Ôn tập Tốt nghiệp THPT 2009-2010/Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Nội dung khảo sát hàm số và các bài toán liên quan trong cấu trúc đề thi:

Mục lục

1 Các bài toán
2 Sai lầm và cách sửa
3 Chủ đề khác

Phần chung:

- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số:

chiều biến thiên của hàm số;
cực trị;
tiếp tuyến;
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số;
tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước;
tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...

Phần riêng CTNC:

- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng $y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px+q}}$ và một số yếu tố liên quan.

- Sự tiếp xúc của hai đường cong.

Xem thêm: Khảo sát hàm số trong các kì thi tốt nghiệp THPT

Xem thêm: Các bài toán liên quan đến khảo sát trong các kì thi tốt nghiệp THPT

Các bài toán[sửa]

Sai lầm và cách sửa[sửa]

Sai	Đúng
$y'={\frac {1}{(x-2)^{2}}}>0$ $y'=1-{\frac {x}{{\sqrt {4-x^{2}}}}}$	$y'={\frac {1}{(x-2)^{2}}}>0,\ \forall x\neq 2$ $y'=1-{\frac {x}{{\sqrt {4-x^{2}}}}},\ \forall x\in (-2;2)$
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ Hàm số nghịch biến trên ${\mathbb {R}}/\{1\}$	Hàm số nghịch biến trên từng khoảng: $(-\infty ;1)\ {\mbox{v}}{\grave {a}}\ (1;+\infty )$
$\lim _{{x\rightarrow \infty }}y$	$\lim _{{x\rightarrow -\infty }}y;\ \lim _{{x\rightarrow +\infty }}y$
Tìm giới hạn: hàm đa thức, hàm hữu tỉ	Quy tắc tìm giới hạn: Hàm đa thức: đặt lũy thừa của x có số mũ cao nhất ra ngoài Hàm hữu tỉ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x với số mũ cao nhất. Tìm dấu của của các thừa số trong tích, thương khi $x\rightarrow -\infty ,\ x\rightarrow +\infty$
$\lim _{{x\rightarrow 1^{{\pm }}}}y=\pm \infty \Rightarrow$ Tiệm cận ngang x = 1 $\lim _{{x\rightarrow \pm \infty }}y=1\Rightarrow$ Tiệm cận đứng y = 1	$\lim _{{x\rightarrow 1^{{\pm }}}}y=\pm \infty \Rightarrow$ Tiệm cận đứng x = 1 $\lim _{{x\rightarrow \pm \infty }}y=1\Rightarrow$ Tiệm cận ngang y = 1
Hàm số có tiệm cận ngang y = 1 Hàm số có tiệm cận đứng x = 1	Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -5 $\Rightarrow y'=-5$	Gọi $M(x_{0};y_{0})$ là tọa độ tiếp điểm của (C) với tiếp tuyến có hệ số góc $k=-5$ . Thì $x_{0}$ là nghiệm của phương trình: $y'(x_{0})=-5$
Hàm số đạt cực trị tại $x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}y'(x_{0})=0\\y''(x_{0})>0\end{cases}}$	Hàm số đạt cực trị tại $x_{0}\Rightarrow {\begin{cases}y'(x_{0})=0\\y''(x_{0})>0\end{cases}}$ Thử lại ⇒ kết luận
Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt	Vì $y'=3ax^{2}+2bx+c$ là tam thức bậc 2 nên hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt
Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình ${\frac {x+1}{x-1}}=mx-2$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow mx^{2}-(3+m)x+3=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0$	Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình ${\frac {x+1}{x-1}}=mx-2$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=mx^{2}-(3+m)x+3=0$ có hai nghiệm phân biệt $x\neq 1\Leftrightarrow {\begin{cases}m\neq 0\\\Delta >0\\g(1)\neq 0\end{cases}}$