Danh mục và lịch sử các đường cong/Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)

Từ Thư viện Khoa học VLOS
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm
Chia sẻ lên facebook Chia sẻ lên twitter Chia sẻ lên google-plus In trang này

33. Kappa Curve (Đường cong Kappa)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

a^{{2}}x^{{2}}=y^{{2}}\left(x^{{2}}+y^{{2}}\right)


Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r=a.\cot \left(\theta \right)

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-1.png

Các đường cong kappa cũng gọi là đường cong Gutschoven. Lần đầu tiên được nghiên cứu bởi G. Van Gutschoven khoảng 1662. Các đường cong này cũng được Newton nghiên cứu và một số năm sau đó bởi Johann Bernoulli.

Johann Bernoulli (27/07/1667 - 01/01/2748)

34. Lamé Curve (Đường cong Lamé)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: \left({\frac  {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac  {y}{b}}\right)^{n}=1

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-2.png

Năm 1818, Lame thảo luận về các đường cong này với phương trình ở trên. Ông khảo sát các đường cong tổng quát hơn với n là số nguyên. Nếu n là hữu tỷ thì đường cong có tính đại số, nhưng n vô tỷ thì đường cong có tính siêu việt.

  • Các đường cong được vẽ ở trên là trường hợp n = 4. Đối với số mũ nguyên n đường cong tiệm cận với một hình chữ nhật khi n\rightarrow \infty .
  • Các trường hợp đặc biệt khi n = 2/3 đường cong là Astroid, khi n = 3 ta có đường cong thường được gọi là đường phù thuỷ Agnesi.
Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (22/07/1975 - 01/05/1870)
  • Các trường hợp n = 5/2 dường cong có tên gọi là (siêu ellipse) superellipse _ liên quan đến kiến trúc sư - nhà thơ Piet Hein người Đan Mạch (ông cũng là nhà phát minh của khối vuông Soma) _đã được sử dụng cho nhiều mục đích, kể cả trong tính toán cầu, đường cao tốc và các ứng dụng kiến trúc khác.
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-3.png
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-4.gif


35. Lemniscate of Bernoulli (Đường cong Lemniscate Bernoulli)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a^{2}.\left(x^{2}-y^{2}\right)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r^{2}=a^{2}.\cos \left(2\theta \right)

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-5.png

Năm 1694, Jacob Bernoulli cho đăng một bài viết trong Acta Eruditorumon nói về một đường cong có hình dạng giống như số 8 (hình một nút, hoặc cái nơ của một ruy băng) mà ông gọi là lemniscus xuất phát từ tiếng Latin (một mặt dây ruy băng ').

Jacob Bernoulli (27/12/1654 - 16/08/1705)

Jacob Bernoulli đã không nhận thức rằng đường cong được mô tả này chỉ là một trường hợp đặc biệt của một đường Oval Cassinian đã được Cassini mô tả vào năm 1680. Các tính chất chung của lemniscate được phát hiện bởi của Giovanni Fagnano vào năm 1750. Các công trình khảo sát của Euler về độ dài của vòng cung của đường cong (1751) sau này đã dẫn đến việc nghiên cứu các hàm số elliptic. Phương trình lưỡng cực của lemniscate có dạng r.r'={\frac  {a^{2}}{2}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-6.png

+ Giulio Fagnano Toschi, sinh tại Sinigaglia ngày 6 tháng 12 năm 1682, thuộc một gia đình quý tộc Marche là nhà toán học nổi tiếng với các thành tựu về bộ môn hình học.

Giulio Fagnano Toschi (06/12/2014 - 26/09/1766)

Ông đã hoàn thành nghiên cứu đầu tiên tại trường Cao đẳng Clementine thành phố Rome. Mặc dù tự học toán, nhưng ông đã đạt được tầm cỡ quốc tế, nổi tiếng nhờ những đóng góp đáng kể về nhiều chủ đề khác nhau. Ông là người đề xuất phương pháp mới giải các phương trình II, III và IV và phát hiện ra công thức để tính toán trọng tâm tam giác. Trong số các nghiên cứu của ông về lemniscate, Fagnano giới thiệu các phép biến đổi giải tích từ đó đã có những đóng góp vào việc phát triển các hàm elliptic. Năm 1750 ông viết hai tuyển tập kết quả các công trình nghiên cứu có tựa đề "Sản xuất toán học" (Production Mathematics). Trong đó quan trọng nhất là những nghiên cứu về tổ hợp, đặc biệt về xổ số.

MF_{1}.MF_{2}=\left({\frac  {F_{1}F_{2}}{2}}\right)^{2}

Giulio Fagnano rất có công trong việc hỗ trợ cho một số nhà toán học trẻ đương thời, trong đó có Joseph Lagrange. Ông có 12 người con, John con ông, cũng là người đã theo bước chân của cha mình trong các lĩnh vực Toán học. Ông là thành viên của Hội Hoàng gia London và Viện Hàn lâm Khoa học Berlin. Fagnano mất tại thành phố quê hương của mình ngày 26 tháng 9 năm 1766 trước khi được bầu vào Académie des Sciences ở Paris.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-8.png


36. Limacon of Pascal (Đường hình ốc Limacon Pascal)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: b^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x^{2}+y^{2}-2ax\right)^{2}

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r=b+2a\cdot cos\theta

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-9.png

Limacon là đường cong thuộc họ anallagmatic.Đường cong Limacon Pascal được Étienne Pascal (cha của Blaise Pascal) phát hiện và đặt tên bởi một người Pháp Gilles-Personne Roberval năm 1650. Étienne Pascal sử dụng đường cong này như là một ví dụ về phương pháp vẽ tiếp tuyến dựa vào vi phân.

Étienne Pascal (02/05/1588 - 24/09/1651)

Cái tên 'limacon' có nghĩa theo tiếng Latin là từ 'ốc'. Étienne Pascal đã từng trao đổi thư từ với Mersenne, là người đã tổ chức tư dinh thành một nơi gặp gỡ của các nhà hình học nổi tiếng bao gồm cả Roberval.

Thực ra Dürer mới chính là người phát hiện các đường cong trên khi ông đưa ra một phương pháp dựng hình, mặc dù ông không gọi nó là một limacon, trong tác phẩm Underweysung der Messung công bố năm 1525.

  • Khi b = 2a ta có limacon biến đổi thành cardioid.
  • Nếu b = a ta có dạng một trisectrix. Chú ý rằng trisectrix này không phải là Trisectrix của Maclaurin.
  • Nếu b ≥ 2a thì diện tích của limacon bằng \left(2a^{2}+k^{2}\right)\pi
  • Nếu b = a (trường hợp được vẽ ở trên với a = b = 1) thì diện tích của vòng lặp bên trong là a^{2}\left(\pi -3{\sqrt  {3}}/2\right) và diện tích miền giữa các vòng là a^{2}(\pi +3{\sqrt  {3}})

Một số clips về limacon với { a = 1, b = 1 }; { a = 1, b = 2 };{ a = 1, b = 3 };

Xem: Limacon Pascal 1 với { a = 1, b = 1 }


Xem: Limacon Pascal 2 với { a = 1, b = 2 }


Xem: Limacon Pascal 3 với { a = 1, b = 3 }


Xem chi tiết:


37. Lissajous Curve (Đường cong Lissajous)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes: {\begin{cases}x=a.\sin(nt+c)\\y=b.\sin t\end{cases}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-10.png

Đường cong Lissajous hoặc đồ thị Lissajous còn được gọi là đường cong Bowditch. Nathaniel Bowditch là người khảo sát chúng vào năm 1815. các đường cong này đã được Jules-Antoine Lissajous nghiên cứu một cách độc lập và chi tiết hơn vào năm 1857.

Jules-Antoine Lissajous (04/03/1882 - 24/06/1880)

Các đường cong Lissajous có ứng dụng trong vật lý, thiên văn học và khoa học khác.

Nathaniel Bowditch (1773-1838) là người Mỹ. Ông đã học tiếng Latin để đọc tác phẩm Newton's Principia và sau đó tự học các ngôn ngữ khác để nghiên cứu toán học. Tác phẩm New Practical Navigator (1802) và bản dịch Mécanique Celeste Laplace của ông là một công trình nổi tiếng tầm cỡ quốc tế.

Nathaniel Bowditch (26/03/1773 - 16/03/1838)


38. Lituus Curve (Đường cong Lituus)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r^{2}={\frac  {a^{2}}{\theta }}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-11.png

Các đường cong lituus nguồn gốc với tác giả Cotes năm 1722. Maclaurin sử dụng thuật ngữ này trong cuốn sách của ông tựa đề Harmonia Mensurarumin 1722. Lituus là quỹ tích của điểm P di chuyển sao cho diện tich của một cung tròn là một hằng số.

Roger Cotes (10/07/1682 - 05/06/1716)

Roger Cotes (1682-1716) qua đời ở tuổi 34 ông đã xuất bản hai cuốn hồi ký trong đời của mình. Ông được bổ nhiệm giáo sư tại Cambridge ở tuổi 24 và các tác phẩm của ông được xuất bản sau khi ông mất. Cotes đã phát hiện ra một định lý quan trọng về căn bậc n của phần tử đơn vị, dự báo các phương pháp bình phương tối thiểu và phát hiện ra một phương pháp tích phân các hàm phân thức có mẫu số là nhị thức.

Roger Cotes cũng là người đã biên tập các ấn bản thứ hai tác phẩm Principia của Newton. Ông đã có những đóng góp tiến bộ trong lý thuyết về logarit, tích phân và phương pháp số, đặc biệt là nội suy.

Ông cũng phát minh ra công thức cầu phương được gọi là công thức Newton-Cotes và lần đầu tiên giới thiệu những chi tiết được biết đến sau này là công thức Euler. Ông cũng là Giáo sư Plumian đầu tiên tại Đại học Cambridge từ năm 1707 cho đến khi mất 1716. Xem chuyển động của vật thể trên đường cong Lituus, bắt đầu với r~2.



39. Neile‘s Semi-Cubical Parabola (Đường Parabola nửa-bậc-3 Neile)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: y^{3}=a\cdot x^{2}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-12.png

Đường cong này, đôi khi được gọi là parabol nửa bậc ba (bán lập phương), được William Neile phát hiện vào năm 1657. Đó là đường cong đại số đầu tiên mà chiều dài của nó đã được các nhà toán học nghiên cứu và tìm được. Wallis công bố phương pháp này vào năm 1659 cho đường cong Neile. Van Heuraet (người Hà Lan) cũng đã sử dụng các đường cong này cho các công trình tổng quát hơn.

William Neile (1637 - 1670)

William Neile sinh tại Bishopsthrope năm 1637. Ông là học trò của Wallis và đã tỏ ra có rất nhiều tiềm năng. Đường cong đại số parabol Neile là đường cong đại số đầu tiên mà các nhà toán học tính được chiều dài của nó, trước đó chỉ có chiều dài cung của các đường cong siêu việt như cycloid và đường xoắn ốc logarit là đã được tính toán. Thật không may, năm 1670 Neile qua đời lúc còn trẻ trước khi ông có thể còn đạt được nhiều thành tựu khác nữa.

Năm 1687 Leibniz đặt vấn đề đi tìm đường cong mô tả một chất điểm rơi xuống dưới tác dụng lực hấp dẫn sao cho nó có thể di chuyển những khoảng cách thẳng đứng bằng nhau trong một khoảng thời gian bằng nhau. Huygens cho thấy rằng parabol bán lập phương x^{3}=a\cdot y^{2} thoả mãn tính chất này. Bởi vì đây là một đường cong đẳng thời. Parabol bán lập phương là đường pháp bao ngoài của một parabol.

Clip về Neile Parabola:



Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-13.png


40. Nephroid (Đường cong Nephroid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

{\begin{cases}x=a.(3\cos t-\cos 3t)\\y=a.(3\sin t-\sin 3t)\end{cases}}

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-14.png

Nephroid (có nghĩa là "hình quả thận ') là tên của đường cong epicycloid có 2 điểm lùi, do Proctor phát hiện vào năm 1878. Nephroid là đường epicycloid được hình thành bởi một đường tròn bán kính a lăn không trượt bên ngoài một đường tròn cố định có bán kính 2a.

Nephroid có chiều dài là 24a và diện tích là 12\pi .a^{2}.

Năm 1678, Huygens chỉ ra rằng nephroid là catacaustic của một đường tròn khi các nguồn ánh sáng ở vô cực. Ông đã chứng tỏ điều này trong tác phẩm Traité de la lumièrein 1690. Đây cũng là lời giải thích tại sao điều này đã không được phát hiện ra mãi cho đến khi lý thuyết sóng ánh sáng được ứng dụng. Airy đã đưa ra luận chứng lý thuyết về điều này năm 1838.

Richard Anthony Proctor (1837 - 1888)

R.A. Proctor là một nhà toán học người Anh. Ông sinh năm 1837 và qua đời vào năm 1888. Năm 1878, ông xuất bản cuốn " hình học các đường cycloid " tại London. Đường bao trong của nephroid là đường sextic - Cayley hoặc là một nephroid khác vì chúng là những đường cong song song nhau.

Các clips mô tả Nephroid.




41. Newton’s Diverging Parabolas (Đường parabola phân kỳ Newton)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

x^{3}-2bx^{2}+cx=a\cdot y^{2},(a>0)


Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-15.png
Newton đã phân loại các đường cong bậc 3 trong cuốn "Curves by Sir Isaac Newton in Technicum Lexicon", NXB John Harris xuất bản ở London năm 1710. Trong phân loại các đường cong bậc 3, Newton đưa ra bốn lớp phương trình. Lớp thứ ba của phương trình là một trong những đường cong ở trên mà Newton chia thành năm loại. Trong đó ở trường hợp thứ ba, Newton phát biểu:
Newton (25/12/1642 - 20/03/1727)

Trong trường hợp thứ ba phương trình là y\cdot y=a\cdot xxx+b\cdot xx+cx+d và định nghĩa một Parabola có nhánh phân ra từ một nhánh khác, và chạy ra vô hạn theo chiều ngược lại. Trường hợp phân chia thành năm loại này Newton đưa ra đồ thị điển hình cho từng loại. Năm loại này phụ thuộc vào nghiệm của biểu thức bậc 3 ở vế phải của phương trình.

(i) Tất cả các nghiệm là thực và khác nhau: đồ thị là một Parabola phân kỳ có dạng chuông Bell, với hình Oval tại đỉnh của nó. Đây là trường hợp cho ta đồ thị đường cong như trên.

(ii) Hai nghiệm thực bằng nhau: một Parabola sẽ được hình thành, hoặc là đường cong Nodated có liên quan đến hình Oval, hoặc là đường Punctate, có được từ hình Oval vô cùng nhỏ.

(iii) Ba nghiệm thực bằng nhau: đây là Parabola Neile, thường được gọi là parabola bán-lập phương.

(iv) Chỉ có một nghiệm thực: Nếu hai nghiệm kia là phức, sẽ có một Parabola chính quy dạng hình chuông.

42. Parabola (Đường parabola)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: x^{2}=a\cdot y hoặc y^{2}=b\cdot x

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-16.png
Ellipse là đường cong trong họ conic

Parabol được nghiên cứu bởi Menaechmus, ông là học trò của Plato và Eudoxus. Ông đã cố gắng tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một khối lập phương cho trước. Từ đó, dẫn đến việc đi tìm lời giải của phương trình x^{3}=2\cdot bằng phương pháp hình học.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-17.png

Trong thực tế, (nhưng Menaechmus đã không biết rằng) bài toán này không thể giải được bằng các phương pháp hình học sử dụng com-pa và thước kẻ. Menaechmus đã giải quyết nó bằng cách tìm các giao điểm của hai parabol x^{2}=y,y^{2}=2\cdot x

Euclid đã viết về parabol và Apollonius là người đặt tên cho đường cong này. Pappus cũng đã nghiên cứu về tiêu điểm và đường chuẩn của một parabol.

Pascal khảo sát parabol là hình chiếu của một đường tròn và Galileo chứng tỏ rằng đạn đạo là đường cong parabol.

Gregory và Newton đã nghiên cứu các tính chất của parabol khi các tia sáng song song đều hội tụ tại tiêu điểm.

Parabola (262 TCN - 190 TCN)
Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-4-Tu-Ka-den-Pa-18.png



Parabola là quỹ tích những điểm chuyển động M sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm F và đường chuẩn (D) bằng nhau: MF = d [ M / (D) ]

Xem chuyển động của các tiếp tuyến của parabola.



Tham khảo

1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html

2. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

3. Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions, And a Few Answers. Department of Mathematics, Computer Science, and Statistics,Bloomsburg University Bloomsburg, Pennsylvania 17815.

4. A Handbook on curves and their properties. Robert C. Yates, printed by Edwards Brothers, Inc - Ann Arbor, Michigan U.S.A.

Bản quyền

Trần Hồng Cơ

Biên tập và trích dịch.

Ngày 01/04/2012

Cc-by-nc-nd.png

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Mục lục

  1. Giới thiệu
  2. Phần 1. Từ As đến Co (1 – 10)
  3. Phần 2. Từ Co đến Eq (11 – 21)
  4. Phần 3. Từ Fe đến Ka (22 – 32)
  5. Phần 4. Từ Ka đến Pa (33 – 42)
  6. Phần 5. Từ Pe đến Rh (43 – 48)
  7. Phần 6. Từ Ri đến Sp (49 – 53)
  8. Phần 7. Từ Sp đến Tr (54 – 58)
  9. Phần 8. Từ Tr đến Wi (59 – 63)

Liên kết đến đây

Chia sẻ lên facebook Chia sẻ lên twitter Chia sẻ lên google-plus In trang này