùng với nhiều nghiên cứu rất chặt chẽ về phương pháp khử (vét cạn).

Chú thích: - Không nên nhầm lẫn với Eudoxus Cyzicus

Eudoxus Cnidus (410 hoặc 408 BC - 355 hoặc 347 TCN) là một nhà thiên văn Hy Lạp, nhà toán học, học giả và học trò của Plato


Tham khảo

1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html

2. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

3. Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions, And a Few Answers. Department of Mathematics, Computer Science, and Statistics, Bloomsburg University Bloomsburg, Pennsylvania 17815.

4. A Handbook on curves and their properties. Robert C. Yates, printed by Edwards Brothers, Inc - Ann Arbor, Michigan U.S.A.

Bản quyền

Trần Hồng Cơ

Biên tập và trích dịch.

Ngày 01/04/2012

Cc-by-nc-nd.png

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Mục lục

  1. Giới thiệu
  2. Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)
  3. Phần 2. Từ Co đến Eq (11 – 21)
  4. Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)
  5. Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)
  6. Phần 5. Từ Pe đến Rh (43 – 48)
  7. Phần 6. Từ Ri đến Sp (49 – 53)
  8. Phần 7. Từ Sp đến Tr (54 – 58)
  9. Phần 8. Từ Tr đến Wi (59 – 63)

Liên kết đến đây